Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Hálótervezés Készítette: Kosztyán Zsolt Tibor 3.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Hálótervezés Készítette: Kosztyán Zsolt Tibor 3."— Előadás másolata:

1 Hálótervezés Készítette: Kosztyán Zsolt Tibor 3.

2 Szeparáló halmazok •Egy egyszerű, összefüggő gráf éleinek F részhalmazát szeparáló él halmaznak mondjuk, ha F éleket a gráfból elhagyva a gráf nem lesz összefüggő. •Egy egyszerű, összefüggő gráf csúcsainak V részhalmazát szeparáló csúcspont halmaznak mondjuk, ha a V csúcsokat elhagyva a gráfból a gráf nem lesz összefüggő.

3 Vágás, összefüggőség •Egy G gráf F szeparáló él halmazát vágásnak nevezzük, ha F-nek nincs olyan valódi F' részhalmaza, amely szintén G szeparáló él halmaza volna. •Egy G gráf él szerinti összefüggősége  (G) az a legkisebb szám, amelyre teljesül, hogy létezik G-nek  (G) darab olyan éle, amelyeket törölve G-ből a megmaradt gráf már nem összefüggő vagy a megmaradt gráf a triviális gráf. (pl. itt  (G)=1)

4 Páros gráfok •Azt mondjuk, hogy egy G=(N,A) gráf páros gráf, ha  N 1,N 2 halmaz, melyre N 1  N 2 =N, N 1  N 2 = , és  (n 1,n 2 )  A esetén –ha n 1  N 1, akkor n 2  N 2 –ha n 1  N 2, akkor n 2  N 1

5 Párosítás - fogalmak •A G páros gráf éleinek M részhalmazát párosításnak mondjuk, ha M bármely élének nincs közös végpontja. •Más szóval, M elemei párosítják (egymáshoz rendelik) a G páros gráf csúcspontjait. M-t teljesnek mondjuk ha M lefedi G csúcsait, s maximálisnak, ha nem létezik M-nél nagyobb elem számú M' párosítása G-nek. •A G gráf éleinek M halmazát függetlennek mondjuk, ha M bármely két élének nincs közös végpontja. Az M független él halmazt teljesnek mondjuk, ha M végpontjai között G minden pontja szerepel. Az M elemei két azonos számosságu részhalmazra bontják G pontjait, ezért nyilván igaz a következő állítás.

6 Párosítás – a Magyar módszer •Tegyük fel hogy a páros gráfunk csúcsai N 1 ill. N 2 nem üres diszjunkt halmazoknak. Legyen adott G-nek egy M párosítása (M lehet üres is). G-nek valamely e 1,e 2,e 3,e 4,...,e k útját alternáló útnak fogjuk nevezni, ha az élek felváltva elemei M-nek illetve (A\M)-nek, például e 1  M, e 2  M, e 3  M, e 4  M,...., N 1  N 2 Legyen M’ a G=(N,A) gráf egy párosítása. Ekkor egy olyan M’-alternáló út, amelynek mindkét végpontja párosítatlan, M’-re nézve javító út, vagy röviden M’-javító út.

7 Párosítás – a Magyar módszer •N 1 ’,N 2 ’ jelöli N 1 ill. N 2 M által le nem fedett pontjait. Ha találunk olyan alternáló e 1,e 2,e 3,e 4,...,e k utat, mely N 2 ’-ből indul és N 1 ’-ben végződik, akkor az e 1,e 2,e 3,e 4,...,e k út M-ben lévő páros indexű éleit cseréljük ki a nem M-ben lévő páratlan indexűekre. •Az így nyert új M' párosítása G-nek és M'- nek eggyel több eleme van mint M-nek. A következő lépésben meghatározzuk az M'- höz tartozó N 1 ’’,N 2 ’’ halmazokat és keressünk olyan alternáló utat, mely N 2 ’’- ből indul és N 1 ’’-ben végződik.

