Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

4.1 Alaptulajdonságok 1 VÉGES HALMAZOK 4. VÉGES HALMAZOK Def. X és Y halmaz ekvivalens, ha létezik f bijekció X-ből Y-ra. Jelben: X ~ Y.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "4.1 Alaptulajdonságok 1 VÉGES HALMAZOK 4. VÉGES HALMAZOK Def. X és Y halmaz ekvivalens, ha létezik f bijekció X-ből Y-ra. Jelben: X ~ Y."— Előadás másolata:

1 4.1 Alaptulajdonságok 1 VÉGES HALMAZOK 4. VÉGES HALMAZOK Def. X és Y halmaz ekvivalens, ha létezik f bijekció X-ből Y-ra. Jelben: X ~ Y.

2 2 X X’ Y Y’ (x, y) (x’, y’) x y x’y’ h’ = g o h o f −1 f −1f −1 h g h’h’ XYXY X’  Y’ f

3 3 Biz. teljes indukció n-re …   0 < k < n + 1 : k  A Legyen ekkor bijekció A-ból {1, 2, …, n} valamely részhalmazára ha rng(f) = {1, 2, …, n}  m = n választás különben indukciós feltevés 

4 4 Biz. teljes indukció n-re … tfh n-ig igaz, de n + 1 esetén létezik f bijekció {1, 2, …, n + 1}-ből saját valódi részhalmazára. Ekkor  f megszorítása {1, 2, …, n}-re bijekció saját valódi részhalmazára. a leképezésnél a (k, n + 1) és (n + 1, l) párokat helyettesítjük (k, l)-lel, k = l = n + 1 esetén kihagyjuk ~ ind. felt

5 5 Def.

6

7 7 Biz. Legyen |X| = n, |Y| = m. Y ~ {1, 2, …, n} egy valódi részhalmazával tétel  Y ~ {1, 2, …, m}, ahol m < n (1), (2) kész (3) kész (4) kész

8 8 (5), (6) m szerinti teljes indukcióval látható ~ {karakterisztikus függvények}  (7) kész (8): tfh és legyen n ha f bijektív, akkor m = n, különben m < n g bijektív is 

9 9 Biz. indirekt, tfh f bijektív Y ~ {1, 2, …, m} és X ~ {1, 2, …, n}, ahol m < n f bijektív  {1, 2, …, n} ~ saját részhalmazával  {1, 2, …, m} bármely részhalmaza {1, 2, …, n}-nek is részhalmaza, Más megfogalmazás: ha n db tárgyat m db skatulyába teszünk, akkor van olyan skatulya, amelyik legalább  (n-1) / m  + 1 tárgyat tartalmaz

10 10 Biz. teljes indukció |A| = 1 kész tfh 1 < n-ig kész és ha |A| = n + 1, legyen ind. felt.  A´ -nek van max. eleme: a´ a  a´  a´ max. eleme A-naka´  a  a max. eleme A-nak min. elemre hasonlóan

11 11 1. lépés: P 0 = P 1 = 1 igaz Tétel( permutációk száma) P n = n!, ahol n! = 1  2 ...  (n – 1)  n. Def. Tetszőleges halmaz permutációján a halmaz önmagára való bijektív leképezését értjük. P n a halmaz különböző permutációinak száma. Biz. (teljes indukció n szerint) 2. lépés: Tfh n > 1 és n – 1 -ig már beláttuk. 4.2 Kombinatorika

12 12 Ind. feltétel   osztályban P n  1 elem P n = nP n  1 = n(n  1)! = n! ekvivalencia reláció: amely sorozatok 1. eleme megegyezik  n db osztály Def.( ciklikus permutáció) Minden elem egy hellyel jobbra/balra kerül, az utolsó/első az első/utosó helyre.

13 13 Def. Egy A halmaz elemeiből képezhető k tagú, csupa különböző elemet tartalmazó sorozatokat, azaz {1, 2,..., k}-t A-ba képező injektív leképezéseket az A halmaz k-ad osztályú ismétlés nélküli variációjának nevezzük. Ha |A| = n, akkor A összes k-ad osztályú ismétlés nélküli variációinak száma. Tétel( variációk száma) Biz. ha k  n, különben 0. legyen két sorozat egy ekv. osztályban, ha első k elemük megegyezik P n = (osztályok száma)  (ahány elem egy osztályban) P n-k

