Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

1 Algebrai struktúrák. Def. Az ( A,  ) pár algebrai struktúra, ha A nem üres halmaz, és  az A-n értelmezett véges változós műveletek halmaza. A-t tartóhalmaznak.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "1 Algebrai struktúrák. Def. Az ( A,  ) pár algebrai struktúra, ha A nem üres halmaz, és  az A-n értelmezett véges változós műveletek halmaza. A-t tartóhalmaznak."— Előadás másolata:

1 1 Algebrai struktúrák

2 Def. Az ( A,  ) pár algebrai struktúra, ha A nem üres halmaz, és  az A-n értelmezett véges változós műveletek halmaza. A-t tartóhalmaznak (alaphalmaz) hívjuk. 2 Ha tehát   , akkor egyértelműen létezik olyan n  N 0, melyre  : A n  A függvény. Def. Legyen ( A,  ) algebrai struktúra, ha  az n 0, n 1,..., n i,... nullér, unér, stb. véges változós műveletek halmaza, akkor (n 0, n 1,..., n i,... ) az ( A,  ) algebrai struktúra típusa.

3 3 A (0, 0, 1, 0,... ) típusú algebrai struktúrákat grupoidnak hívjuk. Def. Az ( G,  ) binér műveletes algebrai struktúrában a műveletet kommutatív a műveletet, ha minden a, b  G esetén ab = ba. asszociatívnak nevezzük, ha minden a, b, c  G esetén a(bc) = (ab)c reguláris, ha minden a, b, c  G esetén ac = bc -ből következik, hogy a = b, valamint ca = cb -ből következik, hogy a = b. A (G,  ) algebrai struktúra félcsoport, ha egyetlen kétváltozós műveletet tartalmaz, amely asszociatív.

4 4 Tétel (Általános asszociativitási törvény). Ha (G,  ) félcsoport, akkor minden szorzat tetszőlegesen bontható zárójelekkel két részre: (a 1 a 2...a k )(a k+1...a n ) = a 1 a 2...a n minden 1  k < n esetén. Def. A (G,  ) félcsoportban az e b  G bal oldali egységelem, ha minden a  G esetén e b a = a. e j  G jobb oldali egységelem, ha minden a  G esetén ae j = a. Az e egységelem, ha egyszerre bal és jobb oldali egységelem. semleges elem

5 5 Példa. G félcsoport a mátrixszorzással, továbbá baloldali egységelem: ahol x + y = 1, hiszen végtelen sok van!

6 6 Def. Legyen a (G,  ) félcsoportban e egységelem. Az a  G elemnek a b  G balinverze, ha a b a = e, a j  G jobbinverze, ha aa j = e. Inverze a-nak az a’ elem, ha aa’ = a’a = e. G a (G,  ) félcsoportban e b baloldali egységelem. Az a  G elemnek a b  G az e b -re vonatkoztatott balinverze, ha a b a = e b, illetve az e b -re vonatkoztatott jobbinverze, ha aa b = e b. Hasonlóan definiáható a bal- és jobbinverz fogalma jobboldali egységelemre.

7 7 Tétel(egységelem és inverz unicitása) Félcsoportban legfeljebb egy egységelem létezik, és minden elemnek legfeljebb egy, az egységelemre vonatkozó inverze létezik. Biz. Legyen (G,  ) félcsoport, e b bal oldali, e j pedig jobb oldali egységelem G-ban. Ekkor e b = e j, hiszen e b e j = e j és e b e j = e b, mert e b bal-, e j jobb oldali egységelem. Függvény egyértelmű! Asszociatív tulajdonság a b aa j = a b (aa j ) = a b e = a b és a b aa j = (a b a)a j = ea j = a j. Ha az a  G elemnek a b balinverze, a j pedig jobbinverze, akkor a b = a j :

8 8 Def. A (H,  ) félcsoport csoport, ha 2. minden a  H elemnek létezik erre az egységelemre vonatkozó a –1 inverze : a –1 a = aa –1 = e. 1. létezik benne e egységelem, és Def. Abel-csoportnak nevezzük a kommutatív csoportokat. Példa.

9 9 Hatványozás egész kitevővel Ha G csoport, g  G, n  N +, akkor legyen Érvényesek g, h  G és m, n  Z -re: g m+n = g m  g n és (g m ) n = g m  n ha g, h felcserélhető, akkor (g  h) m = g m  h m Additív írásmód esetén: (m + n)g = mg + ng, m(ng) = (mn)g és n(g + h) = ng + nh

10 10 Gyűrű Integritási tartomány Kommutatív Egységelemes integritási tartomány Nullosztó mentesEgységelemes

11 11 Gyűrűk Def. Az (R; +, ·) algebrai struktúra gyűrű, ha + és · R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ·) félcsoport, és III. teljesül mindkét oldalról a disztributivitás, vagyis a(b+c)=ab+ac, (b+c)a=ba+ca minden a, b, c  R esetén. Kommutatív a gyűrű, ha a szorzás kommutatív. Az additív csoport egységelemét a gyűrű nullelemének nevezzük és 0-val jelöljük.