8 Párosítás – a Magyar módszer •Az alternáló út páros indexű éleit M'-ből törölve, s M'-höz csatolva az út páratlan indexű éleit a G-nek egy M'' párosítását kapjuk, melynek eggyel több eleme van, mint M'-nek. Az algoritmust addig lehet folytatni amíg találunk a fent említett típusú alternáló utakat. •Meg lehet mutatni, hogy mikor már nem lelünk alkalmas alternáló utat az utolsó lépésben kapott M (n) párosítás maximális párosítás.

9 Párosítás – a Magyar módszer

10 Maximális folyamok - fogalmak

11 •Ha f(n 1,n 2 )=c(n 1,n 2 ) akkor az (n 1,n 2 ) párat telitettnek nevezzük. Az f folyam értéke, melyet |f|-fel jelölünk, az s-ből kimenő összes folyam, azaz •Legyen G=(N,A) egy hálózat. Legyen adott a hálózatban egy s forrás és egy t nyelő. Legyen N 1,N 2  N egy partícója N-nek, vagyis N 1  N 2 =N, és N 1  N 2 = . Legyen továbbá s  N 1, t  N 2. Ekkor N 1,N 2 halmazt s,t-vágásnak hívjuk. Az N 1,N 2 kapacitásán mennyiséget értjük.

12 Maximális folyamok - fogalmak •Ha f egy folyam G-hálózaton, akkor definiáljuk az N 1,N 2 vágáson áthaladó folyamot. Ezt jelöljük f(N 1,N 2 )-vel. ahol •Tetszőleges N 1,N 2,s,t - vágásra igazak a következők: –|f|=f(N 1,N 2 ) –|f|  c(N 1,N 2 ) és az egyenlőség elérhető

13 Maximális folyamok - fogalmak

14

15 Maximális folyamok – a probléma

16 Ford-Fulkerson algoritmus •f 0,f 1,..,f k =f* folyamok sorozatát konstruáljuk a következő képpen: –f 0 folyam a azonosan nulla folyam. –Az f i birtokában f i+1 –et úgy kapjuk, hogy G fi javító gráfban keresünk egy javító utat az út mentén a d i kapacitással növelve kapjuk az f i+1 –folyamot. Érvényes tehát az |f i+1 |=|f i |+d i összefüggés. –Akkor álunk meg, ha a folyamhoz már nem létezik növelő út.

17 Ford-Fulkerson algoritmus - példák

18

19 Edmondson – Karp heurisztika O(m 2 n) •A folyam növelésére mindig a legrövidebb, vagy a legkevesebb élből álló növelő utak egyikét válasszuk.

20 Hálózatok alsó korlátokkal

21 Hálózatok alsó korlátokkal – megengedett megoldás keresése •Tegyük fel, hogy G hálózatban s,t között nincs él. Ha van, akkor konstruáljunk egy olyan G’ hálózatot, melyben s,t-között nincs él: iktassunk be egy plusz csúcsot s, és t közé.

22 Hálózatok alsó korlátokkal – megengedett megoldás keresése •Készítsünk G” alsó korlátok nélküli hálózatot a következőképpen: –Vegyünk fel a G=(N,A) pontjai mellé egy új forrást és egy új nyelőt; legyenek ezek S és T. G”=(N”,A”), N”=N  {S,T}. A”-t úgy képezzük, hogy A éleit megtartjuk, S-ből valamennyi csúcsba (T-n kívül) élet húzunk, valamint valamennyi csúcsból (S-en kívül) T- be húzunk élet, valamint t-ből s-be végtelen kapacitással élet húzunk.

23 Hálózatok alsó korlátokkal – megengedett megoldás keresése –  (n 1,n 2 )  A esetén c”(n 1,n 2 ):=c(n 1,n 2 )-k(n 1,n 2 ) –  (n 1,n 2 )  A” esetén

24 Hálózatok alsó korlátokkal – megengedett megoldás keresése •G hálózatban akkor és csak akkor van megengedett megoldás, ha G” hálózatban maximális folyamának értéke: •Ha létezik megengedett megoldás, akkor ebből a minimális folyamból kiindulva konstruálható maximális folyam.

25 3.


Letölteni ppt "Hálótervezés Készítette: Kosztyán Zsolt Tibor 3."

Hasonló előadás


Google Hirdetések