14 14 Def. Egy A halmaz elemeiből képezhető k tagú, nem feltétlenül különböző elemeket tartalmazó sorozatokat, azaz {1, 2,..., k}-t A-ba képező leképezéseket az A halmaz k-ad osztályú ismétléses variációjának nevezzük. Ha |A| = n, akkor A összes k-ad osztályú ismétléses variációinak száma. Tétel( ismétléses variációk száma) 1. lépés: k = 1 -re igaz: Biz.( teljes indukció k szerint, n rögzített) 2. lépés: Tfh k > 1 és k – 1 -ig már beláttuk, ekkor (k – 1) -ed osztályú variációból k -ad osztályú: n db választás 

15 15 Biz. Def. Egy A halmaz k (  N) elemű részhalmaza az A halmaz k-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációja. Ha |A| = n, akkor A összes k-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációinak száma. Tétel( kombinációk száma)  minden P k db sorozat ugyanaz db különböző k -tagú sorozatsorrend nem számít  számoljuk egyszer ha k  n, különben 0. Észrevétel: megegyezik a {1, 2, …, k}-ból {1, 2, …, n}-ba képező szigorúan monoton növő függvények számával.

16 16 Def. Egy A halmaz elemei közül k (  N) nem feltétlenül különböző elem kiválasztása sorrendre való tekintet nélkül, az A halmaz k-ad osztályú ismétléses kombinációja. Ha |A| = n, akkor A összes k-ad osztályú ismétléses kombinációinak száma. Másképp: az A halmaz k-ad osztályú ismétléses kombinációi azon függvényeket, amelyek csak véges sok helyen vesznek fel nem 0 értéket, és ezen értékek összege k. Észrevétel: ha A véges, ekkor feltehetjük, hogy bijektív megfeleltetés:

17 17 Tétel( ismétléses kombinációk száma) Biz. definiáljuk h-t: dmn(h) = {1, 2, …, k} rng(h) = {1, 2, …, n + k  1} és h szigorúan monoton növő {1, 2, …, k}  {1, 2, …, n} monoton növő függvények {1, 2, …, k}  {1, 2, …, n + k  1} szigorúan monoton növő függvények h

18 18 Def. n elem valamely sorrendben való felsorolása, amelyben k elem fordul elő rendre n 1, n 2, …, n k gyakorisággal (n 1 + n 2 + …+ n k = n), n elem egy n 1, n 2, …, n k -ad osztályú ismétléses permutációja. Ezek száma: Tétel( ismétléses permutációk száma) 1. lépés: k = 1 -re igaz: Biz.( teljes indukció k szerint, n rögzített) 2. lépés: Tfh k > 1 és k – 1 -ig már beláttuk, ekkor

19 19 Ind. feltétel  Hány elem van az osztályban? ekvivalencia reláció: amely sorozatok megegyeznek, ha kivesszük az n k -szor előforduló elemet (k-adik elem). db osztály van … n – n k db elem a k-adik elemet n – n k +1 helyre szúrhatjuk be ! k-adik elem

20 20

21 Polinomiális tétel, szitaformula

22 22 Biz. (x + y) … (x + y) = x n + … + x k y n  k + … + y n Hány ilyen tag van? n db tényező k db tényezőből az x -et, n – k -ból az y -t választottuk összesen n elemből k elemet, sorrend nem számít ! db x k y n  k alakú tag van!

23 23 Biz.( teljes indukció r szerint, n rögzített) r = 0, 1 -re trivi tfh r – 1 -ig már láttuk, és legyen ekkor

24 24 ind. feltétel

25 25

26 26

27 27 X X1X1 X2X2 X3X3... XkXk Azt mondjuk, hogy x rendelkezik az X i tulajdonsággal, ha x  X i.

28 28 Tehát S 0 = azon elemekre vett függvény összegek értéke, amelyek nem rendelkeznek egyetlen tulajdonsággal sem. Biz. Tfh az x elem pontosan r tulajdonsággal rendelkezik f(x) -et mindig ennyiszer számoltuk be !  a jobboldalon nem számoltuk x csak S 0 -ban fordul elő Ha x elem 0 tulajdonsággal rendelkezik   f(x)-et a jobboldalon pont egyszer számoltuk be ?


Letölteni ppt "4.1 Alaptulajdonságok 1 VÉGES HALMAZOK 4. VÉGES HALMAZOK Def. X és Y halmaz ekvivalens, ha létezik f bijekció X-ből Y-ra. Jelben: X ~ Y."

Hasonló előadás


Google Hirdetések