Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Illeszkedési mátrix Villamosságtani szempontból legfontosabb mátrixreprezentáció. Legyen G egy irányított gráf, n ponton e éllel. Az n x e –es B(G) mátrixot.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Illeszkedési mátrix Villamosságtani szempontból legfontosabb mátrixreprezentáció. Legyen G egy irányított gráf, n ponton e éllel. Az n x e –es B(G) mátrixot."— Előadás másolata:

1 Illeszkedési mátrix Villamosságtani szempontból legfontosabb mátrixreprezentáció. Legyen G egy irányított gráf, n ponton e éllel. Az n x e –es B(G) mátrixot a G gráf illeszkedési mátrixának nevezzük, ha b ij =1, ha a j-ik él az i-ik ponthoz illeszkedő hurokél. Irányítatlan esetben az él kezdő és végpontjánál is 1 a mátrix elem.

2 Példa e 1 e 2 e 3 e 6 e4e4 e5e5 e7e7 e8e8 v1v1 v2v2 v3v3 v4v4 v5v5 v1v1 v 2 v 3 v4v4 v5v5 e1e1 e 2 e3e3 e4e4 e5e5 e6e6 e7e7 e8e8

3 Tétel Az n pontú c összefüggő komponensből álló, hurokélmentes irányított gráf illeszkedési mátrixának rangja n-c. Összefüggőség irányított gráfban: az éleket irányítás nélkül tekintjük, és akkor ugyanaz, mint irányítatlan esetben. Bizonyítás Ha c > 1, akkor komponensenként sorolva fel a pontokat és éleket, B(G) blokkdiagonális szerkezetű lesz. 0 0 C1C1 C2C2 CcCc Elég tehát egy p pontú összefüggő komponensre belátni, hogy a neki megfelelő blokk rangja p-1.

4 Egy ilyen blokk sorainak száma p, és a sorok összege (0,0,…,0), mert minden oszlopban pont egy +1 és egy -1 áll. (nincs hurokél, minden élnek pontosan egy kezdő és egy végpontja van, és ezek különbözőek): a rang tehát legfeljebb p-1 Legyen F egy feszítőfa ebben a komponensben: p-1 élű. Legyen v 1 az F egy elsőfokú pontja, e 1 a hozzá illeszkedő él. Ekkor (F - {v 1 }) is egy fa, legyen v 2 egy elsőfokú pontja és e 2 a hozzá illeszkedő él. Általában, v i+1 legyen az (F - {v 1,v 2,…,v i }) fa egy elsőfokú pontja, e i+1 a hozzá illeszkedő él. Ha a blokk sorait v 1,v 2,…,v p sorrendben soroljuk fel, az oszlopait pedig az e 1,e 2, …,e p-1 felsorolással kezdjük, akkor a mátrix megfelelő p x p-1-es része a következő alakú: Azaz p-1 lineárisan független oszlopot tláltunk.

5 Tétel Vegyünk a p pontú összefüggő hurokél mentes irányított G gráf illeszkedési mátrixában p-1 oszlopot. Ezek pontosan akkor lineárisn függetlenek, ha a megfelelő p-1 él G egy feszítőfáját alkotja. Bizonyítás Az előző tétel szerint, ha fa, akkor lineárisan független. Tegyük fel, hogy van egy kör, azaz az e 1,e 2,…,e r élek kört alkotnak ebben a sorrendben. e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 e5e5 v1v1 v2v2 v3v3 v4v4 v5v5 a,b,c,d,e  {-1,1} Az e 1,e 2,…,e r éleknek megfelelő oszlopokban a többi elem 0.

6 Legyenek az oszlopok u 1,u 2,…,u r, a diagonálisban álló elemek a 1,a 2,…,a r. Ekkor a 1 u 1 +…+a r u r =0. a 2 -e 2 = -a 2 +b 2 =…= -d 2 +e 2 =0 A feszítőfához tartozó p x p-1-es részmátrix bármely sorát elhagyva a maradék determinánsa  1, ugyanis minden esetben pontosan egy nemnulla kifejtési tag van.

7 0 elhagyott sor Tétel Hagyjunk el a G összefüggő p pontú gráf illeszkedési mátrixából egy tetszőleges sort. A keletkező B 0 mátrixból képzett B 0 ·B 0 T mátrix determinánsa éppen a G feszítőfáinak száma. A bizonyításhoz használjuk: Tétel(Binet, Cauchy) Ha M egy p x r-es, N egy r x p-es mátrix (ahol p  r), akkor az M·N mátrix determinánsa ahol M i az M valamely p oszlopából, N i pedig N ugyanazon sorszámú soraiból áll, és a szummázás az összes lehetséges p elemű oszlophalmazra történik.

