Útravaló ösztöndíjprogram Andrássy Gyula Gimnázium és Kollégium

Az előadások a következő témára: "Útravaló ösztöndíjprogram Andrássy Gyula Gimnázium és Kollégium"— Előadás másolata:

1 Útravaló ösztöndíjprogram Andrássy Gyula Gimnázium és Kollégium
A jelszó: −𝟏 - menjünk át a nem létező hídon! Komplex számok a középiskolában Útravaló ösztöndíjprogram Andrássy Gyula Gimnázium és Kollégium Békéscsaba Marczis György Balogh Eszter Bödör Balázs Gábor Csenke Nándor Kovács Dániel Molnár Alexandra Szép Ábris

2 Természetes számok Műveletek: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … zárt zárt nem zárt
… Műveletek: zárt zárt nem zárt nem zárt Tovább is van, mondjam még?

3 Egész számok Műveletek: … -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …
… … Műveletek: zárt zárt zárt nem zárt Tovább is van, mondjam még?

4 Racionális számok Műveletek: -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Műveletek: zárt zárt zárt zárt

5 Irracionális számok Tovább is van, mondjam még?
Racionális számok tizedestört alakjai: véges végtelen szakaszos Tovább is van, mondjam még? pl.:

6 Valós számok Q* R Q Z N

7 Tovább is van, mondjam még?
Valós számok Műveletek: zárt zárt zárt nem zárt zárt Tovább is van, mondjam még? zárt

8 Valós számok összeadása, kivonása
a a b a+b=b+a a -b a-b

9 Valós számok szorzása

10 Valós számok szorzása

11 Valós számok abszolútértéke
0-tól az a-ba mutató vektor hossza (0-tól való távolság) Tulajdonságok: T1: R összeadásra és szorzásra test T2: R elrendezhető és teljes

12 Komplex számok Valós - számegyenes a Komplex – Gauss-sík Z

13 Összeadás, kivonás, számmal szorzás

14 Összeadás, kivonás, számmal szorzás
a+b

15 Összeadás, kivonás, számmal szorzás
a+b a - b

16 Összeadás, kivonás, számmal szorzás
a+b a - b

17 Összeadás, kivonás, számmal szorzás
a+b a - b c·a c≥0

18 Összeadás, kivonás, számmal szorzás
a+b a - b c·a c≥0 c·a c<0

19 Komplex számok algebrai alakja

20 Komplex számok algebrai alakja

21 Komplex számok algebrai alakja

22 Komplex számok összeadása, kivonása

23 Komplex számok összeadása, kivonása

24 Komplex számok összeadása, kivonása

25 Komplex számok összeadása, kivonása

26 Komplex számok szorzása

27 Komplex számok szorzása

28 Komplex számok szorzása

29 Komplex számok szorzása

30 Komplex számok szorzása

31 Komplex számok szorzása

32 Komplex számok szorzása

33 Komplex számok szorzása

34 Komplex számok osztása
Konjugált: Z _ Z

35 Trigonometrikus alak

36 Szorzás trigonometrikus alakban

37 Hatványozás trigonometrikus alakban
A. de Moivre

38 Osztás trigonometrikus alakban

39 Gyökvonás trigonometrikus alakban

40 Gyökvonás trigonometrikus alakban

41 Gyökvonás trigonometrikus alakban

42 Gyökvonás trigonometrikus alakban

43 Gyökvonás trigonometrikus alakban

44 Gyökvonás trigonometrikus alakban

45 Egységgyökök

46 Egységgyökök

47 Egységgyökök

48 Egységgyökök

49 Egységgyökök

50 Komplex számok exponenciális alakja

51 Komplex számok exponenciális alakja

52 Komplex számok exponenciális alakja

53 Komplex számok exponenciális alakja

54 Komplex számok exponenciális alakja

55 Komplex számok exponenciális alakja
ha Euler-formula

56 Komplex számok exponenciális alakja
Műveletek exponenciális alakkal

57 Komplex számok exponenciális alakja

58 „Semmiből” hidat?

59 Másodfokú egyenlet megoldása

60 Addíciós tételek

61 Komplex számok története
Gerolamo Cardano Rafael Bombelli

62 Komplex számok története
Brook Taylor

63 Komplex számok története
Leonhard Euler

64 A matematika fejedelme
rendszerezés komplex számelmélet komplex prímek Gauss – egészek … K. F. Gauss

65 A két Bolyai Bolyai Farkas Bolyai János

66 Tovább is van, mondjam még?
William Hamilton

67 Alkalmazás (geometria)
Igazolja, hogy az egységsugarú körbe írt szabályos hatszög 5 csúcsának a 6. csúcstól mért távolságának szorzata 6-tal egyenlő!

68 Geometriai megoldás

69 Megoldás komplex számokkal (1)
Az általánosítás megszorítása nélkül: legyen a szabályos hatszög 6. csúcsa A0, az e0 =1 komplex számmal megadott csúcs! Továbbá legyen a hatszög többi csúcsa: (hatodik egységgyökök,k=1; 2; 3; 4; 5)!

70 Megoldás komplex számokkal (2)

71 Megoldás komplex számokkal (3)
Ekkor k=1;2;3;4;5 Így azt kellene belátnunk, hogy:

72 Megoldás komplex számokkal (4)
Tudjuk, hogy: Ezért: X=1 esetén:

73 Általánosítás Igazolja, hogy az egységsugarú körbe írt szabályos n-szög n-1 csúcsának az n. csúcstól mért távolságának szorzata n-nel egyenlő!

74 Megoldás komplex számokkal (1)
Ekkor is: k=1;2;…;(n-1) Így azt kellene belátnunk, hogy:

75 Megoldás komplex számokkal (2)
Tudjuk, hogy: Ezért: X=1 esetén:

76

77

78 R. Musil: Törless iskolaévei
" ... Ilyen, hogy »négyzetgyök minusz egy«, nem létezhet.... Csak éppen az az érthetetlen, hogy mégis számolhatunk imaginárius vagy más ilyen képtelen értékekkel és végül mindennek ellenére reális értéket kapunk eredményül...Hát nem olyan ez, mint egy híd, amelynek csak első és utolsó pillére van, a pillérek között pedig semmi, és te mégis olyan biztonsággal mégy át rajta, mintha nem kellene a folyóba esned? Én mindenképp csalást szimatolok az ilyen számításban, ahol csak hipp-hopp, ott legyek, ahol akarok... És a legkísértetiesebb számomra a matematikának ez az ereje, amely csakugyan átvisz minket a nem létező hídon, anélkül, hogy lezuhannánk róla.„