Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

1 Euklidészi gyűrűk Definíció. Az R integritási tartományt euklidészi gyűrűnek ne-vezzük, ha  olyan  függvény, amelyre  : R*  N 0, és I.  ,  R,

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "1 Euklidészi gyűrűk Definíció. Az R integritási tartományt euklidészi gyűrűnek ne-vezzük, ha  olyan  függvény, amelyre  : R*  N 0, és I.  ,  R,"— Előadás másolata:

1 1 Euklidészi gyűrűk Definíció. Az R integritási tartományt euklidészi gyűrűnek ne-vezzük, ha  olyan  függvény, amelyre  : R*  N 0, és I.  ,  R,  0 esetén létezik olyan ,  R, hogy  =  + , ahol  = 0 vagy   0 és  (  ) <  (  ), II. valamint  (  )  max(  (  ),  (  )),  ,   R* -ra.

2 2 Példák. 2. Gauss-egészek: G = { a+bi | a, b  Z }  a+bi  G esetén  (a+bi) = (a+bi)(a–bi) = |a+bi| 2 = a 2 + b 2 1. Z az abszolút érték függvénnyel. 3. H a szokásos + és  műveletekkel, ahol

3 3 Definíció. Legyen R integritási tartomány és a, b  R. a osztója b-nek, ha létezik c  R, mely-re b = ac. a | b Könnyen belátható, hogy az oszthatóság tranzitív, továbbá a|b, a|c esetén a|bx+cy is teljesül, ha a, b, c, x, y  R. Definíció. R integritási tartományban a  R egység, ha a | r  r  R-re.

4 4 37. Tétel. R integritási tartományban akkor és csak akkor léte- zik egységelem, ha létezik egység. Bizonyítás. 1.  : Tfh R-ben van e egységelem, vagyis er = r minden r  R esetén.  e | r minden r  R esetén, az egységelem egység is egyúttal. 2.  : Tfh  a  R egység, és legyen r  R tetszőleges. a | a   e  R : ae = a. Ekkor e egységelem, mert a | r   s  R : as = r, tehát  e egységelem

5 5 38. Tétel. Az R egységelemes integritási tartományban a  R akkor és csak akkor egység, ha a | e. Bizonyítás. 1. Legyen a egység  a | e. 2. Tfh a | e   a 1  R : e = aa 1 és tetszőleges r  R: er = r  aa 1 r = r  a | r  a egység.

6 6 39. Tétel. Ha R euklidészi gyűrű, akkor egységelemes, és E = { r | r  R*, φ(r) minimális } az egységek halmaza R-ben. Bizonyítás. 1. Belátjuk, hogy E elemei egységek. Legyen a  E, és b  R tetszőleges. b-t oszthatjuk a-val maradékosan   c, d  R : b = ac+d, ahol a. d=0, vagy b. d  0 és  (d) <  (a). A b. eset nem fordulhat elő  (a) minimalitása miatt  d = 0  a | b.

7 7 2. Belátjuk, hogy minden egység E-ben van. Legyen a  R egység, b  E adott. a | b  b = ac. b  E, b  0  a, c  R*. Az euklidészi gyűrűk II. tulajdonsága    (b)   (a). φ(b) minimális  φ(a) is minimális,  a  E

8 8 1. Z-ben csak két egység van: +1 és –1. 2. G-ben az egységek Nullától különböző komplex szám abszolút értéke nem nulla,  a nem nulla elemek esetén előforduló legkisebb érték 1.  (a+bi)=1  (a+bi)=a 2 +b 2 =1 a=  1 és b=0, vagy a=0 és b=  1. G-ben az egységek.  1,  i

9 9 egységek: a 2 –2b 2 =  1 Ennek az úgynevezett Pell-egyenletnek végtelen sok megoldása van,  H-ban végtelen sok az egység. Néhány ezek közül: 3. ab 11 0 11 11 33 22 77 55

10 10 Definíció. Legyen R egységelemes integritási tartomány, és a, b  R. Azt mondjuk, hogy a és b asszociáltak, ha létezik olyan c egység, amelyikkel a = bc. Ezt a tényt a  b-vel jelöljük. 40. Tétel. 1. R egységelemes integritási tartományban az egységek halmaza — jelöljük E-vel —, a szorzásra csoportot alkot. 2. Az asszociáltság R-ben ekvivalenciareláció.

11 11 Bizonyítás. 1. Csoport: - egységek szorzata egység: e 1 c 1 = e és e 2 c 2 = e  e 1 c 1 e 2 c 2 = e 2 = e  e 1 e 2 | e, - asszociatív mert R is az volt, - e az egységelem E-ben is, -  inverz: e 1 e 2 = e  e 1 -1 = e 2.

12 12 2. Az asszociáltság ekvivalencia reláció: - reflexív: a  a, hiszen a = ae minden a  R esetén. - tranzitív: a  b és b  c  a = b  e 1 és b = c  e 2,  a = c  e 1  e 2, azaz a  c. - szimmetrikus: a  b  a = b  e 1 / e 1 -1 a e 1 -1 = be 1 e 1 -1, a e 1 -1 = b ba.ba.

13 Tétel. Az R egységelemes integritási tartományban két elem asszociáltságához a kölcsönös oszthatóságuk szüksé- ges és elégséges feltétel. 1. a  b  a | b és b | a 2. Tegyük fel, hogy a  b és b  a. Ha a és b egyike 0  a másik is az  asszociáltak is. Tfh a, b  R*. b=a  c és a=b  d. b=b  d  c=b  (d  c), b  e=b  (d  c). b  0, és nem nullosztó  e = d  c  d és c egységek  a  b.

