Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Fraktálok alaptulajdonságainak bemutatása a háromszögképzésű „Koch sziget” példáján. A fraktálok tulajdonságait jól tanulmányozhatjuk egy egyszerű, absztrakt.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Fraktálok alaptulajdonságainak bemutatása a háromszögképzésű „Koch sziget” példáján. A fraktálok tulajdonságait jól tanulmányozhatjuk egy egyszerű, absztrakt."— Előadás másolata:

1 Fraktálok alaptulajdonságainak bemutatása a háromszögképzésű „Koch sziget” példáján. A fraktálok tulajdonságait jól tanulmányozhatjuk egy egyszerű, absztrakt mo- dell, a Koch sziget példáján. Vegyünk egy egységnyi oldalhosszú egyenlőol- dalú háromszöget. Ennek területe ( 1 / 2 ), a kerülete pedig K 0 =3. A fraktálok tulajdonságait jól tanulmányozhatjuk egy egyszerű, absztrakt mo- dell, a Koch sziget példáján. Vegyünk egy egységnyi oldalhosszú egyenlőol- dalú háromszöget. Ennek területe T 0 = ( 1 / 2 ) sin60 0, a kerülete pedig K 0 =3. Az alapháromszög minden oldalát osszuk három egyenlő részre, és a közép- ső szakaszok fölé szerkesszünk egy -egy (tehát összesen) harmad- akkora, azaz 1 / 3 oldalhosszú és ( 1 / 9 )T 0 területű egyenlőoldalú háromszöget. Az alapháromszög minden oldalát osszuk három egyenlő részre, és a közép- ső szakaszok fölé szerkesszünk egy -egy (tehát összesen 3 darab) harmad- akkora, azaz 1 / 3 oldalhosszú és ( 1 / 9 )T 0 területű egyenlőoldalú háromszöget. A hatágú csillag (12 oldalú poligon) kerülete ( 4 / 3 )K 0 K 1 = ( 4 / 3 )K 0 = 4, területe pedig ( 3 / 9 )T 0 T 0 (1+ 1 / 3 ) területe pedig T 1 = T 0 + ( 3 / 9 )T 0 = T 0 (1+ 1 / 3 ). T0= K0=3 Az 1. rendű Koch sziget

2 Fraktálok alaptulajdonságainak bemutatása a háromszögképzésű „Koch sziget” példáján. Az új idom (a hatágú csillag) minden oldalát osszuk ismét három egyenlő szakaszra, és a középső szakaszok fölé szerkesszünk ismét egy-egy (tehát összesen) szabályos háromszöget! Ezek mindegyikének oldal- hossza így 1 / 9, területe pedig ( 1 / 81 )T 0 lesz. Az új idom (a hatágú csillag) minden oldalát osszuk ismét három egyenlő szakaszra, és a középső szakaszok fölé szerkesszünk ismét egy-egy (tehát összesen 12 darab) szabályos háromszöget! Ezek mindegyikének oldal- hossza így 1 / 9, területe pedig ( 1 / 81 )T 0 lesz. A 48 oldalú poligon kerülete ( 4 / 3 )K 1 ( 16 / 9 )K 0 K 2 = ( 4 / 3 )K 1 = ( 16 / 9 )K 0 = 5.33, területe pedig ( 12 / 81 )T 0 T 0 1 / 3 12 / 81 területe pedig T 2 =T 1 +( 12 / 81 )T 0 =T 0 (1+ 1 / / 81 ). T0=0.433 K0=3 A 2. rendű Koch sziget