8 Példa B 0 -ból p-1 oszlopot kivéve, ponosan a feszítőfának megfelelők determinánsa lesz nem nulla, mégpedig ±1. B 0 T megfelelő soraiból álló részmátrix pont ennek transzponáltja, azaz a determinánsa ugyanaz, azaz a kettő szorzata +1. Pontosan annyi +1-et adunk össze, ahány különböző feszítőfa van.

9 Ha B 0 ·B 0 T =(d ij ), akkor d ij meghatározható Ugyanis B 0 i-ik sorát szorozzuk a j-ik sorával, hogy d ij -t kapjuk. Ezt felhasználjuk Cayley tételének újabb bizonyításához.

10 Az n pontú teljes gráfra

11 Körmátrix Ha a G irányított gráf egy 2 pólusú alkatrészekből álló hálózat kapcsolási gráfja (irányítás: mérőirányok), akkor Kirchoff csomóponti törvényei (áram egyenletek) a B(G)·i=0 alakban irhatók, ahol az i vektor elemei az egyes alkatrészek áramai. Kirchoff feszültség egyenleteit a körmátrix segítségével lehet leírni: C·u=0 Írjuk elő minden egyes kör "körüljárási irányát" (tetszőlegesen, majd rögzítsük.) Ha G-nek k darab köre van, akkor C(G)=(c ij ) egy k x i-es mátrix, melyre c ij =0, ha a j-ik él nem része az i-ik körnek, c ij =1, ha j-ik él benne van az i-ik körben és annak körüljárási irányába mutat, c ij =-1, ha j-ik él benne van az i-ik körben és annak körüljárási irányával ellenkező irányba mutat.

12 Megjegyzés A szomszédsági és az illeszkedési mátrixok izomorfia erejéig meghatározzák a gráfot. A körmátrix nem, például egy síkbarajzolható gráf két különböző (nem izomorf módon) lerajzolt duálisának ugyanaz a körmátrixa. Általában két gyengén izomorf gráfnak ugyanaz a körmátrixa, ha a körüljárási irányokat megfelelően jelöljük ki. Tétel Az n pontú, e élű, c komponensű irányított gráf körmátrixának rangja e - n + c.

13 Tétel Tekintsünk a p pontú, e élű összefüggő irányított gráf körmátrixában e - p + 1 oszlopot. Ezek pontosan akkor lineárisan függetlenek, ha a megfelelő e - p + 1 él a G egy feszítőfájának komplementere.

14 Vágásmátrix A körmátrixhoz hasonlóan definiálható: Minden vágás egy komponenst vág szét X 1, X 2 részhalmazokra. Egy (u,v) él irányítása megegyezik a vágással, ha u  X 1 és v  X 2, ellentétes vele, ha u  X 2 és v  X 1. Tétel Legyen B, C és Q rendre egy hurokélmentes irányított gráf illeszkedési, kör-, illetve vágásmátrixa. Tegyük fel, hogy oszlopaik ugyanabban a sorrendben felelnek meg G éleinek. Ekkor B·C T =0 és Q·C T =0.

15 Vegyük észre, hogy B·C T =0 következik Q·C T =0-ból. B részmátrixa Q –nak, hiszen az egy pontra illeszkedő élek vágást alkotnak. Q CTCT z ij ViVi KjKj e 1 e 2... e m e1e2eme1e2em A z ij elem meghatározásánál nem 0 szorzat a V i vágás és a C j kör közös éleinél van.

16 ViVi Egy szorzat az +1, ha az él irányítása a vágásban és a körben is megegyezik a vágás, illetve a kör irányításásval, vagy mindkettőben ellentétetes. Egy szorzat az -1, ha az él a vágás és a kör egyikével azonos, a másikkal ellentétes irányú. Tehát +1, ha a kör és a vágás ugyanolyan irányban „halad át” az élen, -1, ha ellentétes irányban. Ezek száma egyenlő, mert a kör pont ugyanannyiszor halad a vágással szemben, mint vele egy irányban.


Letölteni ppt "Illeszkedési mátrix Villamosságtani szempontból legfontosabb mátrixreprezentáció. Legyen G egy irányított gráf, n ponton e éllel. Az n x e –es B(G) mátrixot."

Hasonló előadás


Google Hirdetések