Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Egy kis lineáris algebra. Mátrix fogalma m x n –es mátrix: m sor, n oszlop Elemek szokásos jelölése: a ij ◦ i: sor száma ◦ j: oszlop száma Mátrixok elnevezése:

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Egy kis lineáris algebra. Mátrix fogalma m x n –es mátrix: m sor, n oszlop Elemek szokásos jelölése: a ij ◦ i: sor száma ◦ j: oszlop száma Mátrixok elnevezése:"— Előadás másolata:

1 Egy kis lineáris algebra

2 Mátrix fogalma m x n –es mátrix: m sor, n oszlop Elemek szokásos jelölése: a ij ◦ i: sor száma ◦ j: oszlop száma Mátrixok elnevezése: A, B, C, stb. A = a 11 a 12 …a 1n a 21 a 22 …a 2n … …… a m1 a m2 …a mn

3 Mátrixok összeadása a 11 a 12 …a 1n a 21 a 22 …a 2n ……… a m1 a m2 …a mn + b 11 b 12 …b 1n b 21 b 22 …b 2n ……… b m1 b m2 …b mn = a 11 + b 11 a 12 + b 12 …a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22 …a 2n + b 2n ……… a m1 + b m1 a m2 + b m2 …a mn + b mn

4 Mátrixok összeadása - feladat 38-31 0462 1-509 3262 + 1203 -45-82 714 02-25 = 410-34 -49-24 8-6113 3447

5 Mátrixok összeszorzása a 11 a 12 …a 1n a 21 a 22 …a 2n ……… a m1 a m2 …a mn x b 11 b 12 …b 1k b 21 b 22 …b 2k ……… b n1 b n2 …b nk = c 11 c 12 …c 1k c 21 c 22 …c 2k ……… c m1 c m2 …c mk c ij = a i1 x b 1j + a i2 x b 2j + … + a in x b nj

6 b 11 b 12 …b 1k b 21 b 22 …b 2k ……… b n1 b n2 …b nk Mátrixok összeszorzása a 11 a 12 …a 1n a 21 a 22 …a 2n ……… a m1 a m2 …a mn c 11 c 12 …c 1k c 21 c 22 …c 2k ……… c m1 c m2 …c mk

7 Mátrixok összeszorzása 102 3101 121 x 01 2 3 10 4-201 = Nincs megoldás!!! Első mátrix oszlopainak száma ≠ Második mátrix sorainak száma

8 Mátrixok összeszorzása 102 3101 121 x 01 2 3 10 4-201 130 = 7-604 45-36 12-310 1 = (-1)x(-1) + 1 x 1 + 2 x 0 + 1 x (-1)

9 Elemi bázistranszformáció Lineáris egyenletrendszerek megoldása Inverz keresése

10 Elemi bázistranszformáció Generáló elemet választunk (≠0) A generáló elem sorát végigosztjuk a generáló elemmel. Minden más elem és a generáló elem meghatároz egy téglalapot. A másik két sarkot összeszorozzuk, majd a generáló elemmel elosztjuk, végül kivonjuk az eredeti elemből. A generáló elem oszlopa eltűnik.

11 Elemi bázistranszformáció x1x1 x2x2 x3x3 e1e1 102 e2e2 311 e3e3 20

12 Elemi bázistranszformáció x1x1 x2x2 x3x3 e1e1 102 e2e2 311 e3e3 20

13 Elemi bázistranszformáció x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x1x1 102 e2e2 311 e3e3 20

14 Elemi bázistranszformáció x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x1x1 10202 e2e2 311 e3e3 20

15 Elemi bázistranszformáció x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x1x1 10202 e2e2 311 e3e3 20

16 Elemi bázistranszformáció x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x1x1 10202 e2e2 3111 e3e3 20

17 x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x1x1 10202 e2e2 3111 e3e3 20 Elemi bázistranszformáció

18 x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x1x1 10202 e2e2 3111-5 e3e3 20 Elemi bázistranszformáció

19 x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x1x1 10202 e2e2 3111-5 e3e3 20 Elemi bázistranszformáció

20 x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x1x1 10202 e2e2 3111-5 e3e3 202 Elemi bázistranszformáció

21 x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x1x1 10202 e2e2 3111-5 e3e3 202 Elemi bázistranszformáció

22 x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x1x1 10202 e2e2 3111-5 e3e3 2022 Elemi bázistranszformáció

23 x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x1x1 10202 e2e2 3111-5 e3e3 2022 Elemi bázistranszformáció

24 x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x1x1 10202 e2e2 3111-5 e3e3 2022 Elemi bázistranszformáció

25 x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x3x3 x1x1 10202 x2x2 3111-5 e3e3 2022 Elemi bázistranszformáció

26 x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x3x3 x1x1 10202 x2x2 3111-5 e3e3 2022 Elemi bázistranszformáció

27 x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x3x3 x1x1 10202 x2x2 3111-5 e3e3 2022 Elemi bázistranszformáció

28 x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x3x3 x1x1 102022 x2x2 3111-5 e3e3 2022 Elemi bázistranszformáció

29 x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x3x3 x1x1 102022 x2x2 3111-5 e3e3 2022 Elemi bázistranszformáció

