Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

GRÁFELMÉLET KÉSZÍTETTE: Takács Sándor. Készítette: Takács Sándor 1 feladat ► Egy társaságban lejátszottak néhány sakkmérkőzést. Bármely két ember legfeljebb.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "GRÁFELMÉLET KÉSZÍTETTE: Takács Sándor. Készítette: Takács Sándor 1 feladat ► Egy társaságban lejátszottak néhány sakkmérkőzést. Bármely két ember legfeljebb."— Előadás másolata:

1 GRÁFELMÉLET KÉSZÍTETTE: Takács Sándor

2 Készítette: Takács Sándor 1 feladat ► Egy társaságban lejátszottak néhány sakkmérkőzést. Bármely két ember legfeljebb egy mérkőzést játszott egymás ellen. Bizonyítsuk be, hogy mindenképpen volt két ember, aki ugyanannyi emberrel mérkőzött meg! ► n – a társaság tagjainak száma ► 1 ember játszhatott: ► 0123…n-2n-1 ► egy időben nem fordulhat elő, hogy van a társaságban olyan aki 0 mérkőzést, és olyan, aki n-1 mérkőzést játszott. (aki n-1 mérkőzést játszott, mindenkivel játszott) ► Tehát a skatulya elv: n-1 skatulya, n db. Elem  legalább egy skatulyába 2 db. Elem kerül.

3 Készítette: Takács Sándor Königsbergi séták ► A város a Pregel nevű folyó két partján terül el, amely azt 4 részre osztja. Az egyes részeket 7 db híd köti össze a jobb oldali mellékelt ábra szerint. A königsbergiek olyan útvonalat szerettek volna tervezni, hogy valaki a lakásából indul el, és minden hídon csak egyszer sétál végig, majd visszatér a lakásába.

4 Készítette: Takács Sándor Euler megoldása ► 1736-ban szembesült a "königsbergi séta" problémájával, és bebizonyította, hogy ilyen útvonal nem lehetséges. Az ábrán látható modellel dolgozott. Innen számítjuk a gráfelmélet kezdetét. ► Euler 1736-ban szembesült a "königsbergi séta" problémájával, és bebizonyította, hogy ilyen útvonal nem lehetséges. Az ábrán látható modellel dolgozott. Innen számítjuk a gráfelmélet kezdetét. Euler EULER

5 Készítette: Takács Sándor A gráf fogalma ► Gráf: pontok és élek halmaza, ahol a pontokat élek kötnek össze, illetve az élekre pontok illeszkednek úgy, hogy minden élre legalább egy, legfeljebb két pont illeszkedik.  Pontok, csúcsok  Élek ► Véges gráf: pontjainak száma véges ► Pont fokszáma: hány él indul ki a pontból? ► Pont szomszédai: amely pontokkal össze van kötve ► Párhuzamos (többszörös) él: ha két pont között több él húzódik ► Hurokél: ha egy él mindkét végpontja ugyanaz a pont ► Feladat: Készítsük el az 1. feladat gráfját 5 sakkjátékosra!

6 Készítette: Takács Sándor  Izolált csúcs, ► ahova nem futnak be és nem indulnak ki élek  hurok,  üres gráf,  teljes gráf,  terminális csúcsok ► amelyekből nem vezet él másik csúcshoz. b a c d a b c d e a b c d Izomorf gráfok a b d c e a b c d e

7 Készítette: Takács Sándor tételek ► Egy véges egyszerű gráfban mindig van két olyan pont, amelyek fokszáma megegyezik. ► Egy gráfban a fokszámok összege az élek számának a kétszerese. ► Egy gráfban a páratlan fokszámú pontok száma páros.

8 Készítette: Takács Sándor feladat ► Előfordulhat-e, hogy egy 9 tagú társaságban mindenki pontosan 3 embert ismer? Élek száma 13 Fokszámok összege: 26 Nem fordulhat elő, mert ha minden csúcs fokszáma 3, akkor 9x3=27 lenne a fokszámok összege. Ez ellentmond a tételnek. (az élek számának kétszerese páros szám)

9 Készítette: Takács Sándor ► Séta: a gráf csúcsainak olyan halmaza, amelyben minden csúcs éllel van összekötve a következővel ► út: a gráf egymáshoz csatlakozó éleinek olyan sorozata, amely egyetlen ponton sem megy át egynél többször. ► Vonal:a gráf csúcsainak és éleinek azt a sorát, amelyben az élek a megfelelő csúcsokat kötik össze és az élek nem ismétlődnek. ► Euler-vonal:az olyan vonalat nevezzük, amelyben a gráf minden éle és minden pontja szerepel.  Az Euler-vonal mentén megrajzolhatjuk a gráfot úgy, hogy a ceruzánkat nem emeljük fel a papírról, minden élén pontosan egyszer haladunk végig.