3 Fraktálok alaptulajdonságainak bemutatása a háromszögképzésű „Koch sziget” példáján. Az új idom (a 48 oldalú poligon) minden oldalát osszuk ismét három egyenlő szakaszra, és a középső szakaszok fölé szerkesszünk ismét egy-egy (tehát összesen) szabályos háromszöget! Ezek mindegyikének oldal- hossza így 1 / 81, területe pedig ( 1 /)T 0 lesz. Az így nyert poli- gon, a „”, már kezdi érzékeltetni a kerület, azaz a „partvonal” egyre finomabb szerkezetét. Az új idom (a 48 oldalú poligon) minden oldalát osszuk ismét három egyenlő szakaszra, és a középső szakaszok fölé szerkesszünk ismét egy-egy (tehát összesen 48 darab) szabályos háromszöget! Ezek mindegyikének oldal- hossza így 1 / 81, területe pedig ( 1 / 6561 )T 0 lesz. Az így nyert 192 oldalú poli- gon, a „ harmad rendű Koch sziget ”, már kezdi érzékeltetni a kerület, azaz a „partvonal” egyre finomabb szerkezetét. T0=0.433 K0=3 A 192 oldalú poligon kerülete ( 4 / 3 )K 2 ( 64 / 27 )K 0 K 3 = ( 4 / 3 )K 2 = ( 64 / 27 )K 0 = 7.11, területe pedig ( 48 / 6561 )T 0 területe pedig T 3 = T 2 +( 48 / 6561 )T 0 = T 0 1 / 3 12 / 81 T 0 (1+ 1 / / / / 6561 ). A 3. rendű Koch sziget

4 Fraktálok alaptulajdonságainak bemutatása a háromszögképzésű „Koch sziget” példáján. Az előző számítások tanulságai alapján általános szabályt állíthatunk fel az n-ed rendű Koch szigetet alkotó poligon adatainak számítására. Az előző számítások tanulságai alapján általános szabályt állíthatunk fel az n-ed rendű Koch szigetet alkotó poligon adatainak számítására. Oldalak ill. csúcsok száma: ; egy oldal hossza: ( 1 / 3 ). Oldalak ill. csúcsok száma: o n =3*4 n ; egy oldal hossza: h n = ( 1 / 3 ) n. Kerület: ( 4 / 3 ). Kerület: K n =3*( 4 / 3 ) n. Terület: ) ( 1 / 3 ) Terület: T n =T n-1 +o n-1 *T 0 *(h n ) 2 =T n-1 +3*4 n-1 *T 0 *( 1 / 3 ) 2n 1 / 3 4 / 9 16 / / 729 ( 4 / 9 ). = T 0 * { 1+ 1 / 3 *[1 + 4 / / / ( 4 / 9 ) n-1 ] }. Láthatjuk, hogy ha n növekszik minden határon túl nől, mig a terü- let korlátos marad. A képletében ugyanis a szögletes zárójelben egy olyan geometriai sor áll, amelynek összege bármilyen nagy n esetén is véges, nem éri el at, a 4 / 9 quotiensű végtelen mértani sor összegét. Láthatjuk, hogy ha n növekszik K n minden határon túl nől, mig a T n terü- let korlátos marad. A T n képletében ugyanis a szögletes zárójelben egy olyan geometriai sor áll, amelynek összege bármilyen nagy n esetén is véges, nem éri el at, a 4 / 9 quotiensű végtelen mértani sor összegét. A Koch sziget finomításánál hasonló jelenség nyilvánul meg, mint ami- kor egy „igazi” sziget partvonalát egyre részletesebb térképen mérjük.

5 Fraktálok alaptulajdonságainak bemutatása a háromszögképzésű „Koch sziget” példáján. Amikor az alapháromszög oldalait három egyenlő részre osztottuk, az 1 / 3 oldal- hosszú kis háromszög területét ( 1 / 9 )T 0 -lal számoltuk, azaz figyelembe vettük, hogy a területet nem a hosszegységgel, hanem annak négyzetével kell mérni. Ezt a szabályt elemi tanulmányaink során azzal indokoltuk, hogy az 1 / 3 oldal- hosszú kis háromszögből 3 2 =9 darab tölti ki maradéktalanul az eredeti egység- oldalú háromszöget, igy akkor kapunk a felosztástól függetlenül azonos ered- ményt, ha területmérésnél is a hosszúság második hatványával dolgozunk. Amikor az alapháromszög oldalait három egyenlő részre osztottuk, az 1 / 3 oldal- hosszú kis háromszög területét ( 1 / 9 )T 0 -lal számoltuk, azaz figyelembe vettük, hogy a területet nem a hosszegységgel, hanem annak négyzetével kell mérni. Ezt a szabályt elemi tanulmányaink során azzal indokoltuk, hogy az 1 / 3 oldal- hosszú kis háromszögből 3 2 =9 darab tölti ki maradéktalanul az eredeti egység- oldalú háromszöget, igy akkor kapunk a felosztástól függetlenül azonos ered- ményt, ha területmérésnél is a hosszúság második hatványával dolgozunk. A szerkesztés kiindulásául szolgáló egyenlőoldalú háromszög területe T 0 = ( 1 / 2 )*sin60 0.

