Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Tangramok és hanoi tornyok. Tangramok Szabályos alakzat szétvágásával keletkező elemek.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Tangramok és hanoi tornyok. Tangramok Szabályos alakzat szétvágásával keletkező elemek."— Előadás másolata:

1 Tangramok és hanoi tornyok

2 Tangramok Szabályos alakzat szétvágásával keletkező elemek

3 Archimedes tangramja Stomachion –Kb éves –Az első tangram –A csúcsok négyzetrácsokon vannak –Az elemek területe egész –Több megoldás létezik

4 A kínai és a japán tangram –Négyzet felosztásai –Elemek száma: 7 –45 fok többszörösei –Mindkettőből rengeteg érdekes alakzat kirakható Tangramok

5 Érdekes alakzatok Tangramok

6 Konvex alakzatok Tangramok Ez a 13 van csak? És a japánban?

7 A két tangram jellemzői Mindkettő 16 kis háromszögre bontható

8 A kínai tangramból 13 féle, a japánból 16 féle konvex alakzat rakható ki ! Tétel Fu Traing Wang és Chuan-Chih Hsuing nyomán.

9 1. Lemma Egybevágó, egyenlőszárú, derékszögű háromszögekből alkotott konvex alakzatban egy szakasz két oldalán nem lehet egyszerre racionális és irracionális oldal. Nem lehet ilyen!

10 Ha van mindkét oldalon racionális és irracionális háromszögoldal is, akkor csak ugyanannyi lehet. 1. Segédlemma Bizonyítás: Legyen felül n racionális és m irracionális oldal, alul k, l. Ekkor: n-k és l-m csak 0 lehet, különben egy irracionális szám előállna két egész hányadosaként

11 1. Lemma Egybevágó, egyenlőszárú, derékszögű háromszögekből alkotott konvex alakzatban egy szakasz két oldalán nem lehet egyszerre racionális és irracionális oldal. Nem lehet ilyen!

12 Indirekt. Tegyük fel, hogy lehet. 1. Lemma bizonyítása Ekkor van egy első irracionális, ennek csúcsában az egyenes két oldalán egy racionális és egy irracionális oldal találkozik:

13 A racionális oldalon kell lennie irracionálisnak is (és fordítva), a segédlemma miatt. Tekintsük azt a csúcsot, ahol racionális oldal irracionálissal találkozik: 1. Lemma bizonyítása folyt.

14 A köztük levő lyukat be kell tömni: 1. Lemma bizonyítása folyt. A zöld vonalak mentén újra előáll az eredeti helyzet. Alatta is és felette is folytathatjuk a bizonyítást a végtelenségig. Így véges sok háromszöggel nem lehet befejezni. Qed!

15 Egybevágó, egyenlőszárú, derékszögű háromszögekből alkotott konvex alakzat egy-egy oldalán vagy minden háromszögoldal racionális vagy mind irracionális. 2. Lemma

16 Tekintsünk egy háromszöget az egyik oldalon: 2. Lemma bizonyítása Ezeket ki kell egészíteni szakasszá. Az 1. Lemma miatt csak azonos típusú oldalak találkozhatnak:

17 Egybevágó, egyenlőszárú, derékszögű háromszögekből alkotott konvex alakzat oldalainak “racionálissága” 45 fokonként változik. Tehát, ha két oldal közbezárt szöge 45 vagy 135 fok, akkor az egyik racionális, a másik irracionális, ha a közbezárt szög 90 fok, akkor mindkettő racionális vagy irracionális. 2. Lemma következménye Pl. így: Racionális oldalak Irracionális oldalak

18 Egy ilyen sokszög egy szöge max. 135 fok lehet. Ha n oldalú a sokszög, akkor a szögeinek összegére felírható: 135n ≥ 180(n-2) 135n ≥ 180n ≥ 45n 8 ≥ n 3. Lemma Bizonyítás: Egybevágó, egyenlőszárú, derékszögű háromszögekből alkotott konvex sokszög maximum 8 szög lehet.

