Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

1 Csoport részcsoport invariáns faktorcsoport részcsoport Gyűrű részgyűrű ideál faktorgyűrű.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "1 Csoport részcsoport invariáns faktorcsoport részcsoport Gyűrű részgyűrű ideál faktorgyűrű."— Előadás másolata:

1 1 Csoport részcsoport invariáns faktorcsoport részcsoport Gyűrű részgyűrű ideál faktorgyűrű

2 2 Ideál, faktorgyűrű Definíció. R gyűrűben S  R részgyűrű, ha az R-beli műveletek S-re történő leszűkítésére nézve S maga is gyűrűt alkot. Megjegyzések: 1. Mivel S  R teljesül, műveleti zártság esetén az asszociativitás és disztributivitás is teljesülni fog. 2. A 7. tétel szerint csoport valamely A részcsoport  A  A –1  A. 3. Tehát R-ben S komplexus részgyűrű  S–S  S,S–S  S, SS  S.SS  S.

3 3 Definíció. Legyen R gyűrű, I  R, I . I az R balideálja, ha 1. I–I  I, és 2. R  I  I. Triviális ideál: {0}, R. Valódi ideál: R-től különböző ideál. Jobbideál hasonlóan. Ideál, ha jobb és bal oldali ideál egyszerre.

4 4 Példák: 1. Z-ben az n-nel osztható számok (n  N) ideált alkotnak. I=nZ={nz  z  Z} 1. I–I  I, 2. R  I  I, I  R  I.

5 5 2. n  N, n  2, F gyűrű (F  2) elemeiből álló F n n  n-es mátrixok halmaza a mátrix összeadásra és mátrix szorzásra vonatkozóan. Az halmaz balideált alkot, de nem alkot jobbideált. 1. I–I  I, 2. R  I  I, Legyen F=R, n=2. I  R  I.

6 6 47. Tétel. Ha R kommutatív gyűrű, akkor az I = (a) = {x  a  x  R} halmaz R-nek ideálja. Bizonyítás. 1. x  a  I, y  a  I  x  a–y  a = (x–y)  a  I   I–I  I 2. r  R, x  a  I  r  (x  a) = (r  x)  a  I Kommutativitás  I  R = R  I  I  R  I  R  I  I

7 7 Észrevételek. 1. a  (a). 2. Ha I tetszőleges ideál R-ben, és a  I, akkor (a)  I. Következmény: Kommutatív egységelemes gyűrűben az (a) ideál az a elemet tartalmazó legszűkebb ideál. Legyen R gyűrű. Az (a) ideálokat, amelyek egy rögzített a  R elem összes többszöröseiből állnak, főideáloknak nevezzük. Definíció. Kommutatív egységelemes gyűrűben

8 8 48. Tétel. Kommutatív egységelemes R gyűrűnek |R|  2 esetén, akkor és csak akkor vannak csupán triviális ideáljai, ha test. 1. Tfh R nem test   a  0 elem, amelyik nem invertálható  a többszörösei között nem fordul elő e  (a) az R-nek nem triviális ideálja.

9 9 2. Tfh R test, I ideálja, és I  {0}   a  I : a  0. R test  a-nak létezik a –1 inverze továbbá az ideál 2. tulajdonsága  e = a –1 a  I.   b  R : be  I  tehát I = R, triviális ideál.

10 10 Ideál Invariáns részcsoport I ideál R-ben (I, +) invariáns részcsoport (R, +)-ban  Képezhetők az I szerinti mellékosztályok, R diszjunkt felbontását adják, a komplexusösszeadásra csoportot alkotnak

11 11 Definíció. Legyen R gyűrű, I kétoldali ideál R-ben. R-nek I szerinti maradékosztály gyűrűje (faktorgyűrűje) R/I = {r + I  r  R} a következő műveletekkel: Megjegyzés. A 2. definícióban nem a normál értelemben vett komplexus szorzásról van szó. pl. Z-ben a (8) ideál, (4+(8)) mellékosztály Definíció szerint: (4+(8))  (4+(8)) = 4  4+(8)=(8) 16-tal osztható elemek 8-cal osztható elemek DE: két mellékosztály szorzata része a jobboldalnak  A szorzás nem függ a reprezentánstól.

12 Tétel. A faktorgyűrű szorzásának definíciója nem függ a rep- rezentánstól. Bizonyítás. Legyen r 1  r+I és s 1  s+I, vagyis r 1 =r+i 1 és s 1 = s+i 2 valamilyen i 1, i 2  I esetén.  r 1 +I = r+I s 1 +I = s+I, szorzás definíciója  r 1 s 1 és rs ugyanazt a maradékosztályt reprezentálja rs+I= r 1 s 1 + I

13 13 Megjegyzés. 1. R/I gyűrűt alkot a definícióban szereplő műveletekre nézve. 2. I a nullelem. 3. Ha R egységelemes, akkor I+e az R/I-ben az egységelem. Példa Z-ben n  N többszörösei: nZ. nZ ideál Z-ben, képezhető Z /nZ. Ez a modulo n maradékosztályok halmaza a maradékosztály összeadásra és szorzásra nézve. Z n

14 14 Definíció. Legyen R egységelemes, kommutatív gyűrű. Egy R-beli I ideált prímideálnak nevezünk, ha a  b  I-ből a  I vagy b  I következik. Maximálisnak akkor mondjuk egy R gyűrű I valódi ideálját, ha abból, hogy I' ideál és I  I‘  R, I'=I vagy I‘=R következik, azaz ha R-en kívül nincsen az I-t valódi módon tartalmazó ideál. Ha R egységelemes, kommutatív gyűrű, akkor milyen esetben lesz a faktorgyűrűje I. integritási tartomány, illetve II. test.

