Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Geometriai transzformációk Szirmay-Kalos László. Geometriai transzformációk (x,y) (x’,y’) = T(x,y) l Általában az egyenlet elromlik l Korlátozás: –Pont,

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Geometriai transzformációk Szirmay-Kalos László. Geometriai transzformációk (x,y) (x’,y’) = T(x,y) l Általában az egyenlet elromlik l Korlátozás: –Pont,"— Előadás másolata:

1 Geometriai transzformációk Szirmay-Kalos László

2 Geometriai transzformációk (x,y) (x’,y’) = T(x,y) l Általában az egyenlet elromlik l Korlátozás: –Pont, szakasz, sokszög alakzat –Pont-, szakasz-, sokszögtartó transzformációk l Eltolás, egybevágósági tr., hasonlósági tr. l Affin transzformációk = –párhuzamos egyeneseket párhuzamos egyenesekbe –Descartes koordinátákban lineáris művelet l Homogén lineáris transzformációk

3 Elemi affin transzformációk l Eltolás: r’ = r + p l Skálázás:x’= S x x; y’= S y y; [x’,y’] = [x,y] S x 0 0 S y Fix pont: origó r’ r

4 Forgatás x = r cos  y = r sin  x’ = r cos(  = r cos  cos  r sin  sin  y’ = r sin(  = r cos  sin  r sin  cos  x’ = r cos(  = x  cos  y  sin  y’ = r sin(  = x  sin  y  cos  [x,y] [x’,y’]   r [x’,y’] = [x, y] cos  sin  -sin  cos  Fix pont: origó

5 Elemi transzformációk l Nyírás:x’= x; y’= y + a x; l Tükrözés: r’ = r 1 a 0 1 r’ = r 1 

6 Más algebrai alap? l Idáig (2D-ben) –Pont = számpár –Eltolás = számpár (vektor) –Elforgatás, skálázás, nyírás, stb. = 2  2-s mátrix l Más lehetőség? –Pont = komplex szám (z) –Eltolás = komplex szám (összeadás): z’ = z + v –Forgatás, skálázás (forgatva nyújtás) = komplex szám (szorzás): z’ = z * f, ahol f = r e iφ

7 Összetett transzformáció l Affin transzformáció: r’ = rA + p –A: lineáris transzformáció l forgatás, skálázás, tükrözés, nyírás, stb. –p : eltolás l Amíg lineáris transzformáció: konkatenáció –r’ = (...(r A 1 ) A 2 )... A n ) = r (A 1 A 2... A n )

8 Homogén koordinátás transzformációk l Eltolás nem fér bele a 2x2-es mátrixba –Dolgozzunk 3x3-as mátrixokkal [r’, 1] = [r, 1] = [r A + p, 1] a 11 a 12 0 a 21 a 22 0 p 1 p 2 1 A p [r’,1] = (...([r,1] T 1 ) T 2 )... T n ) = [r,1] (T 1 T 2... T n )

9 Centrális projekció tárgysík képsík Vetítési középpont Eltűnő egyenes Ideális pontok

10 Euklideszi geometria l Axiómák: –2 pont meghatároz egy egyenest –1 ponton keresztül pontosan 1 egyenes megy át, amely nem metsz egy, a pontra nem illeszkedő másik egyenest (párhuzamosság) l 2 különböző egyenes legfeljebb 1 pontban metszi egymást l centrális projekcióra lyukas (nincsenek ideális pontok) l algebrai alap: Descartes koordináta rendszer

11 Projektív geometria l Foltozgatjuk az euklideszi geometriát –Projektív sík = Euklideszi sík pontjai + ideális pontok –Minden egyeneshez vegyünk hozzá egy ideális pontot úgy, hogy két egyenes akkor és csak akkor kapja u.a. pontot, ha párhuzamos –Az egyenesek halmazát egészítsük ki az ideális pontokat tartalmazó egyenessel l Axiómák –2 pont meghatároz egy egyenest –2 különböző egyenes pontosan 1 pontban metszi egymást l algebrai alap: homogén koordináták

12 Homogén koordináták XhXh YhYh w Homogén Összsúly: h = X h + Y h + w Pont homogén koordinátái: [X h,Y h,h] [0,0,0] nem pont

13 Homogén-Descartes kapcsolat affin pontokra XhXh YhYh w [0,0] [1,0] [0,1] r(X h,Y h,h) = X h [1,0]+Y h [0,1]+w[0,0] h r(X h,Y h,h) = (, ) XhhXhh YhhYhh x = XhhXhh YhhYhh y =

