Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Geometriai Transzformációk Szirmay-Kalos László. Geometriai transzformációk (x,y) (x’,y’) = T(x,y) l Általában az egyenlet elromlik l Korlátozás: –Pont,

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Geometriai Transzformációk Szirmay-Kalos László. Geometriai transzformációk (x,y) (x’,y’) = T(x,y) l Általában az egyenlet elromlik l Korlátozás: –Pont,"— Előadás másolata:

1 Geometriai Transzformációk Szirmay-Kalos László

2 Geometriai transzformációk (x,y) (x’,y’) = T(x,y) l Általában az egyenlet elromlik l Korlátozás: –Pont, szakasz, sokszög alakzat –Pont-, szakasz-, sokszögtartó transzformációk l Affin transzformációk = –párhuzamos egyeneseket párhuzamos egyenesekbe l Homogén lineáris transzformációk

3 Elemi affin transzformációk l Eltolás: r = r + p l Skálázás:x’= S x x; y’= S y y; l Forgatás: r’ = r S x 0 0 S y r’ = r cos  sin  -sin  cos  Fix pont: origó

4 Elemi transzformációk l Nyírás:x’= x; y’= y + a x; l Tükrözés: r’ = r 1 a 0 1 r’ = r 1 

5 Transzformáció fix pontja: pivot point: (xp, yp) Skálázás: x’= S x (x-xp) + xp; y’= S y (y-yp) + yp; Forgatás: x’= (x-xp)*cos  - (y-yp)* sin  + xp; y’= (x-xp)*sin  + (y-yp)* cos  + yp;

6 Összetett transzformáció l Affin transzformáció: r’ = r A + p –A: lineáris transzformáció l forgatás, skálázás, tükrözés, nyírás, stb. –p : eltolás l Amíg lineáris transzformáció: konkatenáció –r’ = (...(r A 1 ) A 2 )... A n ) = r (A 1 A 2... A n )

7 Homogén koordinátás transzformációk l Eltolás nem fér bele a 2x2-es mátrixba –Dolgozzunk 3x3-as mátrixokkal [r’, 1] = [r, 1] = [r A + p, 1] a 11 a 12 0 a 21 a 22 0 p 1 p 2 1 A p [r’,1] = (...([r,1] T 1 ) T 2 )... T n ) = [r,1] (T 1 T 2... T n )

8 Centrális projekció tárgysík képsík Vetítési középpont Eltűnő egyenes Ideális pontok

9 Projektív geometria l Euklideszi geometria l 2 pont meghatároz egy egyenest l 2 különböző egyenes legfeljebb 1 pontban metszi egymást l 1 ponton keresztül pontosan 1 egyenes megy át, amely nem metsz egy, a pontra nem illeszkedő másik egyenest (párhuzamosság) –centrális projekcióra lyukas (ideális pontok) –algebrai alap: Descartes koordináta rendszer l Projektív geometria –Projektív sík = Euklideszi sík pontjai + ideális pontok –Minden egyeneshez vegyünk hozzá egy ideális pontot úgy, hogy két egyenes akkor kapja u.a. pontot, ha párhuzamos –Az egyenesek halmazát egészítsük ki az ideális pontokat tartalmazó egyenessel l 2 pont meghatároz egy egyenest l 2 különböző egyenes pontosan 1 pontban metszi egymást –algebrai alap: homogén koordináták

10 Homogén koordináták XhXh YhYh w Homogén Összsúly: h = X h + Y h + w Pont homogén koordinátái: [X h,Y h,h] [0,0,0] nem pont

11 Homogén-Descartes kapcsolat affin pontokra XhXh YhYh w [0,0] [1,0] [0,1] r(X h,Y h,h) = X h [1,0]+Y h [0,1]+w[0,0] h r(X h,Y h,h) = (, ) XhhXhh YhhYhh x = XhhXhh YhhYhh y =

12 Következmények l Minden affin ponthoz van: [X h,Y h,h] – (x, y)  [x, y,1] l Ha h  0, akkor [X h,Y h,h] affin pont (, ) XhhXhh YhhYhh

13 h=0 x y (x,y,1) (2x,2y,1) = (x,y,1/2) (x,y,1/3) (x,y,0)