14 14 Definíció. Legyen R euklidészi gyűrű és a, b  R. Azt mondjuk, hogy d  R az a és b legnagyobb közös osztója, d=(a, b), ha 1. közös osztó, vagyis d  a és d  b, valamint 2. c  a és c  b esetén c  d. Belátható az, hogy a legnagyobb közös osztó asszociáltság erejéig egyértelmű, valamint az, hogy (0, 0)=0.

15 15 Ha a és b legalább egyike, mondjuk b  0, akkor el- végezhető itt is az euklidészi algoritmus: a= b  q 0 +r 0 ha r 0  0,akkor  (r 0 )<  (b) b= r 0  q 1 +r 1 ha r 1  0,akkor  (r 1 )<  (r 0 )... r n–2 = r n–1  q n +r n ha r n  0,akkor  (r n )<  (r n–1 ) r n–1 = r n  q n+1 Az euklidészi algoritmus most is véget ér véges sok lépésben. Belátható, hogy ezzel az algoritmussal megkapjuk (a, b)-t, valamint léteznek olyan x, y  R elemek, hogy (a, b)=a  x+b  y. r 0 = r 1  q 2 +r 2 ha r 2  0,akkor  (r 2 )<  (r 1 )

16 16 Definíció. R legyen euklidészi gyűrű, E az egységek halmaza: 1. a  R*–E felbonthatatlan, ha a = b  c, (b, c  R) esetén b  E vagy c  E. 2. a  R*–E prím, ha a  b  c, (b, c  R)  a  b vagy a  c. Belátható, hogy tetszőleges euklidészi gyűrűben egybeesik a prímek és a felbonthatatlanok halmaza.

17 Tétel. R legyen euklidészi gyűrű és a, b  R*. Ha a  b, akkor 1.  (a)<  (b), vagy 2.  (a)=  (b)  ha a  b. Bizonyítás. 1. Euklidészi gyűrű II. tulajdonsága miatt  (a)  (b).

18 18 2. Tfh a  b és  (a)=  (b). Az I. tulajdonság miatt létezik r, s  R, amelyekre: a = b  r+s, ahol a. s = 0, vagy b. s  0 és  (s)<  (b)=  (a). (*) a  b   t  R : b = a  t továbbá a = a  e De ekkor s  0  (*) miatt ez nem fordulhat elő  s = 0, b  a azaz a  b.

19 19 Definíció. Az R euklidészi gyűrű triviális, ha csak az egységeket és a nullelemet tartalmazza, vagyis R* = E. 43. Tétel. R euklidészi gyűrű akkor és csak akkor triviális, ha test. Bizonyítás. 1. Tfh R triviális euklidészi gyűrű  a  R* egység   b  R esetén a | b  az ax=b egyenlet megoldható, vagyis R test. 2. Tfh R test  az a  x=b egyenlet megoldható tetszőleges rögzített a  0 és minden b esetén  a  b, s így a egység.

20 Tétel. R euklidészi gyűrűben minden nullától és az egysé- gektől különböző elemnek van felbonthatatlan osztója. Bizonyítás. Tfh a  R*\E, és D = {r: r  R*\E, r  a és, ha s  R*\E és s  a   (r)  (s)}. D     f  D. D az a elem azon nem nulla, nem egység osztóit tartalmazza, amikre a  érték minimális.

21 21 Indirekte tfh f nem felbonthatatlan  f = b  c és b, c  E  b  a. b  f és nem asszociáltak  42. Tétel   (b)  (f)   (b)<  (f), mert ekkor b lenne D-ben f helyett.  f felbonthatatlan

22 Tétel. Legyen R euklidészi gyűrű és a  R*\E. Ekkor a elő- állítható véges sok R-beli felbonthatatlan szorzataként. Bizonyítás (  értéke szerinti teljes indukció). Tfh a  R*\E. 1. Tfh  (a) minimális az R*\E-beli elemekre nézve. 44. Tétel  a felbonthatatlan. a = a 2. Legyen a  R*\E,  (a) = n, és tegyük fel, hogy n- nél kisebb  értékkel rendelkező elemek esetén az állítás igaz. 44. Tétel   f felbonthatatlan : f | a  a = fh.

23 23 Lehet-e  (h) =  (a) ? Ekkor h | a  a  h lenne, de f nem egység, tehát  (h) <  (a). 1. eset: Tfh h egység  a felbonthatatlan. 2. eset: Tfh h nem egység  indukciós feltétel  h-nak  megfelelő felbontása: h = f 1  f 2  …  f r  a = f  f 1  f 2  …  f r. a = fh.

24 Tétel. Legyen R euklidészi gyűrű és a  R*\E. Ekkor a sorrend és asszociáltság erejéig egyértelműen bontható fel felbonthatatlanok szorzatára. Megjegyzés: Ha érvényben van egy R integritási tartományban az egyértelmű felbontás tétele, ebből nem következik, hogy euklidészi gyűrű. Gyűrűk Integritási tartományok Faktorizációs tartományok, Gauss-gyűrűk Euklidészi gyűrűk Testek


Letölteni ppt "1 Euklidészi gyűrűk Definíció. Az R integritási tartományt euklidészi gyűrűnek ne-vezzük, ha  olyan  függvény, amelyre  : R*  N 0, és I.  ,  R,"

Hasonló előadás


Google Hirdetések