Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Készítette: Nagy Mihály tanár Perecsen, 2006. Halmazok Descartes-szorzata A halmazok Descartes-szorzata: Tehát a Descartes-szorzat rendezett elempárok.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Készítette: Nagy Mihály tanár Perecsen, 2006. Halmazok Descartes-szorzata A halmazok Descartes-szorzata: Tehát a Descartes-szorzat rendezett elempárok."— Előadás másolata:

1

2 Készítette: Nagy Mihály tanár Perecsen, 2006.

3 Halmazok Descartes-szorzata A halmazok Descartes-szorzata: Tehát a Descartes-szorzat rendezett elempárok halmaza. Például: A={3,5}, B={1,4}, akkor AXB={(3,1), (3,4), (5,1), (5,4)}. Általában: AXB≠ BXA.

4 A derékszögű koordináta- rendszer A valós számok halmazának geometriai ábrázolása egy egyenes (számegyenes). Két egymásra merőleges számegyenes egy Descartes-féle koordináta-rendszert alkot. Az RXR={(x,y)|x  R, y  R} szorzat minden elempárja ábrázolható ebben a rendszerben. Az OX az abszcissza, OY az ordináta tengely. O a kezdőpont (origó).

5

6 Az egyenesek négy negyedet határoznak meg: I., II., III., IV. negyed. A számozás az óra járásával ellenkező irányban történik. III IIIIV

7 y xO M(2;3) N(-3;-1)

8 Az M pont koordinátái 2 és 3. A 2 az abszcissza, a 3 az ordináta. Az N pont koordinátái a -3 illetve a -1. Az RXR szorzat bármely elemének megfelel egy pont a síkban. Vagyis bármely számpár ábrázolható a koordináta- rendszerben.

9 A függvény fogalma Tekintsük az A(-2,-4), B(-1,-2), C(0,0), D(1,2), E(2,4). Készítsünk táblázatot: x y Megfigyelhetjük, hogy y = 2x. Ábrázoljuk a koordináta-rendszerben a pontokat:

10 y x O (-2,-4) (-1,-2) (0,0) (1,2) (2,4)

11 Adott az A{-2, -1, 0, 1, 2} és B={0, 1, 4} halmaz. A két halmaz alapján az alábbi táblázatot készíthetjük: x y41014 Észrevesszük, hogy y = x 2. Ábrázoljuk a koordináta- rendszerben:

12 y x O (0,0) (1,1) (2,4) (-1,1) (-2,4)

13 Készítsünk diagramokat és nyílakkal ábrázoljuk az elelemek közötti kapcsolatokat (relációkat):

14 Más relációkat kifejező diagramok: 3.AB a

15 Vizsgáljunk meg még egy diagramot: 4. CD a b c

16 Tanulmányozzuk egy kicsít az előbbi relációkat: Az 1., 2. és 3. ábrán az első halmaz bármely elemének a második halmazból egy és csak egy elem felel meg. Ezek függvényszerű relációk. A negyedik ábrán a C halmaz a elemének a D halmazban több elem felel meg. Ez a reláció nem függvényszerű. Mondhatjuk, hogy az első három reláció függvény, az utolsó viszont nem függvény.

17 Értelmezés: Adott az A és B halmaz. Ha valamilyen eljárással (f) az A halmaz bármely x elemének megfeltetünk egy és csak egy y elemet a B halmazból úgy, hogy y = f(x), azt mondjuk, hogy egy f :AB függvény értelmeztünk. Az A halmazt értelmezési tartománynak, a B halmazt értéktartománynak nevezzük. Az f a megfeleltetési szabály, törvény, eljárás ami lehet képlet vagy egyéb összefüggés.

18 Az előbbiek alapján látható, hogy a függvényeket háromféleképpen határozhatjuk meg: •táblázattal:x1234 y14916 •diagrammal: •képlettel f(x) = x

19 A függvény grafikus képe A G f ={(x,y)|x  A,y=f(x)} halmazt az f:AB függvény grafikus képének nevezzük, ahol G f  AXB. A G f számossága mindig egyenlő az A halmaz számosságával. Például: Legyen A={-1, 0, 1, 2}. Tekintsük az f: A B, f(x) = 2x + 1 függvényt. Akkor a G f = {(-1,-1), ( 0,1), (1,3), (2,5)}. Az A és B halmaz lehet éppen az R.Ebben az esetben G f  RXR.