12 12 Egységelemes a gyűrű, ha a szorzásra vonatkozóan van egységelem (amit e-vel vagy 1-gyel jelölünk). Nullgyűrű: egyetlen elemből áll (nullelem). Zérógyűrű: ha tetszőleges két elem szorzata a nullelem. Lemma(szorzás nullelemmel) Legyen 0 az R gyűrű nulleleme. Ekkor a0 = 0a = 0  a  R esetén. a(0+0) = a0 disztributivitás, +0  a0 + a0 = a regularitása  a0 = 0 Biz.

13 13 Lemma(előjelszabály) Legyen R gyűrű, és a, b  R. Az a elem additív inverzét jelöljük –a-val. Ekkor –(ab) = (–a)b = a(–b) és ab additív inverze létezik, mert (R, +) csoport.  ab + (– (ab)) = 0, valamint ab + (–a)b = (a + (–a))b = 0b = 0  –(ab) = (–a)b (–a)(–b) = ab. Biz. –(ab) = a(–b) hasonlóan. (–a)(–b) + (–a)b = (–a)((–b) + b) = 0 = ab + (–a)b.

14

15 15 Biz.

16 16

17 17 Def. Az R gyűrűben a  R bal oldali nullosztó, ha a  0 és létezik b  0, b  R, melyre ab = 0, ekkor b jobb oldali nullosztó, (a, b nullosztó pár). Ha a  R bal és jobb oldali nullosztó is, akkor nullosztónak nevezzük Lemma(nullosztó és regularitás) Legyen a az R gyűrű eleme, a  0. ab = ac  b = c akkor és csak akkor teljesül minden b, c  R esetén ha a nem bal oldali nullosztó. Def. A legalább két elemű gyűrűt nullosztómentes gyűrűnek nevezzük, ha nincsen benne nullosztó. Észrevétel: Ha (R * ;  ) nemüres félcsoport  R nullosztómentes.

18 18 1.  Tfh a  0, a nem bal oldali nullosztó és ab = ac.  (ac) mindkét oldalhoz  ab + (  (ac)) = 0 előjel szabály  ab + (a(  c)) = a(b + (  c)) = 0 a nem nullosztó  b + (  c) = 0  b = c Biz. 2.  a bal oldali nullosztó, tehát a  0 és létezik b  0, mellyel ab = 0. tetszőleges c  R-re ac = ac adjuk a jobb oldalhoz az ab = 0-t  ac = ac + ab, disztributivitás  ac = a(c+b) mert b  0  c  c + b.

19 19 Def. A legalább két elemű, kommutatív, nullosztómentes gyűrűt integritási tartománynak nevezzük. Def. (R; +,  ) integritási tartomány rendezett integritási tartomány, ha R rendezett halmaz és

20 20 Biz. (1’)  (1) trivi, (2’)  (2), mert x0 = 0y = 0. tfh (1) teljesül, ekkor x < y  x  y  x + z  y + z, továbbá regularitás miatt x + z  y + z  x + z < y + z tfh (2) teljesül, ekkor x, y > 0  x, y  0  xy  0, továbbá nullosztómentesség miatt xy  0  xy >

21

22 22 Biz. x > 0  0 = –x + x > –x + 0 = –x x < 0  0 = –x + x < –x + 0 = –x  (1) kész x 0  y – x > x – x = 0  (y – x)z > 0  yz = (y – x)z + xz > 0 + xz = xz  (2) kész x 0  (y – x)z < 0  yz < xz  (3) kész x > 0  x 2 > 0, x 0  x 2 = (–x ) 2 > 0  (4) kész tfh 0 0  1/y > 0, 1/x > 0 hasonlóan (2)  x 0  x (1/x)(1/y) < y(1/x)(1/y)  1/y < 1/x

23 23 Gyűrű Integritási tartomány Gauss-gyűrű (UFD) Euklidészi gyűrű Test Nullosztómentes Egységelemes integritási tartomány Főideál gyűrű Kommutatív Egységelemes Ferdetest


Letölteni ppt "1 Algebrai struktúrák. Def. Az ( A,  ) pár algebrai struktúra, ha A nem üres halmaz, és  az A-n értelmezett véges változós műveletek halmaza. A-t tartóhalmaznak."

Hasonló előadás


Google Hirdetések