15 15 Példa. 1. 2Z prímideál Z-ben : ab  2Z, ab páros  a vagy b páros  a  2Z vagy b  2Z. 2. 2Z maximális ideál is Z-ben : Tfh. 2Z  I  Z. Ha  a  I páratlan  1  I  I = Z, Különben I = 2Z Z nem maximális és nem is prímideál Z-ben: 7·7 = 49  49Z, de 7  49Z. 49Z  7Z  Z,

16 Tétel. Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű és I az R-nek ideálja. I. R/I akkor és csak akkor integritási tartomány, ha I  R és I prímideál. II. R/I akkor és csak akkor test, ha I maximális ideál. Bizonyítás. I. R/I int. tart.  nincs nullosztó, legalább kételemű.  (I+a)  (I+b) = I  I+a = I vagy I+b = I ab  I  a  I vagy b  I  I prímideál. 

17 17 II/1. Tfh hogy I maximális ideál R-ben, (0  ) I+a  R/I.  S = {i+a  x  i  I, x  R} ideál: S–S  S : i 1 + ax 1 – i 2 – ax 2 = (i 1 – i 2 ) + a( x 1 – x 2 )  S. II RR RS  S : ri +rax =ri +arx  S. II RR Valamint I  S, mert a  I. I maximális  S = R  alkalmas i  I, x  R-rel e = i+a  x  Az R/I kommutatív egységelemes gyűrűben bármely nemnulla a+I elemnek létezik inverze.  R/I test.

18 18 II/2. Tfh R/I test, és legyen M egy olyan ideál, amely valódi módon tartalmazza I-t, létezik egy olyan a elem, amelyre a  M és a  I. R/I test  egyenlet bármely b  R-re megoldható (I+a  I, mert a  I),  I  M és a  M   b  M  b az R tetszőleges eleme, M = R. R/I test  I maximális ideál.

19 19 Következmény. Kommutatív, egységelemes gyűrűben minden maxi- mális ideál prímideál. Definíció. Tegyük fel, hogy (R, +,  ) gyűrű, és (R 1, ,  ) két binér műveletes algebrai struktúra. A  :R  R 1 leképezés homomorfizmus, ha  (r+s) =  (r)   (s) és  (r  s) =  (r)   (s) minden r, s  R esetén fennáll. Bizonyítás. Az előző tételből és abból következik, hogy test egyben integritási tartomány is.

20 20 A csoportelméletből tudjuk, hogy csoport epimorf képe csoport, a művelet belső volta, valamint az asszociativitás homomorf invariánsok. A disztributivitás is homomorf invariáns: Legyen r, s, t  R.  (r(s+t))=  (r)  (  (s)   (t)) (*) és  (rs+rt)=(  (r)   (s))  (  (r)   (t)). (**) R-ben a disztributivitás fennáll  (*) és (**) bal oldala azonos,  a jobb oldal is megegyezik. A másik oldali disztributivitás hasonlóan teljesül.  R 1 is gyűrű. 51. Tétel. Gyűrű epimorf képe gyűrű. Bizonyítás.

21 21 Definíció. Legyen R gyűrű, I ideál. A : R  R/I leképezést természetes homomorfizmusnak nevezzük, ha (r) = r + I, minden r  R esetén. A természetes homomorfizmus nyilván homomorfizmus: Ha egy gyűrű homomorf képeit akarjuk felderíteni, elegendő, ha faktorgyűrűit vizsgáljuk.

22 22  homomorfizmus R R1R1 (R)(R) 0 I

23 23  homomorfizmus R R1R1 (R)(R) 0 I

24 Tétel (Homomorfizmus-tétel). Legyenek R és R 1 gyűrűk,  : R  R 1 epimorfizmus. Ekkor  I ideál R-ben (a leképezés magja) melyre R 1  R/I : ahol 0 R1 az R 1 nullelemét jelöli.

25 25 Csoportelméletből tudjuk, hogy a leképezés magja invariáns részcsoport (R, +)-ban, és egy-egy R1-beli elem ősképe éppen a mag szerinti valamelyik mellékosztály. Ahhoz, hogy I ideál, be kell még látnunk azt, hogy RI  I. Legyen r  R és i  I.  (ri)=  (r)  (i)=  (r)0 R1 =0 R1. IR  I hasonlóan  I ideál. A szorzás művelettartása az  : R1  R / I,  (  (r))= r+I leképezésre hasonlóan látható, amint az összeadásra a csoportelméletnél beláttuk.   izomorfizmust létesít R1 és R / I között. Bizonyítás.

26 26


Letölteni ppt "1 Csoport részcsoport invariáns faktorcsoport részcsoport Gyűrű részgyűrű ideál faktorgyűrű."

Hasonló előadás


Google Hirdetések