Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Készítette: Kovács Zita HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Készítette: Kovács Zita HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK."— Előadás másolata:

1 Készítette: Kovács Zita HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK

2 Tartalom  Teszt 1.  Alapfogalmak (ismétlés) az alábbi témakörökből:  Halmazok  Relációk  Függvények

3 Teszt 1. - Halmazok

4 3. Legyen A={1;2;3} és B={2;4;6}. AUB=? A ∩ B=? A\B=? 4. Mennyi a számossága az alábbi halmaznak? C = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19} 5. Legyen H= {k; e; n; y; é; r} és A = {k; é; r}. Mi az A halmaznak a H halmazra vonatkozó komplementere? 6. Legyen A = {3; 5} és B={1;2}. AxB=?

5 Teszt 1. - Függvények 7. Add meg azt a függvényt, amely a számokhoz hozzárendeli a reciprokuk kétszeresét!

6 1. Halmazok  halmaz jelölése: nagybetűkkel, pl.: A, B, C, …  halmaz eleme jelölése: kisbetűkkel, pl.: a, b, c,…  eleme, hozzátartozik: az eleme reláció jele: ∈ ; ha a egy objektum, H pedig egy halmaz, akkor a ∈ H azt fejezi ki, hogy az a objektum eleme a H halmaznak  számosság: elemeinek darabszáma; jele: |A|  üreshalmaz: egyetlen eleme sincs, jele: ∅ vagy {}  megj.: | ∅ |=0; ∅ ≠ {0}

7 1. Halmazok  Megadási módok  Felsorolással  Matematikai kifejezéssel  Szöveggel  Adott: ha egyértelműen eldönthető minden elemről, hogy a halmazhoz tartozik-e vagy sem.  Szemléltetése pl. Venn-diagrammal

8 1. Halmazok  Részhalmaz: A részhalmaza B-nek, ha A minden eleme B-nek is eleme.  Jele: A ⊆ B  Példa:  B = {1;2;5;7;9} A = {1;7} C = {2;5;9}  Részhalmazok felsorolása  az A halmaz összes részhalmazának darabszáma: 2 |A|  Megj: ∅ ⊆ B, B ⊆ B (nem valódi részhalmazok)

9 Feladat 1. feladat: Sorold fel a következő halmazok összes részhalmazait! Mennyi van belőlük az egyes esetekben? Mik a nem valódi részhalmazok? a)A = {1; 2; 3} b)B = {x; y; z}

10 Műveletek halmazokkal 1. Egyesítés (unió) 2. Közös rész (metszet) 3. Különbség 4. Szimmetrikus különbség 5. Részhalmaz kiegészítő (komplementer) halmaza 6. Két halmaz Descartes-féle (direkt) szorzata

11 1. Egyesítés (unió)  Az A és B halmazok uniója azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek A és B közül legalább az egyikhez hozzátartoznak.  Jele: A ∪ B  A ∪ B = { x | x ∈ A vagy x ∈ B}

12 Unió Példa: A = {1; 3; 5} B = {2; 4; 6} A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6} 2. feladat: A = {1; 2; 3; 4} B = {3; 4; 5; 6} A ∪ B = ? 3. feladat: A = {1; 2; 9} A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 9} B = ?

13 2. Közös rész (metszet)  Az A és B halmazok metszete azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek A-hoz is és B-hez is hozzátartoznak.  Jele: A ∩ B  A ∩ B = { x | x ∈ A és x ∈ B}  Ha A ∩ B = ∅, akkor az A és a B halmazt diszjunkt halmaznak nevezzük.

14 Metszet Példa: A = {a; b; c; d; e} B = {b; e; f; g} A ∩ B = {b; e} 4. feladat: A = {a; b; k; s; t} B = {b; k; l; m; n; t} A ∩ B = ? 5. feladat: A = {c; e; d; s; m} A ∩ B = {e; d; s} B = ? 6. feladat: A ∩ B = {k; o} A = {a; b; d; k; o; t} A ∪ B = {a; b; d; e; t; f; h; k; o; s} B = ?

