Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

2010. november 29. Illés Tibor – Hálózati folyamok 1 Hálózati folyamok, Hálózati Szimplex Algoritmus Előadó: Illés Tibor

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "2010. november 29. Illés Tibor – Hálózati folyamok 1 Hálózati folyamok, Hálózati Szimplex Algoritmus Előadó: Illés Tibor"— Előadás másolata:

1 2010. november 29. Illés Tibor – Hálózati folyamok 1 Hálózati folyamok, Hálózati Szimplex Algoritmus Előadó: Illés Tibor

2 2010. november 29. Illés Tibor – Hálózati folyamok 2 Hálózat értelmezése s 2 3 t 1 4 s – forrás, t – nyelő V = {s,1,2,3,4,t} A = { e 1 = (s,1), e 2 = (s,2), e 3 = (1,2), e 4 = (1,3), e 5 = (2,3), e 6 = (2,4), e 7 = (3,t), e 8 = (4,1), e 9 = (4,3), e 10 = (4,t) } e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 e5e5 e6e6 e7e7 e8e8 e9e9 e 10 Legyenek V és A véges halmazok, amelyek elemei csúcsok illetve élek (csúcs párok). Az élek, azokat az i és j csúcsokat kötik össze, amelyek esetén közvetlenül eljuthatunk az i csúcsból a j csúcsba. Az éleket irányított élnek nevezzük, ha adott az irányítása és ezt az (i, j) rendezett párral fejezzük ki. Az N=(V, A) párt hálózatnak nevezzük, ahol V a csúcsok és az A pedig az élek halmaza.

3 2010. november 29. Illés Tibor – Hálózati folyamok 3 Hálózat: fogalmak fok: a v csúcs foka a d (v) szám, azaz a v csúcsból kiinduló illetve oda érkező élek száma, pl. d(1) = 4. st e2e2 e3e3 e4e4 e5e5 e6e6 e7e7 e8e8 e9e9 e 10 e1e1 1 d be (1) = 2 és d ki (1) = 2 ekkor d(1) = d be (1) + d ki (1), Általában d(u) = d be (u) + d ki (u), teljesül, bármely u csúcs esetén.

4 2010. november 29. Illés Tibor – Hálózati folyamok 4 Hálózat: fogalmak fok: a v csúcs foka a d (v) szám, azaz a v csúcsból kiinduló illetve oda érkező élek száma, pl. d (1) = 4. st e2e2 e3e3 e4e4 e5e5 e6e6 e7e7 e8e8 e9e9 e 10 e1e1 út csúcsok és élek sorozata, pl. s, e 1, 1, e 8, 4, e 10, t előre él: e 1, e 10 vissza él: e 8 egyszerű út: olyan út, amelyikben nincsen ismétlődő csúcs s 1 4 t

5 2010. november 29. Illés Tibor – Hálózati folyamok 5 Hálózat: fogalmak st e2e2 e3e3 e4e4 e5e5 e6e6 e7e7 e8e8 e9e9 e 10 e1e1 fok: a v csúcs foka a d (v) szám, azaz a v csúcsból kiinduló illetve oda érkező élek száma, pl. d (1) = 4. út csúcsok és élek sorozata, pl. s, e 1, 1, e 8, 4, e 10, t előre él: e 1, e 10 vissza él: e 8 egyszerű út: olyan út, amelyikben nincsen ismétlődő csúcs egyszerű kör: egyszerű út attól eltekintve, hogy az út indulási csúcsa és az érkezési csúcsa megegyezik pl. 1, e 8, 4, e 9, 3, e 4, 1 összefüggő hálózat: bármely két csúcsa között létezik egyszerű út 13 4

6 2010. november 29. Illés Tibor – Hálózati folyamok 6 Hálózat: részhálózat,... N=(V, A) hálózat részhálózata N 1 =(V, A 1 ), ahol A 1 él halmaz része a hálózat A él halmazának st e2e2 e3e3 e4e4 e5e5 e6e6 e7e7 e8e8 e9e9 e 10 e1e1

7 2010. november 29. Illés Tibor – Hálózati folyamok 7 Hálózat: részhálózat,... N=(V, A) hálózat részhálózata N 1 =(V, A 1 ), ahol A 1 él halmaz része a hálózat A él halmazának N=(V, A) hálózat részleges hálózata az N 1 =(V 1, A 1 ), ahol V 1 része a V halmaznak, és az A 1 él halmaz olyan része a hálózat A él halmazának, amelynek az éleinek mindkét végpontja a V 1 halmazhoz tartozik s 2 3 t 1 4 e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 e5e5 e6e6 e7e7 e8e8 e9e9 e 10 1

