Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

A lokális szélsőérték és a derivált kapcsolata Definíció. Legyen. Azt mondjuk, hogy f-nek lokális maximuma (lokális minimuma) van az pontban, ha, hogy.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "A lokális szélsőérték és a derivált kapcsolata Definíció. Legyen. Azt mondjuk, hogy f-nek lokális maximuma (lokális minimuma) van az pontban, ha, hogy."— Előadás másolata:

1 A lokális szélsőérték és a derivált kapcsolata Definíció. Legyen. Azt mondjuk, hogy f-nek lokális maximuma (lokális minimuma) van az pontban, ha, hogy esetén, amelyre, teljesül. Tétel.Legyen f az [a, b] intervallumon értelmezett valós függvény. Ha f-nek az pontban lokális maximuma (lokális minimuma) van, és ha létezik, akkor. Bizonyítás: előadáson

2 Középérték tételek Cauchy-féle középértéktétel. Legyenek f és g folytonos valós függvények az [a, b] intervallumon, és differenciálhatóak az ]a, b[ intervallumon. Ekkor, amelyre Bizonyítás: nincs Lagrange-féle középértéktétel. Legyen f folytonos valós függvény az [a, b] intervallumon, és differenciálható az ]a, b[ intervallumon. Ekkor, amelyre Bizonyítás: nincs Geometriai szemléltetés: előadáson

3 Középérték tételek Rolle-féle középértéktétel Legyen f folytonos valós függvény az [a, b] intervallumon, differenciálható az ]a, b[ intervallumon, és, akkor, amelyre. Bizonyítás: nincs Geometriai szemléltetés: előadáson A derivált függvény folytonossága Darboux-tétele. Legyen,, f differenciálható - n és például Ekkor minden olyan -hoz, amelyre van olyan, amelyre. Bizonyítás: nincs

4 Magasabbrendű deriváltak Definíció. Legyen. Tegyük fel, hogy, mely esetén létezik az f függvény -nel jelölt deriváltja. Azt mondjuk, hogy az f függvény (n + 1)-szer deriválható az a pontban, ha létezik az. Példa:Határozzuk meg a következő deriváltakat! 1./ 2./

5 Függvényvizsgálat Tétel. Legyen, differenciálható az intervallumon. 1./Ha esetén, akkor f az -n monoton növekedő, 2./Ha esetén, akkor f az -n monoton csökkenő. Bizonyítás: előadáson. Definíció. Legyen és a D( f ) belső pontja. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az pontban (-, +) előjelváltása van, ha, hogy esetén, és esetén. A (+, -) előjelváltás értelemszerűen azt jelenti, hogy a fentiekben a > és a < relációk helyet cserélnek.

6 Függvényvizsgálat Tétel.Legyen és. Ha és az függvénynek az a helyen (-, +) előjelváltása (vagy. (+, -) előjelváltása) van, akkor f az a pontban lokális minimumot (maximumot) vesz fel. Bizonyítás: előadáson. Megjegyzés. A tételt szokás a lokális minimumra (maximumra) vonatkozó elsőrendű, elégséges feltételnek nevezni. Kétszer deriválható függvények esetében adható meg az ú.n. másodrendű elégséges feltétel.

7 Függvényvizsgálat Tétel.Legyen és. Tegyük fel, hogy f kétszer differenciálható az a pontban és, továbbá ;. Ekkor az f az a helyen lokális minimumot (maximumot) vesz fel. Bizonyítás: előadáson. Megjegyzés. Tekintsük az függvényt.,, …, és csak az. Kérdés, hogy ilyen esetekben milyen elégséges feltétel adható a lokális szélsőérték létezésére? Erre ad választ a következő tétel, amit szokás a lokális minimumra (maximumra) vonatkozó magasabb rendű elégséges feltételnek nevezni.

8 Függvényvizsgálat Tétel.Tegyük fel, hogy az f  R  R az a  D(f) pontban 2n-szer differenciálható. n  N és Ekkor f az a pontban lokális minimumot (maximumot) vesz fel. Bizonyítás. Nincs Definíció. Legyen I  R. Azt mondjuk, hogy az f : I  R függvény alulról konvex (konkáv), ha   I esetén az és pontokat összekötő egyenes szakasz (húr) egyetlen pontja sincs a függvény grafikonja alatt (fölött). Definíció. Legyen f az a pontban differenciálható függvény. Azt mondjuk, hogy az a pont inflexiós helye f-nek, ha f a-hoz tartozó érintőjét -val jelölve az f - függvény az a pontban előjelet vált. Ha az f-nek az a pontban inflexiós helye van, akkor azt is szoktuk mondani, hogy f-nek a-ban inflexiós pontja van.

9 Függvényvizsgálat Tétel.Legyen f: I  R, I  R, f kétszer deriválható I-n. Az f a. cs. a. konvex (konkáv) I-n, ha  x  I esetén ( ). Bizonyítás. Nincs Tétel.Legyen f: I  R, I  R, f kétszer deriválható I-n. Az f –nek az a  I pontban inflexiós pontja van, ha 1./ (szükséges feltétel) 2./ az a környezetében előjelváltó. (elégséges feltétel) Bizonyítás. Nincs

10 Függvényvizsgálat Tétel.Tegyük fel, hogy az f  R  R az a  D(f) pontban 2n+1-szer differenciálható (n  N ) és Ekkor f -nek az a pontban inflexiós pontja van.

11 Hiperbolikus függvények Definíció: ( sinus hiperbolikus ) ( cosinus hiperbolikus ) ( tangens hiperbolikus ) ( cotangens hiperbolikus )

12 Hiperbolikus függvények Azonosságok: Bizonyítás: előadáson. Tétel: Bizonyítás: előadáson.

13 Hiperbolikus függvények inverzei Definíció. A szigorúan monoton sh,, th, függvények inverzeit rendre area szinuszhiperbolikusz, area koszinuszhiperbolikusz, area tangenshiperbolikusz és area kotangenshiperbolikusz függvénynek nevezzük, és arsh, arch, arth, arcth szimbólumokkal jelöljük. Tétel.1./ Tetszőleges esetén 2./ Ha, akkor 3./ Ha, akkor 4./ Ha, vagy, akkor Bizonyítás: előadáson

14 Hiperbolikus függvények inverzeinek deriváltjai Tétel. Bizonyítás: előadáson

15 Teljes függvényvizsgálat (Függvénydiszkusszió) A teljes függvényvizsgálat lépései: 1./Az értelmezési tartomány megadása 2./Paritás vizsgálat 3./Határértékek az értelmezési tartomány „szélein” 4./Zérushelyek 5./Monotonitás-vizsgálat, lokális szélsőértékek meghatározása 6./Görbületi jelleg, inflexiós pontok meghatározása 7./A függvény grafikonjának felvázolása 8./Az értékkészlet megadása


Letölteni ppt "A lokális szélsőérték és a derivált kapcsolata Definíció. Legyen. Azt mondjuk, hogy f-nek lokális maximuma (lokális minimuma) van az pontban, ha, hogy."

Hasonló előadás


Google Hirdetések