10 Készítette: Takács Sándor További fogalmak ► Egyszerű gráf: nincs sem párhuzamos él és nincs hurokél sem a gráfban. ► Teljes gráf: a gráf minden pontjából a gráf összes többi pontjába vezet egy-egy él. ► Összefüggő gráf: a gráf bármely pontjából bármely pontjába élek mentén el lehet jutni.

11 Készítette: Takács Sándor ► Kör: a kezdőpontjába visszavezető út, azaz olyan élsorozat, amely a kezdőpontjába tér vissza és benne minden él csak egyszer szerepel. ► Euler-kör, vagy zárt Euler-vonal: Olyan Euler-vonal, ami egyben kör is. ► Tétel:Egy összefüggő gráfnak akkor és csak akkor van zárt Euler-vonala, ha a gráf minden pontjának a fokszáma páros.  Ha az összefüggő gráfban csak két páratlan fokszámú csúcs van, akkor a gráfnak van nyitott Euler-vonala ► Az ábrán látható alakzatnak van nyitott Euler- vonala, de nincs Euler köre. ► Megjegyzés: Az ábrán látható alakzatnak van nyitott Euler- vonala, de nincs Euler köre. Két páratlan fokú csúcsa van

12 Készítette: Takács Sándor Újabb fogalmak ► Izolált pont: amelyből nem indul ki él. ► Irányított gráf: minden élről meg kell mondani, hogy melyik a kezdőpontja és a végpontja.  Kifok: hány él indul ki a pontból  Befok: hány él érkezik be a pontba ► Komplementer gráf:  Egy gráf és komplementere ugyanazokat a pontokat tartalmazza.  A komplementer gráfban két pont pontosan akkor van összekötve éllel, ha az eredetiben nincs összekötve.

13 Készítette: Takács Sándor Gyakorlat ► 1.Feladat: Bizonyítsuk be, hogy ha egy egyszerű véges gráfnak  páratlan sok pontja van, akkor bármely pont fokszámának paritása azonos a gráfban és komplementerében.  Páros sok pontja van, akkor bármely pont fokszáma vagy a gráfban, vagy komplementerében páratlan. ► Legyen G n pontú gráf  G’ komplementer gráf is n pontot tartalmaz. Ha x a G egy adott pontja, amelynek foka d, akkor G’- ben a foka n-d-1. Tehát a pont fokszámának összege G -ben és G’- ben n-1.  n páratlan  n-1 páros azaz a pont paritása megegyezik a gráfban és komplementerében  n páros  n-1 páratlan, azaz az egyikben páros fokú, a másikban páratlan fokú a pont.

14 Készítette: Takács Sándor További fogalmak ► Tétel: n pontú teljes gráf éleinek száma n(n- 1)/2 ► 2.Feladat: Lehetséges-e, hogy egy 50 tagú társaságban mindenki pontosan három embert ismerjen? ► Hát ha a társaság: 51, 100, 99 tagú? ► Reguláris gráf – d-reguláris ► Tétel: Ha n páros, akkor van 3-reguláris gráf, ha n páratlan, akkor nincs

15 Készítette: Takács Sándor További fogalmak, tételek ► Definíció: Ha egy gráf összefüggő és nem tartalmaz kört, akkor azt fának nevezzük.  Például: a számítógépeknél használatos könyvtár struktúra, vagy az ún. családfák. ► Definíció: Egy gráfot ligetnek (erdőnek) nevezünk, ha nem tartalmaz kört. A liget komponensei (összetevői) fák. ► Tételek  A fa bármely két pontját egyetlen út köti össze  Ha egy fának bármely élét elhagyjuk, akkor a gráf nem összefüggő  Ha egy fának bármely két olyan pontját összekötjük, amely között eddig nem volt él, akkor a gráf már tartalmaz kört.  Az „n” pontú fának n-1 éle van


Letölteni ppt "GRÁFELMÉLET KÉSZÍTETTE: Takács Sándor. Készítette: Takács Sándor 1 feladat ► Egy társaságban lejátszottak néhány sakkmérkőzést. Bármely két ember legfeljebb."

Hasonló előadás


Google Hirdetések