15 3. Különbség  Az A és B halmazok különbséghalmazán azoknak az elemeknek a halmazát értjük, amelyek A-hoz hozzátartoznak, de B-hez nem.  Jele: A \ B A \ B = { x | x ∈ A és x ∉ B}B \ A = { x | x ∈ B és x ∉ A}

16 Különbség Példa: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} B = {2; 4; 6; 8; 10} A \ B = {1; 3; 5} B \ A = {8; 10} 7. feladat: A = {2; 4; 8; 16; 32} B = {1; 2; 8; 16; 64} A \ B = ? B \ A = ? 8. feladat: A \ B = {1; 3; 8} B \ A = {4; 7; 9; 10} A U B = {1; 2; 3 ; 4; 6; 7; 8; 9; 10} A ∩ B = ?

17 4. Szimmetrikus különbség

18 Szimmetrikus különbség  A={1;2;3;4;5}  B ={2;4;6;8}  A ∆ B=A\B U B\A={1;3;5}U{6;8}={1;3;5;6;8}

19 5. Kiegészítő (komplementer) halmaz

20 Komplementer 9. feladat: H = {10;11; 12; 13; 14;15} A = {10; 12; 13} C H A = ? 10. feladat: A = {1; 7; 8; 9} C H A = {2; 3; 5} H = ?

21 6. Két halmaz Descartes (direkt) - szorzata  Azoknak a rendezett pároknak a halmazát, amelyeknek az első komponense az A-nak, a második komponense a B-nek eleme, az A és a B halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük.  Jele: A x B  A x B = { (x;y) | x ∈ A és y ∈ B }  Ha |A|=n és |B|=m, akkor |A x B|=n*m

22 Descartes-szorzat Példa:  A = {1; 2}  B = {1; 3}  A x B = {(1;1); (1;3); (2;1); (2;3)} 11. feladat: A = {1; 4} B = {2; 3; 4} A x B = ? 12. feladat: A = {1; 4; 7} B = {2; 3; 4} a.Melyek elemei AxB-nek? (1;3) (7;2) (3;4) (4;4) (3;7) (4;1) (4;7) (2;7) (2;1) (7;4) (2;3) (1;4) b.Add meg a hiányzó elemeket! c.B x A = ?

23 6+1. n db halmaz Descartes (direkt) - szorzata  Azoknak a rendezett elem-n-eseknek a halmazát, amelyeknek az első komponense az A 1 -nek, a második komponense a A 2 -nek, …, és az n-dik komponense az A n -nek eleme, az A 1, A 2, …A n halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük.  Jele: A 1 x A 2 x … x A n  A 1 x A 2 x … x A n = { (a 1,a 2,…,a n ) | a 1 ∈ A 1, a 2 ∈ A 2, …, a n ∈ A n }

24 Halmazműveletek főbb azonosságai  Két halmaz egyenlő, ha ugyanazok az elemeik.  Kommutatív  Asszociatív  Disztributív  Idempotens  De-Morgan  Stb…

25 2. Relációk  Definíció: Az A és B halmazok Descartes- szorzatának egy R ⊆ AxB részhalmazát az A és B halmazok közötti (binér) relációnak nevezzük.  Ha (a,b) ∈ R, akkor azt mondjuk, hogy „az a elem R relációban van b-vel”; aRb  A=B esetén A-n értelmezett relációnak mondjuk.

