Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

1 Matematikai logika Készítette: Dr. Ábrahám István A diasorozat az Analízis 1. (Mozaik Kiadó 2005.) c. könyvhöz készült.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "1 Matematikai logika Készítette: Dr. Ábrahám István A diasorozat az Analízis 1. (Mozaik Kiadó 2005.) c. könyvhöz készült."— Előadás másolata:

1 1 Matematikai logika Készítette: Dr. Ábrahám István A diasorozat az Analízis 1. (Mozaik Kiadó 2005.) c. könyvhöz készült.

2 2 Arisztotelész (ie. IV. század) egyik meghatározó műve a matematikai (vagy formális) logika alapjainak lerakása. Alapfogalmak Ítélet: egyszerű állítás, kijelentés, amelyhez egyértelműen tartozik egy logikai érték. Ha az ítélet hamis akkor 0 a logikai érték, ha igaz, akkor 1.1. A matematikai logikában eleve adottnak tekintjük a logikai értéket és azt keressük, hogy az ítéletekből képzett következtetések igaz vagy hamis volta hogyan függ az ítéletek logikai értékeitől. Logikai művelet: ítéletekhez ítéletek hozzárendelése, a művelet logikai érté- kének megadásával. Ha az adott logikai értékű ítéletekkel következtetéseket hajtunk végre (műveleteket végzünk), akkor a matematikai logikában azt tárgyaljuk, hogy egy logikai kifejezés logikai értéke (igaz vagy hamis volta) hogyan függ a művelet típusától és a benne szereplő íté- letek összes lehetséges logikai értékeitől. Az ítéleteket az ábécé nagybetűivel szokás jelölni. Például : A ítélet: Esik az eső. B ítélet: Fúj a szél. Művelet A-val és B-vel: Esik az eső és fúj a szél. Vagy: Ha esik az eső, akkor fúj a szél. Sokféle műveletet végezhetünk ítéletekkel. Ezek mind 3 alapműveletre vezethetők vissza.

3 3 Alapműveletek ítéletek között Az ítéletek közötti művelet definiálása azt jelenti,hogy megadjuk az „eredmény” (követ- keztetés) lehetséges logikai értékeit a kiindulási (bemenő) ítéletek logikai értékeinek összes lehetséges változatában. A.) Binér műveletek (Binér: két adott ítélethez rendelünk egy harmadikat.) 1. Diszjunkció (egyesítés) Definíció: Az A és B ítéletek diszjunkcióján azt a harmadik (C-vel jelölt) ítéletet értjük, amely akkor és csak akkor hamis, ha A is és B is hamis, máskor igaz. Jelölése: A A B = C, illetve lehet így is: A + B = C. Más fogalmazás: C igaz (logikai értéke 1), ha vagy az A, vagy a B, vagy mindkettő igaz. A diszjunkciót szemléltethetjük táblázattal („igazságtábla”): Az igazságtáblázatokkal a matematikai logikai összefüggéseket egyszerűen tudjuk bizonyítani. 2. Konjunkció („közös rész”) Az A és B ítéletek konjunkciója az a (hozzájuk rendelt) C ítélet, amely akkor és csak akkor igaz, ha A is és B is igaz. Jelölése: A  B = C, illetve: A  B = C. Igazságtáblázata:

4 4 B.) Unáris művelet 3. Negáció Az A ítélet negációján azt az ítéletet értjük, amelynek logikai értéke ellentettje az A logikai értékének. Jelölés: Ā („á negált”). Tehát, ha A igaz,akkor Ā hamis, és ha A hamis, az Ā igaz. Így az igazságtábla is csak két oszlopból áll: Nyilvánvaló: a negált negáltja maga az eredeti ítélet: Szoktunk beszélni két speciális (egy logikai értékű) ítéletről, a mindig igaz (1) és a mindig hamis (0) ítéletről. Ekkor igaz a következő: (A biztosan igaz ítélet negáltja a biztosan hamis ítélet és fordítva). Példa: Igazságtáblázatok felhasználásával igazoljuk a következőt: Megoldás: elkészítjük a bal- és a jobboldal igazságértékeit az összes lehetséges ítélet érték kapcsolatra: Az A és B logikai értékeinek minden lehetséges kapcsolatát számba vettük. Tehát a felírt egyenlőség azonosság. (Ez a De Morgan azonosság egyik alakja.)