8 2010. november 29. Illés Tibor – Hálózati folyamok 8 részleges részhálózat: rész hálózat, részleges hálózata erdő: részleges rész hálózat, amely nem tartalmaz kört fa: összefüggő erdő feszítő fa: részhálózat és fa Hálózat: részhálózat,... N=(V, A) hálózat rész - hálózata N 1 =(V, A 1 ), ahol A 1 él halmaz része a hálózat A él halmazának N=(V, A) hálózat részleges hálózata az N 1 =(V 1, A 1 ), ahol V 1 része a V halmaznak, és az A 1 él halmaz olyan része a hálózat A él halmazának, amelynek az éleinek mindkét végpontja a V 1 halmazhoz tartozik s 2 3 t 1 4 s 2 3 t 1 4 s 2 3 t 1 4 s 2 3 t 4 1

9 2010. november 29. Illés Tibor – Hálózati folyamok 9 Hálózat: feszítő fa s 2 3 t 1 4 feszítő fa a legkisebb összefüggő részhálózat részleges részhálózat: rész hálózat, részleges hálózata erdő: részleges rész hálózat, amely nem tartalmaz kört fa: összefüggő erdő feszítő fa: részhálózat és fa

10 2010. november 29. Illés Tibor – Hálózati folyamok 10 Kapacitások és alsó korlátok s 2 3 t 1 4 0, 5 0, 8 0, 19 0, 7 0, 6 0, 3 0, 5 0, 10 0, 6 0, 2 Az (i,j) él k ij kapacitásának nevezzük azt a maximális anyag mennyiséget, amelyet az i csúcsból a j csúcsba szállíthatunk. Az (i,j) él l ij alsó korlátjának nevezzük azt a minimális anyag mennyiséget, amelyet az i csúcsból a j csúcsba szállítanunk kell, l ij ≤ k ij teljesül, bármely i,j csúcs párra.

11 2010. november 29. Illés Tibor – Hálózati folyamok 11 Folyam vektor A folyam vektor f = (f ij ) megadja a hálózat összes élén a folyam értékét. Az egytermékes hálózati folyam feladat esetén, ahol az irányított hálózat élein alsó- és felső korlátok adottak, egy folyam vektort megengedett folyamnak nevezzük, ha kielégíti a (i) korlátokat, és teljesíti (ii) a folyam megmaradási egyenleteket, azaz A folyam megmaradási törvény megköveteli, hogy bármely u csúcs esetén a bemenő élek, F( u ), által szállított folyam összértéke egyenlő legyen a csúcsból kimenő élek, B( u ), összes folyamértékével.

12 2010. november 29. Illés Tibor – Hálózati folyamok 12 s 2 3 t 1 4 0, 5 0, 8 0, 19 0, 7 0, 6 0, 3 0, 5 0, 10 0, 6 0, 2 Cirkulációs feladat 0, + inf Optimális folyam: megengedett és Csúcs-él incidencia mátrix A x = 0, 0 ≤ x ≤ c max (e n ) T x

13 2010. november 29. Illés Tibor – Hálózati folyamok 13 s 2 3 t 1 4 0, 5 0, 8 0, 19 0, 7 0, 6 0, 3 0, 5 0, 10 0, 6 0, 2 0, + inf Cirkulációs feladat: bázis megoldás T egy bázis megoldás, ha T egy olyan feszítő fája a hálózatnak, amely tartalmazza a (t,s) vissza élet. Elhagyjuk a (t,s) vissza élet a T fából és így két részfára esik szét. Jelölje S annak a részfának a csúcshalmazát, amelyik tartalmazza az s csúcsot, és Z pedig azét amelyik tartalmazza a t csúcsot. s 2 3 t 1 4 0, 8 0, 19 0, 7 0, 6 0, 3 0, 5 0, 10 0, 6 0, 2 0, + inf 0, 5 Az x megengedett folyam, megengedett bázis megoldás, ha (i) az x a = 0 vagy x a = c a teljesül a hálózat bármely a élére, amely nem eleme a T feszítőfának, és (ii) 0 ≤ x a ≤ c a teljesül a T a éleire, valamely bázist definiáló T feszítőfa esetén. s 2 3 t

14 2010. november 29. Illés Tibor – Hálózati folyamok 14 Cirkulációs feladat: pivot lépés A szimplex pivot esetén egy p élet választunk ki a lehetséges élek C halmazából A lehetséges be-élek közül egy belép a bázisba, és egy q él az egyértelműen kialakuló körből, R = T U {p} távozik a bázisból. A q ki-élet az R kör azon éleiből választjuk ki, amelyek leginkább korlátozzák a folyam értékét a (t,s) él irányában. s 2 3 t 1 4 0; 2 0; 5 0; 8 0; 6 0; 3 0; 5 0; 10 0; 6 0; 19 0; 7 0 C = {(1,3), (2,3), (2,4)}, legyen p =(2,4), ekkor az egyértelmű kör {s, 2,4, t, s}. 2 = min {2, 10, 7, inf} ezért q = (s,2) lesz a ki-él. Módosítsuk a folyamot.

