Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Egy szélsőérték feladat és következményei Rendezési tétel Varga József Bányai Júlia Gimnázium.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Egy szélsőérték feladat és következményei Rendezési tétel Varga József Bányai Júlia Gimnázium."— Előadás másolata:

1 Egy szélsőérték feladat és következményei Rendezési tétel Varga József Bányai Júlia Gimnázium

2 Kérdés: •Adott az (x 1 ; x 2 ;…;x n ) és az (y 1 ; y 2 ;…;y n ) pozitív számokból álló két szám n-es. Milyen esetben lesz az x 1 y i1 + x 2 y i2 +…+ x n y in, összeg –maximális –minimális ahol i 1, i 2,…,i n az 1; 2;…;n számok egy permutációja. •Legfeljebb n! különböző érték, így az összeg felveszi maximumát, minimumát.

3 Példa: •Lali és Pali, ikertestvérek születésnapjukon a következő lehetőséget kapták szüleiktől, akik félretett pénzüket címletek szerint különböző dobozokban tartják. Az első dobozban 1000 Ft-osok, a másodikban 2000 Ft-osok, a harmadikban 5000 Ft-osok, a negyedikben Ft- osok, az ötödikben Ft-osok vannak. Az ikreknek megengedik a szüleik, hogy valamelyik két dobozból 3-3, a hátralévő dobozokból 1, 2, illetve 4 bankjegyet vegyenek ki. Lali nagyon szerény, így ő arra törekszik, hogy a lehető legkevesebb pénzösszeget vegye ki, míg Pali a lehető legtöbb pénzt szeretné kivenni a dobozokból. Hogyan válasszanak?

4 Megoldás: Lali választása: 1∙ ∙ ∙5000+3∙2000+4∙1000= ∙ ∙ ∙5000+2∙2000+1∙1000= A szorzatösszegek tagjait a (20000; 10000; 5000; 2000; 1000) és a (4; 3; 3; 2; 1) számötösök segítségével állítjuk elő.

5 Sejtés: •Az (x 1 ; x 2 ;…;x n ) és az (y 1 ; y 2 ;…;y n ) pozitív számokból álló két szám n-es esetén x 1 y i1 + x 2 y i2 +…+ x n y in összeg, ahol i 1, i 2,…,i n az 1; 2;…;n számok egy permutációja, akkor lesz –maximális, ha (x 1 ; x 2 ;…;x n ) és (y i1 ;y i2 ;…; y in ) ugyanúgy van rendezve; –minimális, ha (x 1 ; x 2 ;…;x n ) és (y i1 ;y i2 ;…; y in ) ellentétesen van rendezve.

6 Rendezettség •Az (a 1 ; a 2 ;…;a n ) és az (b 1 ; b 2 ;…;b n ) pozitív számokból álló szám-n-esek - ugyanúgy vannak rendezve, ha minden i-re és k-ra a i ≤a k estén b i ≤b k ; - ellentétesen vannak rendezve, ha minden i-re és k-ra a i ≤a k estén b k ≤b i.

7 Bizonyítás: •Tegyük fel, hogy (x 1 ; x 2 ;…;x n ) és (y i1 ;y i2 ;…; y in ) nem ugyanúgy van rendezve. Így van olyan l, k, hogy x l y ik,. Ekkor az S= x 1 y i1 +…+ x l y il +…+ x k y ik +…+ x n y in összeg nem maximális, mert az S’= x 1 y i1 +…+ x l y ik +…+ x k y il +…+ x n y in összeg nagyobb nála, ugyanis S’-S= (x k –x l )(y il - y ik )>0.

8 Feladatok rendezési tételre: 1.Bizonyítsuk be, hogy ha x, y, z pozitív valós számok akkor Megoldás: Induljunk ki a kifejezés bal oldalából és írjuk így:

9 Ezután alkalmazzuk az sorozatra a rendezési tételt! Így írhatjuk, hogy

10 2. Bizonyítsuk be, hogy ha a, b, c pozitív valós számok, akkor Megoldás: Induljunk ki a jobb oldalból és alkalmazzuk a rendezési tételt az valamint ellentétesen rendezett sorozatokra!

