Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

1 Gyűrűk Integritási tartományok Gauss-gyűrűk (UFD) Euklidészi gyűrűk Testek Kommutatív gyűrűk Egységelemes integritási tartományok Főideál gyűrűk.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "1 Gyűrűk Integritási tartományok Gauss-gyűrűk (UFD) Euklidészi gyűrűk Testek Kommutatív gyűrűk Egységelemes integritási tartományok Főideál gyűrűk."— Előadás másolata:

1 1 Gyűrűk Integritási tartományok Gauss-gyűrűk (UFD) Euklidészi gyűrűk Testek Kommutatív gyűrűk Egységelemes integritási tartományok Főideál gyűrűk

2 2 Polinomok Például

3 3 Definíció. Legyen R egységelemes integritási tartomány. R-beli együtthatós, vagy R feletti egy határozatlanú polinomoknak nevezzük az (a 0, a 1, …, a n, …) végtelen sorozatokat, amelyekben a i  R (i=0, 1, …), és csak véges sok a i különbözik 0-tól. Az a i elemek a polinom együtthatói.

4 4 Legyenekf=(a 0, a 1, …, a n, …) és g=(b 0, b 1, …, b n, …) R feletti polinomok. f = g   i : a i = b i. Műveletek: 1. u = f+g = (c 0, …, c n, …), c i = a i +b i (i  N 0 ). 2. v = f  g = (d 0, …, d n, …), ahol 3. a  R esetén a  f = (a  a 0, …, a  a n ).

5 5 Az R feletti polinomok az 1., 2. műveletekkel kommutatív egységelemes gyűrűt alkotnak. Az a  f a = (a, 0, …, 0, …) megfeleltetés injektív és művelettartó. R elemei is R feletti polinomoknak tekinthetők (konstans polinomok). Ekkor  f R feletti polinomra a  f = f a  f.  Egységelem az (e, 0, …, 0, …) polinom, ahol e az R gyűrű egységeleme. Belátható

6 6 Legyen x = (0, e, 0, …, 0, …) x n = (0, …, e, 0, …), n  N. n+1 –edik pozíció Legyen x 0 =( e, 0, …, 0, …). = a 0 + a 1 x +…+ a n x n +…, ahol az a i  R az = (a i, 0, …, 0, …) polinomnak felel meg. f = (a 0, a 1, …, a n, …) = = (a 0, 0, …, 0, …) (0, 0, …, a n, …) =

7 7 Jelölés. az R feletti polinomgyűrűt x = (0, e, 0, …, 0, …) figyelembevételével R[x]-szel jelöljük. Definíció. Legyen f = a 0 + a 1 x +…+ a n x n  R[x], ekkor a i az i-edfokú tag együtthatója. A 0-adfokú tag együtthatója a polinom konstanstagja. Ha a n  0, akkor a n a polinom főegyütthatója, és n a polinom foka. deg f Ha a polinomnak nincs 0-tól különböző együtthatója, akkor a polinom fokát nem definiáljuk.

8 8 R[x] nulleleme: az a polinom, amelyiknek minden együtthatója nulla (nullpolinom), egységeleme az f(x)=e polinom. A nullpolinom kivételével minden polinomnak van foka. Időnként a nullpolinom fokát –  -ként definiálják. f konstans polinom: f(x)=a 0, ahol a 0  0, deg(f)=0. f elsőfokú vagy lineáris polinom: deg(f)=1

9 9 fg polinom főegyütthatója f és g főegyütthatójának szorzata : a n b k  0 Tétel. R[x] nullosztómentes. Bizonyítás. mert R nullosztómentes.  f(x)g(x) sem lehet a nullpolinom.

