Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

A logaritmus fogalma Műveletek logaritmussal Készítette:

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "A logaritmus fogalma Műveletek logaritmussal Készítette:"— Előadás másolata:

1 A logaritmus fogalma Műveletek logaritmussal Készítette:

2 2 A logaritmus fogalma A b szám a alapú logaritmusa az a kitevő, amelyre a-t emelve b-t kapunk, ahol : Jele: Az a-t a logaritmus alapjának, A b-t a logaritmus numeruszának szoktuk elnevezni. Ha létezik:

3 3 Adjuk meg a következő kifejezés értékét! Induljunk ki a logaritmus definíciójából: A logaritmus alapja:10 Mivel 10 1 =10, ezért a definíció értelmében az 1 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, a 10-et emelve megkapjuk a Logaritmus numeruszát, a 10-et. LOG Def.

4 4 Adjuk meg a következő kifejezés értékét! Induljunk ki a logaritmus definíciójából: A logaritmus alapja:10 Mivel 10 2 =100, ezért a definíció értelmében a 2 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, a 10-et emelve megkapjuk a Logaritmus numeruszát, a 100-at. LOG Def.

5 5 Adjuk meg a következő kifejezés értékét! Induljunk ki a logaritmus definíciójából: A logaritmus alapja:10 Mivel =0,1, ezért a definíció értelmében a -1 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, a 10-et emelve megkapjuk a Logaritmus numeruszát, a 0,1-t. LOG Def.

6 6 Adjuk meg a következő kifejezés értékét! Induljunk ki a logaritmus definíciójából: A logaritmus alapja: 10 Mivel 10 0 =1, ezért a definíció értelmében a 0 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a 10-et emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, az 1-t. LOG Def.

7 7 Adjuk meg a következő kifejezés értékét! Induljunk ki a logaritmus definíciójából: A logaritmus alapja: 10 Mivel 10 3/2 =, ezért a definíció értelmében a 3/2 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a 10-et emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, a -t. LOG Def. Alakítsuk 10 hatványára a logaritmus numeruszát! Vagyis a feladat átírható a következő módon:

8 8 Adjuk meg a következő kifejezés értékét! Induljunk ki a logaritmus definíciójából: A logaritmus alapja: 10 Mivel 10 2/3 =, ezért a definíció értelmében a 2/3 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a 10-et emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, a -t. LOG Def. Alakítsuk 10 hatványára a logaritmus numeruszát! Vagyis a feladat átírható a következő módon:

9 9 Adjuk meg a következő kifejezés értékét! Induljunk ki a logaritmus definíciójából: A logaritmus alapja: 10 Mivel 10 -1/2 =, ezért a definíció értelmében a -1/2 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a 10-et emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, a -t. LOG Def. Alakítsuk 10 hatványára a logaritmus numeruszát! Vagyis a feladat átírható a következő módon:

10 10 Adjuk meg a következő kifejezés értékét! A logaritmus alapja: 10 Anem írható fel pontosan 10 hatványaként. Ha mégis megpróbálnánk, akkor újabb ilyen jellegű logaritmusok értékeit kellene kiszámítanunk. Ilyenkor számológéppel, vagy függvénytáblázat segítségével célszerű meghatározni a közelítő értéket! Vagyis:

11 11 Adjuk meg a következő kifejezés értékét! Induljunk ki a logaritmus definíciójából: A logaritmus alapja: 2 Mivel 2 1 =2, ezért a definíció értelmében a 1 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a 10-et emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, a 2-t. LOG Def.

12 12 Adjuk meg a következő kifejezés értékét! Induljunk ki a logaritmus definíciójából! A logaritmus alapja: 2 Mivel 2 2 =, ezért a definíció értelmében a 2 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a 2-re emelve megkapjuk a logaritmus argumentumát, a -t. LOG Def. Alakítsuk 2 hatványára a logaritmus numeruszát! Vagyis a feladat átírható a következő módon:

13 13 Adjuk meg a következő kifejezés értékét! Induljunk ki a logaritmus definíciójából! A logaritmus alapja: 3 Mivel 3 -2 =, ezért a definíció értelmében a -2 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a 3-ra emelve megkapjuk a logaritmus argumentumát, az -t. LOG Def. Alakítsuk 3 hatványára a logaritmus numeruszát! Vagyis a feladat átírható a következő módon:

14 14 Adjuk meg a következő kifejezés értékét! Induljunk ki a logaritmus definíciójából: A logaritmus alapja: Mivel ezért a definíció értelmében a 4 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz a -t emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, a 4 -t. LOG Def. Alakítsuk hatványára a logaritmus numeruszát! Vagyis a feladat átírható a következő módon:

15 15 Adjuk meg a következő kifejezés értékét! Induljunk ki a logaritmus definíciójából! A logaritmus alapja: 1/5 Mivel (1/5) -2 =, ezért a definíció értelmében a -2 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz az 1/5-re emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, a -t. LOG Def. Alakítsuk 1/5 hatványára a logaritmus numeruszát! Vagyis a feladat átírható a következő módon:

