Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Bernoulli Egyenlőtlenség t > -1 valós szám, és n > 0 egész szám.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Bernoulli Egyenlőtlenség t > -1 valós szám, és n > 0 egész szám."— Előadás másolata:

1 Bernoulli Egyenlőtlenség t > -1 valós szám, és n > 0 egész szám

2 Általánosított Bernoulli- egyenlőtlenség Ha n>1 egész, és a t 1, t 2, …,t n valós számok mindegyike vagy a (-1, 0] vagy a[0, ∞) intervallumon van, és van közöttük legalább kettő nullától különböző, akkor (1+t 1 )·(1+t 2 ) · … · (1+t n )>1+t 1 +t 2 +…+t n

3 Bizonyítás: Teljes indukcióval I.n = 2-re teljesül az állítás, hiszen (1+t 1 ) · (1+t 2 ) = 1+t 1 +t 2 +t 1 · t 2 és t 1 · t 2 >0 a kezdeti feltételek miatt. II.Ha n darab számra igaz az állítás, akkor n+1 darabra is igaz, mert az n+1 darab számot úgy állítjuk sorrendbe, hogy az első n szám között legyen két nullától különböző, akkor (1+t 1 ) · (1+t 2 ) · … · (1+t n ) > 1+t 1 +t 2 +…+t n, (indukciós feltétel n-re), s ha ezt az egyenlőtlenséget megszorozzuk (1+t n+1 ) számmal, (mely a feltételek miatt pozitív), akkor (1+t 1 ) · (1+t 2 ) · … · (1+t n ) · (1+t n+1 ) >(1+t 1 +t 2 +…+t n ) · (1+t n+1 ) Ennek jobb oldalát átalakítjuk: (1+t 1 +t 2 +…+t n ) · (1+t n+1 ) = (1+t 1 +t 2 +…+t n ) + (1+t 1 +t 2 +…+t n ) · (1+t n+1 ) = =1+t 1 +t 2 +…+t n + t n+1 + (t n+1 +t 1 · t n+1 +t 2 · t n+1 +…+t n · t n+1 )> 1+t 1 +t 2 +…+t n + t n+1 felhasználva, hogy (t n+1 +t 1 · t n+1 +t 2 · t n+1 +…+t n · t n+1 ) 0 (az összeg tagjai a kezdeti feltételek miatt nem lehetnek negatívak). Ezzel az indukciós feltételt beláttuk. =

4 Speciális esetben, ha az adott t k számok egyenlőek, a Bernoulli-egyenlőtlenséget kapjuk. Ha egész szám és, akkor

5 Bizonyítás Ha 1+t · n<0 akkor az egyenlőtlenség igaz, mert mindig nagyobb nullánál a kezdeti feltétel miatt. Igaz-e az állítás ha? Lássuk:, itt mindkét oldalból n-edik gyököt vontunk, amit megtehetünk, mert egyik oldal sem negatív. A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenségek tételét alkalmaztuk a Bernoulli-egyenlőtlenség igazolására. n-1 db 


Letölteni ppt "Bernoulli Egyenlőtlenség t > -1 valós szám, és n > 0 egész szám."

Hasonló előadás


Google Hirdetések