14 Következmények l Minden affin ponthoz van: [X h,Y h,h] – (x, y)  [x, y,1] l Ha h  0, akkor [X h,Y h,h] affin pont (, ) XhhXhh YhhYhh

15 h=0 x y (x,y,1) (2x,2y,1) = (x,y,1/2) (x,y,1/3) (x,y,0)

16 Párhuzamos egyenesek metszéspontja Descartes koordinátákkal a 1 x + b 1 y +c 1 = 0 a 2 x + b 2 y +c 2 = 0 x, yx, y a x + b y + c 1 = 0 a x + b y + c 2 = 0 c 1 - c 2 = 0  nincs megoldás

17 Descartes: a x + by +c = 0 a X h /h + b Y h /h +c = 0, h  0 Homogén:a X h + b Y h +c h = 0 h  0 a X h + b Y h + c 1 h = 0 a X h + b Y h + c 2 h = 0 (c 1 - c 2 ) h = 0  h = 0, X h = b, Y h = -a Párhuzamos egyenesek metszéspontja homogén koordinátákkal [b,-a,0]

18 Pont: (X h,Y h, h) Egyenes: aX h + bY h + ch = 0 l Dualitás: l Az ideális pontok egy egyenesen vannak: h = 0  0X h + 0Y h +1h = 0 [X h,Y h,h]· = 0 abcabc

19 Projektív egyenes paraméteres egyenlete X1X1 Y1Y1 w1w1 [X(t),Y(t),h(t)]=[X 1,Y 1,h 1 ] · t + [X 2,Y 2,h 2 ] · (1-t) Egyenes = két pont kombinációja Szakasz = két pont konvex kombinációja

20 Homogén lineáris transzformációk l Euklideszi sík affin transzformációi: [x’, y’] = [x, y] A + p l Homogén koordináták lineáris függvényei: [X h ’,Y h ’,h’] = [X h,Y h,h] T + p l Homogén lineáris transzformációk bővebbek : a 11 a 12 0 a 21 a 22 0 p 1 p 2 1 T =

21 Homogén lineáris transzformációk tulajdonságai l Pontot-pontba, egyenest-egyenesbe (pontba), konvex kombinációkat, konvex kombinációkba visznek át Példa: egyenest egyenesbe: [X(t),Y(t),h(t)]=[X 1,Y 1,h 1 ] · t + [X 2,Y 2,h 2 ] · (1-t) P(t) = P 1 · t + P 2 · (1-t)// · T P*(t) = P(t) ·T = (P 1 ·T) · t + (P 2 ·T) · (1-t)

22 Példa: Euklideszi geometriában nem lineáris transzformáció 1  0 p 0 1 q [x, y, 1] [x, y, px+qy] x px+qy y px+qy x, y x’, y’ px+qy=1 x/y=x’/y’ és 

23 Veszélyek: átfordulási probléma =Projektív egyenes (topológia) Ideális pont Szakasz ?????

24 A projektív tér, 3D pontok homogén koordinátái YhYh ZhZh w Homogén Összsúly: h = X h + Y h + Z h + w Pont homogén koordinátái: [X h,Y h,Z h,h] XhXh

25 A projektív tér egyenesei és síkjai l Egyenes: l Sík: [X(t),Y(t),Z(t),h(t)]=[X 1,Y 1,Z 1,h 1 ]·t + [X 2,Y 2,Z 2,h 2 ]·(1-t) Euklideszi, Descartes koord: n x x + n y y + n z z + d = 0 Euklideszi, homogén koord: n x X h /h + n y Y h /h + n z Z h /h +d = 0 Projektív: n x X h + n y Y h + n z Z h +d h = 0 [X h,Y h,Z h,h]· = 0 nxnynzdnxnynzd

26 Invertálható homogén lineáris transzformációk síkot síkba visznek át P·N T = 0 T P P* = P·T T -1 (P*·T -1 )·N T = 0 P*·(T -1 ·N T ) = 0 P*·(N · (T -1 ) T ) T = 0 P*·N* T = 0 N*=N · (T -1 ) T Inverz-transzponált

27 Projektív geometria a számítógépes grafikában Világ: Euklideszi tér Projektív tér Kép: Euklideszi tér [x,y,z]  (x, y,z,1) (X h,Y h,Z h,h) ( T 1 T 2... T n ) [,, ] XhhXhh YhhYhh ZhhZhh


Letölteni ppt "Geometriai transzformációk Szirmay-Kalos László. Geometriai transzformációk (x,y) (x’,y’) = T(x,y) l Általában az egyenlet elromlik l Korlátozás: –Pont,"

Hasonló előadás


Google Hirdetések