5 5 Az alapműveletek azonosságai Az alapazonosságok a halmazelméletben tárgyaltakkal teljesen analógok: Tautológia: 1. A+A=A 2. A·A=A Kommutatívitás: 3. A+B=B+A 4. A·B=B·A Asszociatívitás: 5. A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C 6. A·(B·C)=(A·B)·C=(A·B·C)=ABC Disztributívitás: 7. A(B+C)=AB+AC 8. A+B·C=(A+B)(A+C) Negáltra vonatkozó azonosságok: 9. A+ Ā=1 10. A· Ā=0 Speciális ítéletekre vonatkozó azonosságok:11. A+1=1 12. A·0=0 13. A+0=A 14. A·1=A Ha a halmazok- nál ezeket meg- jegyeztük, akkor csak ismétlünk. Példa: Bizonyítsuk a 8. azonosságot: A+B·C=(A+B)·(A+C). Az igazságtábla: 3 ítélet esetén a 2 igazságérték 8-féleképpen társítható. Ekkor a B·C sora:BC: Majd a baloldal: A+BC: Külön előállítjuk mind a baloldal, mind a jobboldal összes lehetséges logikai értékeit. A jobboldalon:A+B: és A+C: Tehát: (A+B)(A+C): Minden esetben az egyenlőség bal- és jobboldalán megegyeznek a logikai értékek, a szabály igaz.

6 6 illetve: További műveleti azonosságok 1. Beolvasztási (abszorpciós) szabály: A+AB=A és a duálja: A·(A+B)=A. 2. De Morgan azonosság: A dualitás elve ezeknél az azonosságoknál is érvényes! Példa : Bizonyítsuk be, hogy minden A és B ítéletre igaz: Az igazolást igazságtáblázattal végezzük. Az egyes elemi lépések összevonhatók: Látható, hogy az A és a B minden lehetséges igazságérték párjára a bal- és jobboldalon ugyanazokat az igazságértékeket kaptuk. Ez azt jelenti, hogy a szabály általánosan igaz. További műveletek 1. Implikáció Az A és B ítéletek implikációján azt a C ítéletet értjük, amely akkor és csak akkor hamis, ha A igaz és B hamis. Jelölése: A  B = C Igazságtáblázattal:

7 7 Az implikáció nyelvi megfelelője a „ha A, akkor B” kapcsolat. Az implikáció alapműveletekkel helyettesíthető: A  B = Ā+B. Ugyanis: A: B: Ā: Ā+B: Ez pedig azonos A  B-vel: 2. Ekvivalencia Az A és B ítéletek ekvivalenciáján azt a C ítéletet értjük, amely akkor és csak akkor igaz, ha A és B logikai értékei azonosak. Jelölése: A  B=C. Igazságtáblázattal: A: B: A  B: Az ekvivalencia nyelvi megfelelője: „ha A, akkor és csak akkor B ”. Más szavakkal: ha A-ból következik B, akkor B-ből is következik A.A. Így az ekvivalencia helyettesíthető: A  B=(A  B)  (B  A) Az ekvivalencia alapműveletre visszavezetését ismerjük. Igazságtáblával: A: B: A  B: B  A: (A  B) (B  A): Az ekvivalencia alapműveletekre is visszavezethető igazságtáblázattal:

8 8 A Boole algebra A halmazelmélet és a matematikai logika áttanulmányozása után egyértelműen láthatók az analógiák. George Boole ( ) már hasonlókat a XIX. században felfedezett. Boole algebráról akkor beszélünk, ha egy H alaphalmaz részhalmazainak halmazán értelmezünk 3 műveletet, van két kitüntetett elem, és a műveletek az említett 14 alap- azonosságnak tesznek eleget. A Boole algebra elemei lehetnek egy halmaz összes részhalmazai, alkothatják ítéletek vagy események, vagy más objektumok. A Boole algebrát a közös lényeg megragadása miatt lehet teljesen elvontan, absztrakt módon is tárgyalni. A Boole algebrát alkalmazhatjuk elektromos áramkörökre is. Ez vezetett el az elektronikus számítógép meghatározó elemének, a bináris összeadó egységnek a létrehozásához. Konkrétumokat a bináris összeadó egységről a számítástudományi tárgyakban tanulhatunk. A fejezet tárgyalását befejeztük.


Letölteni ppt "1 Matematikai logika Készítette: Dr. Ábrahám István A diasorozat az Analízis 1. (Mozaik Kiadó 2005.) c. könyvhöz készült."

Hasonló előadás


Google Hirdetések