Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Függvények Definíció. Legyen A és B két nem üres halmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük a B halmaz pontosan egy elemét, akkor az A.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Függvények Definíció. Legyen A és B két nem üres halmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük a B halmaz pontosan egy elemét, akkor az A."— Előadás másolata:

1 Függvények Definíció. Legyen A és B két nem üres halmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük a B halmaz pontosan egy elemét, akkor az A halmazon értelmezett B-beli értékeket felvevő függvényről beszélünk. Az ilyen hozzárendelést egyértelmű hozzárendelésnek nevezzük. - ha akkor valós értékű függvényről, - ha akkor valós-valós függvényről beszélünk. Jelölés., vagy Egyenlőre csak valós-valós függvényekkel foglalkozunk. Definíció. Két függvény egyenlősége : ha és

2 Példa. és és Definíció. Az függvény invertálható, ha a fordított hozzárendelés is függvény, azaz különböző képe különböző. Az ilyen hozzárendelést kölcsönösen egyértelmű hozzárendelésnek nevezzük. A fordított hozzárendelést, - ha ez is függvény - az eredeti függvény inverz függvényének nevezzük. Jelölés. Tétel.Ha f invertálható, akkor is invertálható és. Következmény. Az eredeti függvény és az inverz függvényének grafikonja szimmetrikus az egyenesre. Függvények

3 Példa.,, nem invertálható, mert nem kölcsönösen egyértelmű. Ezért az értelmezési tartományát leszűkítjük olyan intervallumra, ahol már kölcsönösen egyértelmű lesz. Jelölés:, Ciklometrikus függvények (A trigonometrikus függvények inverzei) 1./ nem invertálható, ezért, ekkor és Függvények

4 2./ nem invertálható, ezért, ekkor és 3./ nem invertálható, ezért, ekkor és Függvények

5 4./ nem invertálható, ezért, ekkor és Összetett függvények Definíció. Legyen f és g két olyan adott függvény, amelyekre ! Az függvényen értjük azt a függvényt, amelynek értelmezési tartománya g értelmezési tartományának azon része, ahol g olyan értékeket vesz fel, amelyeken f értelmezve van. Az összetett függvény hozzárendelési szabálya: Függvények

6 Példa.Legyen,. ;,. ;. ; Függvények monotonitása Definíció. Az függvényt monoton növekedőnek (csökkenőnek) nevezzük, ha -re, melyre, az ( -re, az ). Szigorúan monoton növekvő (csökkenő), ha -re melyre, az. ( -re ) Függvények

7 Függvények korlátossága Definíció. Az függvényt alulról korlátosnak nevezzük, ha, hogy -re teljesül, hogy. Az függvényt felülről korlátosnak nevezzük, ha, hogy -re teljesül, hogy. Azfüggvényt korlátosnak nevezzük, ha alulról és felülről is korlátos. Periodikus függvények Definíció. Az függvény periodikus, ha szám, amelyre igaz, hogy 1./ esetén, 2./ -re. Ekkor p -t az f függvény periódusának nevezzük. Természetesen, ha p periódus, ennek bármely egész számszorosa is periódus. Függvények

8 Függvények határértéke Definíció. (torlódási pont) A P pontot a H halmaz torlódási pontjának nevezzük, ha a P bármely környezete tartalmaz legalább egy P -től különböző H halmazbeli pontot. Elnevezés: A H halmaz torlódási pontjainak halmazát a H derivált halmazának nevezzük. Definíció: (végesben, véges határérték) Legyen függvény, és. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az a pontban A, ha -hoz, hogy, amelyre igaz, hogy. Jelölés:, vagy, vagy, ha.

9 Függvények határértéke Definíció: Átviteli elv (végesben, véges határérték) Legyen függvény, és. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az a pontban A, ha minden olyan -beli sorozatra, amelyre és igaz, hogy. Tétel:Az előbbi két definíció ekvivalens. Bizonyítás: nincs. Definíció: (végesben, végtelen határérték) Legyen függvény, és. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az a pontban, ha -hoz, hogy, amelyre igaz, hogy. Jelölés:, vagy

10 Függvények határértéke További (összesen 9) határérték definíciókat adhatnánk meg, de a továbbiakban néhányat csak szemléltetünk előadáson. Definíció: (Kétoldali határérték) Legyen függvény, és. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az a pontban jobbról A, ha -hoz, hogy, amelyre igaz, hogy. Jelölés:, vagy Megjegyzés: Baloldali határértékre a definíció hasonló. Tétel: Nyilvánvaló, hogy az ] a, b [ valamely x pontjában az f függvénynek a.cs.a. létezik határértéke, ha létezik bal- és jobboldali határértéke, és ezek megegyeznek.

11 Műveletek függvényekkel Definíció. Legyen és tegyük fel, hogy . A két függvény 1./összege az az f + g függvény, amelyre és 2./szorzata az az függvény, amelyre és 3./a g függvény reciproka, az az függvény, amelyre és.

12 Műveletek függvényekkel Tétel. Legyen és tegyük fel, hogy, továbbá és. Ekkor 1./ 2./ 3./, ha Bizonyítás: Az átviteli elv miatt az állítások adódnak a sorozatok megfelelő tulajdonságaiból. Definíció., azaz a valós számhalmazból és a, valamint a -ből áll.

13 Függvények folytonossága Tétel.Legyen Ekkor f a.cs.a. folytonos a-ban, ha 1./f értelmezve van a-ban, 2./ Bizonyítás: nincs. Weierstrass-tétele Korlátos és zárt intervallumon értelmezett valós függvény az értelmezési tartományán felveszi a legkisebb és legnagyobb értékét. Bolzano tétele Legyen f folytonos az [a, b] intervallumon és, vagy Ekkor van olyan c hely, amelyre < c < b, és.

14 Szakadások Definíció. Legyen, D( f ) = ] a, b [. Ha az f függvénynek az pontban szakadása van és, valamint létezik, akkor azt mondjuk, hogy f-nek elsőfajú szakadása van x-ben. Egyébként a szakadást másodfajúnak nevezzük. Megjegyzés: Az elsőfajú szakadás kétféle lehet: 1./ 2./ Ekkor azt mondjuk, hogy az x helyen f-nek megszüntethető szakadása van.

15 Nevezetes határértékek Tétel. Bizonyítás: előadáson Következmény: Tétel. Bizonyítás: előadáson Tétel. Bizonyítás: nincs.


Letölteni ppt "Függvények Definíció. Legyen A és B két nem üres halmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük a B halmaz pontosan egy elemét, akkor az A."

Hasonló előadás


Google Hirdetések