11 Egyenlőség csak akkor áll fenn, ha a = b = c.

12 A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség •Bizonyítsuk be, hogy az x 1, x 2, …, x n, pozitív valós számok mértani közepe nem nagyobb a számtani közepüknél. Legyen ugyanis ahol G(x) az x 1, x 2,… x n, számok mértani közepe. Legyen b1=b1= Ezzel kaptunk két sorozatot, amelyek ellentétesen rendezettek.

13 Így ezekre fennáll, hogy

14 Csebisev-egyenlőtlenség •Legyen az és két azonosan rendezett sorozata a valós számoknak. Ekkor igaz, a rendezési tétel értelmében, hogy

15 Képezzük ezen egyenlőtlenségek összegét! kifejezéshez jutunk. Innen kapjuk, hogy

16 azaz n 2 -tel végigosztva Ezzel megkaptuk a Csebisev-egyenlőtlenséget. Ha a sorozatok ellentétesen rendezettek, akkor fordított egyenlőtlenség teljesül.

17 Cauchy-egyenlőtlenség •Legyen x 1, x 2, …, x n és y 1, y 2, …, y n két ellentétesen rendezett, pozitív valós számokból álló sorozat! Emeljük négyzetre az előző sorozatok tagjait! Az így kapott számokból képzett szám n-esek is ellentétesen rendezettek lesznek.

18 Ezekre felírhatjuk a Csebisev- egyenlőtlenség értelmében, hogy, azaz.

19 Ha alkalmazzuk a négyzetes és a számtani közép közötti egyenlőtlenséget, akkor azt kapjuk, hogy.

20 A Csebisev-egyenlőtlenség felhasználásával egy újabb egyenlőtlenséghez jutottunk, amely a következő alakban írható fel: A bizonyításnál azonban felhasználtuk, hogy a sorozatok ellentétesen rendezettek és pozitívok. Bizonyítható, hogy a fenti egyenlőtlenség valós számok estén is igaz.

21 Feladat: •Mutassuk meg, hogy ha az (a 1 ; a 2 ;…; a n ); (b 1 ;b 2 ;…;b n ) szám-n-esek ellentétesen vannak rendezve, akkor

22 Első speciális eset : a i =b i. i=1; 2; …;n. Ekkor Átírva:. A bal oldalon szereplő mennyiséget négyzetes középnek szokás nevezni.

23 Második speciális eset: b i. Ekkor. Kissé más módon felírva ezt az egyenlőtlenséget:

24 A bal oldalon szereplő számot szokás az a 1 ; a 2 ;…; a n harmonikus közepének nevezni. A harmonikus közép tehát kisebb vagy egyenlő, mint a számtani közép. Ha a 1 ; a 2 ;…;a n pozitív számok, akkor, ebből

25 Feladat: •Mutassuk meg, hogy ha az a; b; c pozitív számok, akkor

26 A baloldali egyenlőtlenség igazolásához tekintsük a következő két számhármast: Világos, hogy ezek ellentétese vannak rendezve, ezért és Összeadva a megfelelő oldalakat, ebből a bal oldali egyenlőtlenség rögtön adódik.

27 A jobb oldali egyenlőtlenség igazolásához tekintsük a következő számhármast: Világos, hogy a két számhármas ugyanúgy van rendezve, ezért

28 A megfelelő oldalakat összeadva, az egyszerűsítéseket elvégezve, ez pedig éppen a jobb oldali egyenlőtlenség.

29 •Köszönöm a figyelmüket

30 Irodalom: •Ábrahám Gábor Nevezetes egyenlőtlenségek; MOZAIK Oktatási Stúdió •Dr. Pintér Lajos Analízis I.; Tankönyvkiadó


Letölteni ppt "Egy szélsőérték feladat és következményei Rendezési tétel Varga József Bányai Júlia Gimnázium."

Hasonló előadás


Google Hirdetések