16 16 Adjuk meg a következő kifejezés értékét! Induljunk ki a logaritmus definíciójából! A logaritmus alapja: 1/3 Mivel (1/3) 2 =, ezért a definíció értelmében a 2 az a kitevő, amelyre a logaritmus alapját, azaz az 1/3-ra emelve megkapjuk a logaritmus numeruszát, az -t. LOG Def. Alakítsuk 1/3 hatványára a logaritmus numeruszát! Vagyis a feladat átírható a következő módon:

17 17 A logaritmusok azonosságai Azonos alapú logaritmusok: Különböző alapú logaritmusok Legutóbbi diára

18 18 Fejezzük ki x-et az a, b, c és d segítségével! Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok Összegére és különbségére vonatkozó összefüggést!

19 19 Fejezzük ki x-et az a, b, c és d segítségével! Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok Összegére és különbségére vonatkozó összefüggést! Alkalmazzuk a logaritmusok hatványára vonatkozó összefüggést!

20 20 Fejezzük ki x-et az a, b, c és d segítségével! Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok Összegére vonatkozó összefüggést! Alkalmazzuk a logaritmusok hatványára vonatkozó összefüggést!

21 21 Fejezzük ki x-et az a, b, c és d segítségével! Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok Összegére vonatkozó összefüggést! Alkalmazzuk a logaritmusok hatványára vonatkozó összefüggést!

22 22 Számítsuk ki az ismeretlenek értékét! Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok Összegére vonatkozó összefüggést! Alkalmazzuk a logaritmusok hatványára vonatkozó összefüggést! Az azonos alapú logaritmusok akkor, és csak akkor egyenlők, ha az argumentumuk is egyenlők.

23 23 Számítsuk ki az ismeretlenek értékét! Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok különbségére vonatkozó összefüggést! Alkalmazzuk a logaritmusok hatványára vonatkozó összefüggést! Az azonos alapú logaritmusok akkor, és csak akkor egyenlők, ha az argumentumuk is egyenlők. A hatványok kiszámolása után:

24 24 Számítsuk ki az ismeretlenek értékét! Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó összefüggést! Alkalmazzuk a logaritmusok hatványára vonatkozó összefüggést! Az azonos alapú logaritmusok akkor, és csak akkor egyenlők, ha az argumentumuk is egyenlők. A hatványok kiszámolása után:

25 25 Számítsuk ki az ismeretlenek értékét! Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére és különbségére vonatkozó összefüggést! Alkalmazzuk a logaritmusok hatványára vonatkozó összefüggést! Az azonos alapú logaritmusok akkor, és csak akkor egyenlők, ha az argumentumuk is egyenlők.

26 26 Számítsuk ki az ismeretlenek értékét! Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó összefüggést! Az azonos alapú logaritmusok akkor, és csak akkor egyenlők, ha az argumentumuk is egyenlők.

27 27 Számítsuk ki az ismeretlenek értékét! Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok különbségére vonatkozó összefüggést! Alkalmazzuk a logaritmusok hatványára vonatkozó összefüggést! Az azonos alapú logaritmusok akkor, és csak akkor egyenlők, ha az argumentumuk is egyenlők.

28 28 Számítsuk ki az ismeretlenek értékét! Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok Összegére vonatkozó összefüggést! Alkalmazzuk a logaritmusok hatványára vonatkozó összefüggést! Az azonos alapú logaritmusok akkor, és csak akkor egyenlők, ha az argumentumuk is egyenlők.

29 29 Melyik kifejezés értéke a nagyobb? A választ megtudhatjuk, ha alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó összefüggést. vagy Végezzük el a zárójeleken belül a kijelölt műveleteket! A logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt: Azaz:

30 30 Melyik kifejezés értéke a nagyobb? A választ megtudhatjuk, ha alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó összefüggést. vagy Végezzük el a zárójeleken belül a kijelölt műveleteket! A logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt: Azaz:

31 31 Melyik kifejezés értéke a nagyobb? A választ megtudhatjuk, ha alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó összefüggést. vagy Végezzük el a zárójeleken belül a kijelölt műveleteket! A logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt: Azaz:

32 32 Számítsd ki a következő kifejezés értékét! LOG Def. Alkalmazzuk a logaritmus definíciójának következményét! Végezzük el a kitevőben a műveletet, miközben alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok különbségére vonatkozó összefüggést! Vagyis:

33 33 Számítsd ki a következő kifejezés értékét! LOG Def. Alkalmazzuk a logaritmus definíciójának következményét! Végezzük el a kitevőben a műveletet, miközben alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó összefüggést! Vagyis:

34 34 Számítsd ki a következő kifejezés értékét! LOG Def. Alkalmazzuk a logaritmus definíciójának következményét! Végezzük el a kitevőben a műveletet, miközben alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére és különbségére vonatkozó összefüggést! Vagyis:

35 35 Számítsd ki a következő kifejezés értékét! LOG Def. Alkalmazzuk a logaritmus definíciójának következményét! Végezzük el a kitevőben a műveletet, miközben alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó összefüggést! Vagyis: Térjünk át a kitevőben a 2 alapról 4-es alapú logaritmusra a logaritmus alapváltásra vonatkozó összefüggéssel, hogy azonosak legyenek a logaritmusok alapjai Ekkor az eredeti feladat átírható:

36 36 Számítsd ki a következő kifejezés értékét! LOG Def. Alkalmazzuk a logaritmus definíciójának következményét! Végezzük el a kitevőben a műveletet, miközben alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó összefüggést! Vagyis: Térjünk át a kitevőben az 5 alapú logaritmusokra! Ekkor az eredeti feladat átírható:

37 37 Logaritmikus egyenletek

38 38 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! Használjuk fel a logaritmus definícióját az egyenletünk átalakításához! A logaritmusnak akkor van értelme, ha Ez a megoldás a feltételnek is eleget tesz

39 39 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! Használjuk fel a logaritmus definícióját az egyenletünk átalakításához! A logaritmusnak akkor van értelme, ha Ez a megoldás a feltételnek is eleget tesz

40 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! A logaritmusoknak akkor van értelme, ha Ez a megoldás a feltétel- nek is eleget tesz. és Azaz a kettő feltétel Együtt: Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó azonosságot! Bontsuk fel a többtagú tényezők szorzatát! A másodfokú egyenlet megoldásai: Ez a megoldás a feltétel- nek nem tesz eleget.

41 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! A logaritmusoknak akkor van értelme, ha Ez a megoldás a feltétel- nek is eleget tesz. és Azaz a kettő feltétel Együtt: Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó azonosságot! Bontsuk fel a többtagú tényezők szorzatát! A másodfokú egyenlet megoldásai: Ez a megoldás a feltétel- nek nem tesz eleget. És az 1-et írjuk fel 3 alapú logaritmus kifejezésével Hivatkozott azonosság

42 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! A logaritmusoknak akkor van értelme, ha Ez a megoldás a feltétel- nek is eleget tesz. és Azaz a három feltétel Együtt: Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok összegére vonatkozó azonosságot! Bontsuk fel a többtagú tényezők szorzatát! A másodfokú egyenlet megoldásai: Ez a megoldás a feltétel- nek nem tesz eleget. Hivatkozott azonosság

43 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! A logaritmusoknak akkor van értelme, ha és Azaz a két feltétel együtt: Alkalmazzuk az azonos alapú logaritmusok különbségére vonatkozó azonosságot! Írjuk fel az 1-t 10 alapú logaritmus kifejezésével Ez a megoldás a feltétel- nek nem tesz eleget. Hivatkozott azonosság Nincs megoldása az egyenletnek Feltételek :

44 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! és Azaz a két feltétel együtt: Az egyenlet értelmezési tartománya üres halmaz, ezért nincs megoldása az egyenletnek Feltételek:

45 Oldjuk meg a pozitív valós számok halmazán a következő egyenletet! Ebből következik, hogy Feltételek: vagy Írjuk fel az 1-t 7 alapú logaritmus segítségével! / -7 Ez megoldása a feladatnak, mert a megoldás pozitív Ez nem megoldása a feladatnak, mert a megoldás negatív.

46 Oldjuk meg a természetes számok halmazán a következő egyenletet! Ebből következik, hogy Feltételek: vagy Írjuk fel az 1-t 20 alapú logaritmus segítségével! / -20 Ez megoldása a feladatnak, mert a megoldás természetes szám, és a feltételnek is eleget tesz Ez nem megoldása a feladatnak, mert a megoldás nem természetes szám.

47 Oldjuk meg a természetes számok halmazán a következő egyenletet! és Azaz a két feltétel együtt: Feltételek: A szóba jöhető megoldások: 3; 4; 5; 6 Ezek közül csak a 4 lehet a feladat megoldása.

48 48 Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: központi érettségi 1990/A/7.(14 pont) A logaritmus értelmezéséből következő feltételek: A átírható 5 alapú logaritmusok hányadosaként: Azaz: Azaz, az eredeti egyenlet felírható a következőképen:

49 49 Vagyis az összevonások elvégzése után a feladat: A logaritmus definíciója szerint: A hatványozás elvégzése után: | +2 Lenne az egyenlet megoldása, de Vagyis x=3 nem tesz eleget a logaritmus létezésének feltételének Nincs megoldása az egyenletnek


Letölteni ppt "A logaritmus fogalma Műveletek logaritmussal Készítette:"

Hasonló előadás


Google Hirdetések