14 Párhuzamos egyenesek metszéspontja Descartes koordinátákkal a 1 x + b 1 y +c 1 = 0 a 2 x + b 2 y +c 2 = 0 x, yx, y a x + b y + c 1 = 0 a x + b y + c 2 = 0 c 1 - c 2 = 0  nincs megoldás

15 Descartes: a x + by +c = 0 a X h /h + b Y h /h +c = 0 Homogén:a X h + b Y h +c h = 0 a X h + b Y h + c 1 h = 0 a X h + b Y h + c 2 h = 0 (c 1 - c 2 ) h = 0  h = 0, X h = b, Y h = -a Párhuzamos egyenesek metszéspontja homogén koordinátákkal [b,-a,0]

16 Beágyazott modell [X h,Y h,h] XhXh YhYh h x y 1 [X h,Y h,0] [, ] XhhXhh YhhYhh (x, y ) = [0,0,0] nem pont [X h,Y h,h]·a u.a. pont 3D euklideszi tér 2D projektív sík

17 Projektív egyenes paraméteres egyenlete [X 1,Y 1,h 1 ] XhXh YhYh h [X 2,Y 2,h 2 ] [X(t),Y(t),h(t)]=[X 1,Y 1,h 1 ] · t + [X 2,Y 2,h 2 ] · (1-t) Szakasz: Konvex kombináció!

18 Homogén lineáris transzformációk l Euklideszi sík affin transzformációi: [x’, y’] = [x, y] A + p l Homogén koordináták lineáris függvényei: [X h ’,Y h ’,h’] = [X h,Y h,h] T + p l Homogén lineáris transzformációk bővebbek : a 11 a 12 0 a 21 a 22 0 p 1 p 2 1 T =

19 Homogén lineáris transzformációk tulajdonságai l Pontot-pontba, egyenest-egyenesbe (pontba), konvex kombinációkat, konvex kombinációkba visznek át Példa: egyenest egyenesbe: [X(t),Y(t),h(t)]=[X 1,Y 1,h 1 ] · t + [X 2,Y 2,h 2 ] · (1-t) P(t) = P 1 · t + P 2 · (1-t)// · T P*(t) = P(t) ·T = (P 1 ·T) · t + (P 2 ·T) · (1-t)

20 Példa: Euklideszi geometriában nem lineáris transzformáció 1  0 p 0 1 q [x, y, 1] [x, y, px+qy] x px+qy y px+qy x, y x’, y’ px+qy=1

21 Veszélyek: átfordulási probléma =Projektív egyenes (topológia) Ideális pont Szakasz ?????

22 A projektív tér, 3D pontok homogén koordinátái YhYh ZhZh w Homogén Összsúly: h = X h + Y h + Z h + w Pont homogén koordinátái: [X h,Y h,Z h,h] XhXh

23 A projektív tér egyenesei és síkjai l Egyenes: l Sík: [X(t),Y(t),Z(t),h(t)]=[X 1,Y 1,Z 1,h 1 ]·t + [X 2,Y 2,Z 2,h 2 ]·(1-t) Euklideszi, Descartes koord: n x x + n y y + n z z + d = 0 Euklideszi, homogén koord: n x X h /h + n y Y h /h + n z Z h /h +d = 0 Projektív: n x · X h + n y ·Y h + n z · Z h +d · h = 0 [X h,Y h,Z h,h]· = 0 nxnynzdnxnynzd

24 Invertálható homogén lineáris transzformációk síkot síkba visznek át P·N T = 0 T P P* = P·T T -1 (P*·T -1 )·N T = 0 P*·(T -1 ·N T ) = 0 P*·(N · (T -1 ) T ) T = 0 P*·N* T = 0 N*=N · (T -1 ) T Inverse-transpose

25 Projektív geometria a számítógépes grafikában Világ: Euklideszi tér Projektív tér Kép: Euklideszi tér [x,y,z]  (x, y,z,1) (X h,Y h,Z h,h) ( T 1 T 2... T n ) [,, ] XhhXhh YhhYhh ZhhZhh


Letölteni ppt "Geometriai Transzformációk Szirmay-Kalos László. Geometriai transzformációk (x,y) (x’,y’) = T(x,y) l Általában az egyenlet elromlik l Korlátozás: –Pont,"

Hasonló előadás


Google Hirdetések