6 Fraktálok alaptulajdonságainak bemutatása a háromszögképzésű „Koch sziget” példáján. Ha kerületszámításnál is azt az elvet kívánjuk követni, hogy a Koch sziget mind finomabb felosztású megszerkesztése során a kerület mérőszáma ne változzék, akkor egy-egy kis oldal mérőszámát valamilyen mértkegységben mérve -re kell választanunk, mivel szerkesztésünk szerint 4 új kis oldal felel meg egy eredeti egységnyi hosszú oldalnak. Az számot azonban nem tekinthetjük egyszerűen úgy, hogy az hosszegységben van mérve, hiszen a kis oldal hossza 1 / 3. Ha kerületszámításnál is azt az elvet kívánjuk követni, hogy a Koch sziget mind finomabb felosztású megszerkesztése során a kerület mérőszáma ne változzék, akkor egy-egy kis oldal mérőszámát valamilyen mértkegységben mérve 1 / 4 -re kell választanunk, mivel szerkesztésünk szerint 4 új kis oldal felel meg egy eredeti egységnyi hosszú oldalnak. Az 1 / 4 számot azonban nem tekinthetjük egyszerűen úgy, hogy az hosszegységben van mérve, hiszen a kis oldal hossza 1 / 3. A szerkesztés kiindulásául szolgáló egyenlőoldalú háromszög területe T 0 = ( 1 / 2 )*sin /4

7 Fraktálok alaptulajdonságainak bemutatása a háromszögképzésű „Koch sziget” példáján. Annak mintájára, hogy a terület mérésére is a hosszegység egy megfelelő hatványa (nevezetesen a második hatványa) bizonyul megfelelőnek, keressük meg, van e a hosszegységnek olyan D- edik hatványa, amely ben az hosszúságú oldal mérőszáma éppen lenne Annak mintájára, hogy a terület mérésére is a hosszegység egy megfelelő hatványa (nevezetesen a második hatványa) bizonyul megfelelőnek, keressük meg, van e a hosszegységnek olyan D- edik hatványa, amely ben az 1 / 3 hosszúságú oldal mérőszáma éppen 1 / 4 lenne () = D *(- log 3) = - log 4 D = /= ( 1 / 3 ) D = 1 / 4 D *(- log 3) = - log 4 D = log 4 / log 3 = A szerkesztés kiindulásául szolgáló egyenlőoldalú háromszög területe T 0 = ( 1 / 2 )*sin /4

8 Fraktálok alaptulajdonságainak bemutatása a háromszögképzésű „Koch sziget” példáján. A hosszegység egész értékű hatványait (D=1, 2, 3,...) az 1, 2, 3, stb. dimenziós terek alakzatainak (szakasz, síkidom, test, stb) mérőszámául használjuk. Vannak a természetben olyan alakzatok, amelyek mérőszámául törtdimenziós hatványt célszerű választani. Ezek a fraktálok. Absztrakt és szabatos geometriai fraktálmodellek is szerkeszthetők, egy ilyen a vizsgált Koch sziget, amelynek kerülete dimenziós fraktálalakzat. A hosszegység egész értékű hatványait (D=1, 2, 3,...) az 1, 2, 3, stb. dimenziós terek alakzatainak (szakasz, síkidom, test, stb) mérőszámául használjuk. Vannak a természetben olyan alakzatok, amelyek mérőszámául törtdimenziós hatványt célszerű választani. Ezek a fraktálok. Absztrakt és szabatos geometriai fraktálmodellek is szerkeszthetők, egy ilyen a vizsgált Koch sziget, amelynek kerülete D = dimenziós fraktálalakzat. T0=0.433 K0=3


Letölteni ppt "Fraktálok alaptulajdonságainak bemutatása a háromszögképzésű „Koch sziget” példáján. A fraktálok tulajdonságait jól tanulmányozhatjuk egy egyszerű, absztrakt."

Hasonló előadás


Google Hirdetések