POLINÓMOK

A matematikában a polinom (avagy többtagú algebrai kifejezés) egy olyan kifejezés, melyben csak számok és változók nemnegatív egész kitevőjű hatványainak szorzatai, illetve ilyenek összegei szerepelnek. Például: q(x) = 2x² + 6x + 9 r(x,y) = x³ + 3x²y + 3x²y + y³ p(x,y,z,u) = 5x4y6 - 3xz³+11y15u7

A polinomban a számokkal szorzott hatványszorzatokat monomoknak (vagy egytagúaknak) nevezzük p(x,y,z,u) = 5x4y6 - 3xz³+11y15u7 MONÓMOK

A polinomokat az összeadás és a kivonás szerint tagokra, a szorzás szerint tényezőkre bonthatjuk. Például a3 +10ab − b2 egy háromtagú kifejezés, (x − 4y)⋅(x + y2 − xy) egy kéttényezős szorzat,amelynek első tényezője egy kéttagú, második tényezője egy háromtagú kifejezés

A polinomok tagjait gyakran fokszámuk szerinti csökkenő sorrendben írjuk 7x4 – 9x3 + 3x2 – 3x + 4

𝑥 3 ∙ 𝑥 4 = 𝑥 3+4 = 𝑥 7 A KITEVŐKET ÖSSZEADJUK

SZORZATTÁ ALAKÍTÁS Gyakran célszerű egy többtagú kifejezést több kifejezés szorzataként felírnunk. Ha ezt meg tudjuk tenni, akkor azt mondjuk, hogy szorzattá alakítjuk a kifejezést. Például x2 − 4y2 =(x + 2y)⋅(x − 2y) A szorzattá alakítás nem mindig végezhető el, például x2 + 4y2 nem írható fel két (vagy több) polinom szorzataként.

A szorzattá alakítás történhet: a több tagban is szereplő változó(k) kiemelésével, például u2 +2u =u ⋅(u+2); a tagok megfelelő sorrendbe történő csoportosításával, majd több egymás utáni kiemeléssel, például ac+bd +ad +bc= ac+bc+ad +bd =c⋅(a+b)+d⋅(a+b)=(a+b)⋅(c+d) a nevezetes azonosságok alkalmazásával

Nevezetes azonosságok

NÉGYZETEK KÜLÖNBSÉGE Mindegyik tagot mindegyik taggal megszorozzuk

Binom négyzete

Vegyünk egy példát: (x + 4)2 (x + 4)2 = (x + 4)(x + 4) = x2 + 4x + 4x + 16 = x2 + 8x + 16 Próbáljuk felismerni a szabályt!

Vizsgáljuk meg jobban a feladatot: … a középső tagban is szerepel. (x + 4)2 = … = x2 + 8x + 16 Nézzük az első tagot! A szorzatban az első tag a négyzeten van …

Most kövessük nyomon a második tagot: (x + 4)2 = . . . = x2 + 8x + 16 A második tag a 4. ...az utolsó tag négy a négyzeten. A középső tagban 2 · 4 = 8 …

Binom négyzet eredményeként mindig trinomot kapunk: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Változik-e a képlet, ha különbség négyzetét keressük (y – 6)2? (y – 6)2 = (y – 6)(y – 6) = y2 – 6y – 6y + 36 = y2 – 12y + 36 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Feladatok: (x + 3)2 = (x + 3)(x + 3) = x2 + 2(3)(x) + 32 = x2 + 6x + 9 (z – 4)2 = (z – 4)(z – 4) = z2 – 2(4)(z) + 42 = z2 – 8z + 16

(a + b)(a – b) = a2 – b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Jegyezd meg ! (a + b)(a – b) = a2 – b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2