20 Az elsőfokú függvény Az f::A B, f(x) = ax + b, a, b  R alakú függvényeket elsőfokú függvényeknek nevezzük. Amint előbb láttuk ennek a függvénynek a grafikonja egy egyenesbe eső pontok. Ezért tévesen egyes tankönyvekben lineáris függvényként emlegetik. Ha A  R, akkor a grafikon egy szakasz, félegyenes vagy egyenes. Az f : R R, f(x) = ax + b az elsőfokú függvény általános alakja.

21 Példák: 1. Adott az f:{-1, 0, 1, 2} R, f(x) = 2x+1 függvény. x O y (-1,-1) (0,1) (1,3) (2,5)

22 2. Legyen az f: RR, f(x) = 4x-3 függvény. Ábrázoljuk: y x O (0,-3) (-1,1) f(x) x0-1 y-31

23 3. Tekintsük az f:RR, f(x)=3 és a g:RR, g(x)=-2 függvényeket. Ábrázoljuk: x O y f(x) g(x)

24 4. Ábrázoljuk az f:RR, f(x) = -2x függvényt! x O y f(x)

25 A tengelyekkel való metszéspontok meghatározása Legyen f:RR, f(x)=ax+b az elsőfokú függvény általános alakja. Ha x=0, akkor f(0)=b, tehát A(0,b) az OY tengellyel való metszéspont. Ha f(x)=0, akkor ax+b=0, vagyis x= tehát B(,0), az OX tengellyel való metszéspont. A két ponton áthaladó egyenes a függvény grafikonja.

26 Példa: Tekintsük az f:RR, f(x)=2x-6 függvényt. Keressük meg a tengelyekkel való metszéspontokat és ábrázoljuk. Ha x=0, akkor f(0)=-6, tehát A(0,-6) pontban metszi az OY tengelyt. Ha f(x)=0, akkor 2x-6=0, azaz x=3, tehát a B(3,0) pontban metszi az OX tengelyt. Mivel az elsőfokú függvény grafikonja egy egyenes és két pont mindig meghatároz egy egyenest, ezért a két ponton átmenő egyenes a függvény grafikonja.

27 Készítsük el a grafikont: x y O B(3,0) A(0,-6) f(x)

28 Függvény meghatározása két pontja segítségével Példa: Határozzuk meg az A(-2,3) és B(4,-1) pontokon áthaladó függvényt! Megoldás: Az elsőfokú függvény általános alakja f(x)=ax+b. Kiszámítjuk az f(-2) és f(4) értékeket, azután pedig megoldjuk az f(-2)=3 és f(4)=-1 egyenletekből álló egyenletrendszert. Innen kapjuk, hogy a =és b =. A függvény:

29 Feladat: Határozzuk meg az f:RR, f(x)=3x+6 függvény grafikonja és a tengelyek által határolt alakzat területét! x=0, f(x)=6, tehát A(0,6) f(x)=0, x= -2, tehát B(-2,0) f(x) x O A(0,6) B(-2,0)

30 Az elsőfokú függvény tulajdonságai •Növekvő, ha a

31 Intervallumokon értelmezett elsőfokú függvények Az f:IR, f(x)=ax+b függvény a g:RR, g(x)=ax+b függvénynek az I intervallumra való leszűkítése. Az f függvény grafikus képe a g függvény képének (d) egy része, ami lehet szakasz vagy félegyenes. Ahogy az értelmezési tartomány zárt vagy nyílt intervallum, úgy a grafikon zárt vagy nyílt szakasz. Nézzünk egy pár példát:

32 1. Legyen az f:(-2,3)R, f(x)=x+3. x O y -23 f(x)

33 2. Legyen az f:[-2,3]R, f(x)=x+3. y x O -23 f(x)

34 y x O -23 f(x) 3. Legyen az f:[-2,+ ) R, f(x)=x+3.

35


Letölteni ppt "Készítette: Nagy Mihály tanár Perecsen, 2006. Halmazok Descartes-szorzata A halmazok Descartes-szorzata: Tehát a Descartes-szorzat rendezett elempárok."

Hasonló előadás


Google Hirdetések