30 x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x3x3 x1x1 102022 x2x2 3111-5 e3e3 202212 Elemi bázistranszformáció

31 x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x3x3 x1x1 102022 x2x2 3111-5 e3e3 202212 Elemi bázistranszformáció ≠0 ! Lineárisan független

32 Gauss elimináció Cél: Lépcsőzetes alak Sorokat fel lehet cserélni Sorokat egymásból ki lehet vonni, össze lehet adni, lehet skalárral szorozni

33 102 311 20 Gauss elimináció

34 102102 311~01-5 20022 Gauss elimináció

35 102102 311~01-5~ 20022 Gauss elimináció 102 01-5 0012

36 Inverz meghatározása elemi bázistranszformációval x1x1 x2x2 x3x3 e1e1 102 e2e2 311 e3e3 20

37 Inverz meghatározása elemi bázistranszformációval x1x1 x2x2 x3x3 e1e1 e2e2 e3e3 e1e1 102100 e2e2 311010 e3e3 20001

38 Inverz meghatározása elemi bázistranszformációval x2x2 x3x3 e1e1 e2e2 e3e3 x1x1 02100 e2e2 1-5-310 e3e3 22101

39 Inverz meghatározása elemi bázistranszformációval x3x3 e1e1 e2e2 e3e3 x1x1 2100 x2x2 -5-310 e3e3 127-21

40 Inverz meghatározása elemi bázistranszformációval e1e1 e2e2 e3e3 x1x1 -2/124/12-2/12 x2x2 -1/122/125/12 x3x3 7/12-2/121/12 x 1, x 2, x 3 sorok sorbarendezése után kész az inverz!

41 Inverz meghatározása elemi bázistranszformációval – feladat x1x1 x2x2 x3x3 e1e1 11 e2e2 020 e3e3 32-2

42 Inverz meghatározása elemi bázistranszformációval – megoldás e1e1 e2e2 e3e3 x1x1 2-21 x2x2 01/20 x3x3 3-5/21

43 Inverz meghatározása elemi bázistranszformációval – feladat x1x1 x2x2 x3x3 e1e1 11 e2e2 020 e3e3 2-2 Nincs inverze!

44 Lineárisan független Elemi bázistranszformációval minden vektor bevihető a bázisba Szabadsági foka = 0 Semelyik vektor nem írható fel a többi lineáris kombinációjaként Determinánsa ≠ 0 Létezik inverze Rend = Rang A x=0 egyenletnek csak triviális megoldása létezik

45 Lineárisan összefügg Elemi bázistranszformációval nem minden vektor vihető be a bázisba Szabadsági foka > 0 Valamelyik vektor felírható a többi lineáris kombinációjaként Determinánsa = 0 Nem létezik inverze Rend ≠ Rang A x=0 egyenletnek nem csak triviális megoldása létezik

46 Lineáris egyenletrendszer megoldása elemi bázistranszformációval x1x1 x2x2 x3x3 b e1e1 1021 e2e2 3112 e3e3 201

47 Lineáris egyenletrendszer megoldása elemi bázistranszformációval x2x2 x3x3 b x1x1 021 e2e2 1-5 e3e3 222

48 Lineáris egyenletrendszer megoldása elemi bázistranszformációval x3x3 b x1x1 21 x2x2 -5 e3e3 124

49 Lineáris egyenletrendszer megoldása elemi bázistranszformációval b x1x1 4/12 x2x2 8/12 x3x3 4/12 8/12 4/12 x =

50 1021 3112 201 Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss eliminációval

51 1021 3112~ 201 Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss eliminációval 1021 01-5 0222

52 1021 01-5~ 0222 Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss eliminációval 1021 01-5 00124 4/12 8/12 4/12 x =

53 Feladat 1x 1 +1x 2 -1x 3 +2x 4 =8 2x 1 -1x 2 +1x 3 -2x 4 =-2 -3x 1 -2x 2 +2x 3 -2x 4 =-18 -2x 1 -1x 2 +1x 3 0x 4 =-10

54 Feladat x1x1 20 x2x2 =6+1t x3x3 01 x4x4 00

55 Lineáris egyenletrendszer megoldása inverz segítségével A x = b – a megoldandó feladat x = A -1 b – a feladat megoldása inverz segítségével

56 Lineáris egyenletrendszer megoldása inverz segítségével -2/124/12-2/12 -1/122/125/12 7/12-2/121/12 x = 1 2 1 4/12 8/12 4/12

57 Lineáris egyenletrendszer megoldása elemi bázistranszformációval - feladat x1x1 x2x2 x3x3 b e1e1 111 e2e2 020 e3e3 32-20 4 -1/2 11/2 x =

58 Lineáris egyenletrendszer megoldása elemi bázistranszformációval - feladat x1x1 x2x2 x3x3 b e1e1 -3361 e2e2 020 e3e3 2-2-40 Végtelen sok megoldása van! Szabadsági foka = 1


Letölteni ppt "Egy kis lineáris algebra. Mátrix fogalma m x n –es mátrix: m sor, n oszlop Elemek szokásos jelölése: a ij ◦ i: sor száma ◦ j: oszlop száma Mátrixok elnevezése:"

Hasonló előadás


Google Hirdetések