Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSA.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSA."— Előadás másolata:

1 TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSA

2 TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák A gyakorlati életben előforduló mennyiségi változások, fizikai mozgások, szélsőérték-problémák stb… tanulmányozásának folyamata A differenciálszámítás alkalmazása a vizsgált folyamatban szereplő változók között keresünk függvénykapcsolatot → a jelenséghez „matematikai modellt” rendelünk a függvény tulajdonságainak vizsgálata (menete, görbülete, szélsőértéke stb…) fontos szerepe van a deriváltnak

3 TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák Függvények menetének vizsgálata A függvény menetének és a derivált előjelének kapcsolata 1.Vizsgáljuk meg az függvényt: x є ] 0 ; [ esetén iránytangens pozitív → derivált előjele pozitív - a függvény szigorúan monoton növekvő - bármely pontban az érintő irányszöge pozitív → x є ]- ; 0 [ esetén iránytangens negatív → derivált előjele negatív - a függvény szigorúan monoton csökkenő - bármely pontban az érintő irányszöge negatív → A megfigyelés általánosítható:

4 TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák Függvények menetének vizsgálata Tétel: Ha az ]a;b[ intervallumban differenciálható f(x) függvény az intervallumban akkor a derivált az intervallum minden pontjában monoton nő monoton csökken, nemnegatív nempozitív a függvény szigorú monotonitásából is csak az következik, hogy a derivált nemnegatív illetve nempozitív Megjegyzés: pl.: pontban a többi helyen

5 TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák Függvények menetének vizsgálata 2. A függvényvizsgálatkor általában a derivált előjeléből következtetünk a függvény menetére: Tétel: Ha f ‘ (x) az ]a;b[ intervallumban nemnegatív (nempozitív), akkor az f(x) függvény monoton növekvő (monoton csökkenő). Ha f ‘ (x) az ]a;b[ intervallumban pozitív (negatív), akkor az f(x) függvény szigorúan monoton növekvő (szigorúan monoton csökkenő). f(x) szigorúan monoton nő f(x) monoton csökken f(x) szigorúan monoton csökken f(x) monoton nő

6 TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák Függvények menetének vizsgálata A függvény szélsőértékének és a deriváltnak kapcsolata 1. Egy differenciálható f(x) függvény lokális szélsőérték helyén a görbéhez tartozó érintő párhuzamos az x tengellyel az érintő iránytangense nulla Megfordítva nem mindig teljesül, a derivált zérushelyén a függvénynek nincs mindig szélsőértéke

7 TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák Függvények menetének vizsgálata Az ilyen tulajdonságú grafikonpontot inflexiós pontnak, a grafikont az érintési pontban átmetsző érintőt inflexiós érintőnek nevezzük. - a görbéhez húzott érintő az x tengely - az érintő az érintési pontban a görbét átmetszi pontban - az pontban a függvénynek nincs szélsőértéke, mert az minden más pontban, tehát a függvény mindenütt szigorúan monoton növekvő 1. Példa: - az pont környezetében a derivált nem vált előjelet

8 TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák Függvények menetének vizsgálata - a görbéhez húzott érintő az x tengely - Ha, akkor az a függvény szigorúan monoton csökkenő pontban 2. Példa: - az pont környezetében a derivált előjelet vált → a függvénynek lokális szélsőértéke van - Ha, akkor az a függvény szigorúan monoton növekvő Általánosan:

9 TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák Függvények menetének vizsgálata Tétel: Az ]a;b[ intervallumban differenciálható f(x) függvénynek az intervallum x 0 pontjában csak akkor lehet lokális szélsőértéke, ha f ‘ (x 0 )= 0. Ez a szélsőérték létezésének szükséges feltétele. A derivált előjelváltásának módjából a szélsőérték jellegére is következtethetünk. Ha emellett az x 0 pont környezetében a derivált még előjelet is vált, akkor az f(x) függvénynek az x 0 pont környezetében lokális szélsőértéke van. xx < x 0 x = x 0 x > x 0 f ’ (x)+0- f(x) lokális maximum

10 TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák Függvények menetének vizsgálata vagy xx < x 0 x = x 0 x > x 0 f ’ (x)-0+ f(x) lokális minimum

11 TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák Függvények menetének vizsgálata Tétel: Ha az f(x) függvény az ]a;b[ intervallum x 0 pontjában kétszer differenciálható, és f ‘’(x 0 )= 0, valamint a második derivált előjelet vált, akkor az f(x) függvénynek az x 0 helyen inflexiós pontja van. A függvény deriváltjának és az inflexiós pont létezésének kapcsolata Bebizonyíthatók a következő tételek: Tétel: Ha az f(x) függvény az ]a;b[ intervallum x 0 pontjában háromszor differenciálható, és, akkor az f(x) függvénynek az x 0 helyen inflexiós pontja van.

12 TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák Függvények menetének vizsgálata Tétel: Ha az f(x) függvény az ]a;b[ intervallumban kétszer differenciálható, és f ‘’(x ) > 0, akkor az f(x) függvény konvex, ha f ‘’(x ) < 0, akkor az f(x) függvény konkáv.

13 TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák Függvények menetének vizsgálata A függvényvizsgálat célszerű lépései: értelmezési tartomány meghatározása zérushelyek kiszámítása a derivált meghatározása a derivált zérushelyeinek kiszámítása a táblázat elkészítése megvizsgáljuk, hogy páros-e, páratlan-e, periodikus-e stb… a függvény grafikonjának felvázolása

14 TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák Példák függvényvizsgálatra 1. Példa: Zérushely: Deriváltfüggvény: Inflexiós pont inflexiós pont

15 TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák Példák függvényvizsgálatra Páratlan függvény: a függvény grafikonja szimmetrikus az origóra Az függvény vázlatos képe:

16 TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák Példák függvényvizsgálatra 2. Példa: Zérushely: Deriváltfüggvény: Szélsőértékhelyek: Inflexiós pont: inflexiós pont

17 TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák Példák függvényvizsgálatra Az függvény vázlatos képe:

18 TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák Példák függvényvizsgálatra 3. Példa: Zérushely: Deriváltfüggvény: Inflexiós pont: inflexiós pont

19 TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák Példák függvényvizsgálatra Az függvény vázlatos képe:

20 TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák Példák függvényvizsgálatra 4. Példa: Zérushely: Deriváltfüggvény: Szélsőértékhelyek:

21 TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák Példák függvényvizsgálatra Az függvény vázlatos képe:

22 TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák Példák függvényvizsgálatra 5. Példa: Zérushely: Deriváltfüggvény: Szélsőértékhelyek:

23 TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák Példák függvényvizsgálatra Az függvény vázlatos képe: Inflexiós pont: inflexiós pont

24 TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák Példák függvényvizsgálatra 6. Példa: Zérushely: Deriváltfüggvény: Szélsőértékhelyek:

25 TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák Példák függvényvizsgálatra Az függvény vázlatos képe:


Letölteni ppt "TARTALOM Differenciálszámítás alkalmazása Függvények mentének vizsgálata Példák DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSA."

Hasonló előadás


Google Hirdetések