19 4. Lemma Egybevágó, egyenlőszárú, derékszögű háromszögekből alkotott konvex sokszög beírható egy téglalapba úgy, hogy a téglalap oldalain racionális sokszögoldalak legyenek. y a x a=x, b=0, c=0 a b b c c d d a+b = c+d = x A terület kétszeresére: a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +16=2xy x≥a+b, x≥c+d, y≥a+d, y≥c+b a, b, c, d ≥ 0 és x, y > 0

20 a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +16=2xy megoldásai xyabcd xyabcd

21 xyabcd xyabcd

22 xyabcd xyabcd

23 xyabcd xyabcd

24 xyabcd xyabcd Kínai tangrammal kirakhatatlanok Japán tangrammal kirakhatatlanok

25 Hanoi tornyok Három vagy több rúdon csökkenő átmérőjű korongok. Cél a korongok áthelyezése egy másik rúdra. Egyszerre csak egy korongot szabad mozgatni. Kisebben nem lehet nagyobb.

26 Hanoi torony (az eredeti) Három rúd, bárhonnan, bárhova mozgathatók a korongok Alaphelyzet Vége! Hogy lehet áttenni az utolsót? H(n) lépés H(n-1) lépés 1 lépés H(n-1) lépés

27 Hanoi torony (az eredeti) Szükséges lépésszám: H(n) H(n)=H(n-1)+1+H(n-1) H(n)=2H(n-1)+1 H(1)=1 Állítás: H(n)=2 n -1 Bizonyítás teljes indukcióval! H(1)=2 1 -1=2-1=1 H(n)=2H(n-1)+1= 2*(2 n-1 -1)+1=2 n -2+1=2 n -1

28 Hanoi 4 tornya (Reve játéka) 4 rúd, bárhonnan, bárhova mozgathatók a korongok B(n) B(n-1) 1

29 Hanoi 4 tornya (Reve játéka) Egy jobb módszer R(n) R(n-i) H(i) R(n-i)

30 Hanoi 4 tornya (Reve játéka) De mennyi legyen az i? Ha n korong van és n háromszögszám, vagyis n=k(k+1)/2 akkor belátható, hogy i=k a legjobb választás. Ha n a k-1. és a k. háromszögszám között van, akkor k és k-1 is jó választás.

31 Hanoi 4 tornya (Reve játéka) De mennyi legyen az i? Néhány n-re a jó i és a szükséges lépésszám: niR(n) Ez a legjobb???

32 Hanoi ciklikus tornyai 4 rúd, csak körben mozgathatók a korongok Feladat: az elsőről a 3-ra vinni a korongokat

33 Hanoi ciklikus tornyai C(n) C(n-1) 1 1 C(1)=2 C(n)=3C(n-1)+2 C(n)=3 n -1 Van ennél jobb? Van, de ismeretlen!!! 2, 8, 18, 36, 66, 120, 210 lépés kell minimum!

34 Hanoi szomszédos tornyai 4 rúd, csak a szomszédosra mozgathatók a korongok Erre sem tudunk jó módszert! 3, 10, 19, 34, 57, lépés szükséges.

35 Hanoi tornyok Rokonjátékok:

36 Hanoi tornyok Emeletes kigabalyító

37 Megoldatlan problémák: •Egyéb tangramokból előállítható konvex alakzatok •Reve játékának (4-es hanoi) optimális stratégiája •Ciklikus és szomszédos hanoi jó stratégiája •Ezek lépésszámára egy jobb, zárt alakú becslés •4-nél több tornyú hanoik vizsgálata Tangramok és hanoi tornyok


Letölteni ppt "Tangramok és hanoi tornyok. Tangramok Szabályos alakzat szétvágásával keletkező elemek."

Hasonló előadás


Google Hirdetések