26 2. Relációk  Definíció: Az A halmazon értelmezett R ⊆ AxA relációt  Ekvivalenciarelációnak nevezzük, ha R Reflexív ( ∀ a ∈ A: aRa) Szimmetrikus ( ∀ a, b ∈ A: ha aRb, akkor bRa ) Tranzitív ( ∀ a, b, c ∈ A: ha aRb és bRc, akkor aRc) Példa: = (feladat ellenőrizni)

27 2. Relációk  Definíció: Az A halmazon értelmezett R ⊆ AxA relációt  Féligrendezési relációnak nevezzük, ha R Reflexív Antiszimmetrikus ( ∀ a, b ∈ A: ha aRb és bRa, akkor a=b) Tranzitív Példa: részhalmaz (feladat ellenőrizni)

28 2. Relációk  Definíció: Az A halmazon értelmezett R ⊆ AxA relációt  Rendezésnek nevezzük, ha R Féligrendezés és Minden a, b eleme A esetén: aRb vagy bRa Példa: A=R, ≤ (feladat ellenőrizni)

29 Példák, feladatok 1. Legyen A a sík összes egyeneseinek halmaza! a) Ekvivalenciareláció-e az A halmazon a párhuzamosság? b) Melyek az ekvivalenciaosztályok? 13. Legyen A a sík összes egyeneseinek halmaza! a)Ekvivalenciareláció-e az A halmazon a merőlegesség? 14. Legyen R={(a;a); (a;b); (a;c)} az {a;b;c} halmazon értelmezett reláció! Minimum hány elemmel kell kiegészíteni az R halmazt, hogy az a)reflexív legyen? b)szimmetrikus legyen?

30 3. Függvények  Definíció: Egy R ⊆ AxB relációt függvénynek nevezzük, ha abból, hogy (a,b) ∈ R és (a,c) ∈ R következik, hogy b=c.  Bármely adott dologhoz legfeljebb egy dolgot rendelünk hozzá.

31 3. Függvények, mint egyértelmű hozzárendelések  A hozzárendelések között vannak olyanok, amelyek az egyik halmaz minden eleméhez a másik halmaznak pontosan egy elemét rendelik hozzá.  Ezek az egyértelmű hozzárendelések. Az egyértelmű hozzárendeléseket függvényeknek nevezzük.  A függvényeket kisbetűkkel jelöljük: f,g,h, … stb.  Azokat a függvényeket, amelyek mindkét irányban egyértelműek („megfordíthatóak”), kölcsönösen egyértelmű függvényeknek nevezzük.

32 3. Függvények  A függvényt megadhatjuk  táblázattal  grafikonnal  nyíl-diagrammal  képlettel vagy egyéb utasítással  Azt a halmazt, amelynek az elemeihez hozzárendeljük a másik halmaz elemeit, alaphalmaznak, a másik halmazt, amelybe a hozzárendelt elemek tartoznak, képhalmaznak nevezzük.  A hozzárendelési szabály (utasítás) adja meg a függvényt, amely szerint az alaphalmaz elemeihez egyértelműen hozzárendeljük a képhalmaz elemeit.

33 Értelmezési tartomány - ÉT  Az alaphalmaz azon elemeinek a halmaza, amelyekre a hozzárendelési szabály érvényes. Ez lehet maga az alaphalmaz is.  Az értelmezési tartomány elemeit szokás változóknak is nevezni.

34 Értékkészlet - ÉK  A képhalmaz azon elemeinek a halmaza, amely értékeket a függvény felvesz. Ez lehet a teljes képhalmaz is.  Elemei a függvényértékek.

35 Példák, feladatok  f: R → R, x → 2x  g: R → R, x → x 2  stb…

36 Induktív definíció  Egy sajátos és nagyon megbízható definíciós módszer. Elsősorban halmazok és függvények definiálására használható.  A definíció két fő részből áll: A bázis megadása A szabály, vagy szabályok megadása

37 Segédletek   osztaly/halmazok-halmazmuveletek/halmazmuveletek osztaly/halmazok-halmazmuveletek/halmazmuveletek  N6206B/sco_01_03.htm


Letölteni ppt "Készítette: Kovács Zita HALMAZOK, RELÁCIÓK, FÜGGVÉNYEK."

Hasonló előadás


Google Hirdetések