10 10 deg(f +g)  max(deg(f ), deg (g)), deg(f  g) = deg( f ) + deg( g)  max(deg( f ), deg( g)).  Egységelemes integritási tartomány feletti polinomgyűrű egységelemes integritási tartományt alkot. Ha f, g  R[x]* és f + g  0, akkor

11 11 Polinomfüggvény : f : R  R, f(c) = a 0 + a 1  c +…+ a n  c n  R, c  R. Két polinomfüggvény (f és g) egyenlő, ha f(c) = g(c) minden c  R esetén teljesül. Polinom és polinomfüggvény nem feltétlenül esnek egybe. Végtelen integritási tartományban a polinomok és polinomfüggvények között bijekció létesíthető, és a polinomok, illetve a polinomfüggvények egyenlősége ugyanazt jelenti, véges esetben azonban ez nincs így.

12 12 Példa. Két különböző polinom polinomfüggvénye mege- gyezhet. Legyen például R = Z 3 A két polinomfüggvény megegyezik, a két polinom különböző.

13 13 Tétel (polinomok maradékos osztása) Legyen R egységelemes integritási tartomány, f, g  R[x] és g főegyütthatója, b k legyen R-ben egység. f (x) = g(x)  q(x) + r(x), Bizonyítás. A. Létezés I. Ha f = 0, vagy n < k  q(x)  0, r(x) = f(x). Ekkor egyértelműen léteznek olyan q, r  R[x] polinomok, melyekkel és deg(r) < deg(g). ahol r(x)  0, vagy

14 14 II. Legyen n  k. n szerinti teljes indukció: 1. Ha n = k = 0  akkor legyen b k egység R-ben, így létezik inverze 2. Legyen n > 0 és tfh az n-nél kisebb fokszámok esetén igaz az állítás. f 1 (x) = f(x) – g(x)  a n  b k -1 x n–k. (*) Ha f 1 = 0  q(x) = a n  b k -1 ·x n–k, r(x) = 0.  f és a belőle levonásra kerülő polinom főegyütthatója megegyezik,  f 1 =0, vagy deg f 1

15 15 Ha deg ( f 1 ) < deg ( f ), ind. feltétel   q 1 (x), r 1 (x)  R[x] : f 1 (x) = g(x)  q 1 (x) + r 1 (x), ahol r 1 (x)  0 vagy deg( r 1 )

16 16 2. Egyértelműség Tfh f = g  q 1 + r 1 = g  q 2 + r 2  g  (q 1 – q 2 ) = r 2 – r 1. Tegyük fel indirekte, hogy q 1 – q 2  0  deg(r 2 – r 1 ) = deg( g  (q 1 – q 2 ) )  deg( g ).  q 1 – q 2 = 0  r 2 – r 1 = 0. f és g fenti két előállítása megegyezik  egyértelmű az előállítás.

17 17 Következmény: Tétel (test feletti polinomgyűrű) Legyen R test, és f  R[x]* esetén  : R[x]*  N 0,  (f) = deg( f). Ekkor R[x]  -vel euklidészi gyűrűt alkot. Bizonyítás. Előző tétel  ha g főegyütthatója egység, akkor elvégezhető g-vel a maradékos osztás. Test esetén minden nem nulla elem egység, Az előző tétel a következőképpen módosul: R test, f, g  R[x], g  0 esetén egyértelműen léteznek olyan q, r  R[x] polinomok, melyekkel f(x)= g(x)q(x)+r(x), ahol a. r(x)  0, vagy b. deg r

18 18 ha f, g  R[x]*, akkor  (fg)=deg(fg)=deg f + deg g   max(deg f, deg g)=max (  ( f ),  (g))  az euklidészi gyűrűk második tulajdonsága is teljesül.

19 19 Gyűrű Egységelemes integritási tartomány Gauss-gyűrű (UFD) Euklidészi gyűrű Test Kommutatív gyűrű R R[x] is az! R[x] csak UFD R[x] csak Eukl. gy.


Letölteni ppt "1 Gyűrűk Integritási tartományok Gauss-gyűrűk (UFD) Euklidészi gyűrűk Testek Kommutatív gyűrűk Egységelemes integritási tartományok Főideál gyűrűk."

Hasonló előadás


Google Hirdetések