15 2010. november 29. Illés Tibor – Hálózati folyamok 15 Cirkulációs feladat: folyam módosítása s 2 3 t 1 4 0; 2 0; 5 0; 8 0; 6 0; 3 0; 5 0; 10 0; 6 0; 19 0; 7 0 A q = (s,2) ki-él és a kapacitása 2. A q egy előre él, ezért ezen a körön az előre éleken növelni kell a folyamot, míg a vissza éleken csökkenteni 2-vel. s 2 3 t 1 4 2; 2 0; 5 0; 8 0; 6 0; 3 0; 5 2; 10 0; 6 0; 19 2; 7 2 S = {s, 1}, Z = {2, 3, 4, t} C = {(1,2), (1,3)} Legyen p = (1,2) és az egyértelmű kör {s, 1, 2, 4, t, s}. Az adott kör mentén a folyamot min {8, 6, 10-2, 7-2} = 5 értékkel lehet növelni, ezért a ki-él a q = (4,t) lesz. Módosítsuk a folyam értékét 5-tel. s 2 3 t 1 4 2; 2 0; 5 5; 8 5; 6 0; 3 0; 5 7; 10 0; 6 0; 19 7; 7 7 S = {s, 1, 2, 4}, Z = {3, t} és ekkor C = {(1,3), (2,3), (4,3)}. Legyen p = (1,3) és az egyértelmű kör az {s, 1, 3, t, s} lesz.

16 2010. november 29. Illés Tibor – Hálózati folyamok 16 Cirkulációs feladat: folytatás … s 2 3 t 1 4 2; 2 0; 5 5; 8 5; 6 0; 3 0; 5 7; 10 0; 6 0; 19 7; 7 7 Az adott kör mentén a lehetséges folyam növelés értéke min {8-5, 5, 19} = 3, ezért a ki-él q = (s,1). Módosítsuk a folyam értékét 3-mal. s 2 3 t 1 4 2; 2 3; 5 8; 8 5; 6 0; 3 0; 5 7; 10 0; 6 3; 19 7; 7 10 S = {s}, Z = {1, 2, 3, 4, t} Most a lehetséges be-élek halmaza C, üres, ezért a jelenlegi megoldás optimális. Maximális folyam minimális vágás (Ford & Fulkerson, 1962) tétel. Az egytermékes folyam feladat esetén, a maximális megengedett folyamérték egyenlő, az s és t csúcsokat elvágó C él halmazok közül, a minimális kapacitás értékű értékével.

17 2010. november 29. Illés Tibor – Hálózati folyamok 17 Hálózati szimplex algoritmus:... Maradék kapacitás = kapacitás – folyam érték Egy él telített, ha a maradék kapacitása nulla, különben maradék él. Egy bázis folyam olyan folyam, amelyik esetén a maradék élek halmaza olyan erdőt alkot, amelyek esetén az s és t csúcsok két különböző fához tartoznak. Valamely adott bázis folyam esetén, egy bázis optimális, ha az S, Z fák részgráfjai a G gráfnak és s az S illetve t a Z eleme, továbbá bármely csúcs, és maradék él vagy az S vagy a Z fához tartozik. Egy bázis folyamot nem degeneráltnak nevezzük, ha pontosan n-2 maradék éle van, különben degenerált.

18 2010. november 29. Illés Tibor – Hálózati folyamok 18 Hálózati szimplex algoritmus:... Bemenő adatok. Egy bázis folyam és a hozzá tartozó bázis S, Z adott. Pivot. Válasszunk ki egy (u,v) maradék élet, amelyre u az S, és v a Z halmaz eleme. Ha nem létezik maradék él akkor a megoldás optimális, STOP. különben létezik egy egyértelmű az (u,v), (t,s) éleket és a feszítőfa valahány további élét is tartalmazó kör. Legyen δ a minimális maradék kapacitás a kör mentén. Növeljük meg δ értékkel, a folyamértéket, a körhöz tartozó éleken. Töröljük – valamelyik – telített élet a körből. Így egy bázis folyamot állítottunk elő. Menjen a pivot elem kiválasztására.


Letölteni ppt "2010. november 29. Illés Tibor – Hálózati folyamok 1 Hálózati folyamok, Hálózati Szimplex Algoritmus Előadó: Illés Tibor"

Hasonló előadás


Google Hirdetések