Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Geometriai modellezés Szirmay-Kalos László. Számítógépes grafika elemei l modellezés l virtuális világ l képszintézis.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Geometriai modellezés Szirmay-Kalos László. Számítógépes grafika elemei l modellezés l virtuális világ l képszintézis."— Előadás másolata:

1 Geometriai modellezés Szirmay-Kalos László

2 Számítógépes grafika elemei l modellezés l virtuális világ l képszintézis

3 Modellezés feladatai l Geometria megadása –pont, görbe, terület, felület, test, fraktálok l Transzformációk –lokális modellezési és világkoordináta rendszer l Színek, felületi optikai tulajdonságok

4 Pontok megadása l Mindent számmal! –Koordináta rendszer –Koordináták megadása l Koordináta rendszerek –Descartes –Polár –Homogén

5 Koordináta rendszerek x y r  XhXh YhYh w Descartes eltolás Polár elforgatás Baricentrikus Homogén vetítés 1 1 1

6 Görbék = pontok halmaza Koordinátáik (helyvektoraik) kielégítenek egy egyenletet : –implicit: f(x, y) = 0, f(r) = 0 l 2D egyenes: ax + by + c = 0, n  (r – r 0 ) = 0 l Kör: (x–x 0 ) 2 + (y–y 0 ) 2 –R 2 = 0,|r – r 0 | 2 – R 2 = 0 –paraméteres: x = x(t), y = y(t), r = r(t) 2D egyenes: t  [-∞,∞] x(t) = x 0 + v x t,r = r 0 + v t y(t) = y 0 + v y t, Kör:t  [0,1] x(t) = x 0 + R cos 2  tr = r 0 + R(cos 2  t, sin 2  t) y(t) = y 0 + R sin 2  t

7 Szabadformájú görbék l Definíció kontrolpontokkal Polinom: x(t) =  a i t i, y(t) =  b i t i l A polinomegyütthatók származtatása: – Interpoláció – Approximáció

8 Lagrange interpoláció l Kontrolpontok: r 1, r 2, r 3,..., r n Keressük azt az r(t) =  [a i, b i ] t i -t amelyre r(t 1 ) = r 1, r(t 2 ) = r 2, …, r(t n ) = r n, l Megoldás: – r(t) =  L i (t) r i L i (t) =  j  i ( t-t j )  j  i ( t i -t j )

9 Lagrange interpoláció bázisfüggvényei r(t) =  L i (t) r i L i (t) =  j  i ( t-t j )  j  i ( t i -t j )

10 Görbeszerkesztés Lagrange interpolációval

11 Bezier approximáció Keresett görbe: r(t) =  B i (t) r i –B i (t): ne okozzon nem indokolt hullámokat –Konvex burok tulajdonság –B i (t)  0,  B i (t) = 1 r3r3 r1r1 r2r2 r4r4 B1(t)B1(t) B2(t)B2(t) B3(t)B3(t) B4(t)B4(t) r(t)r(t)

12 Bezier approximáció bázisfüggvényei B i (t) = t i ( 1-t) n-i ( )( ) n i r(t) =  B i (t) r i Bernstein polinomok n = 3

13 BezierCurve class BezierCurve { Vector * p; int np; public: BezierCurve2D(int n) { np= n; p= new Vector[np+1];} float B(int i, float t) { float choose = 1; for(int j = 1; j <= i; j++) choose *= (float)(np-j)/j; return choose * pow(t, i) * pow(1-t,np-i); } Vector r(float t) { Vector rr(0, 0); for(int i = 0; i <= np; i++) rr += p[i] * B(i,t); return rr; } };

14 Bonyolult görbék l Nagyon magas fokszámú polinom l Összetett görbék: –Több alacsony fokszámú + folytonos illesztés –folytonossági kategóriák G 0 = C 0 G0G0 C 0 : r 1 (t veg ) = r 2 (t kezd ) C 1 : r 1 ‘ (t veg ) = r 2 ‘ (t kezd ) G1G1 C 2 : r 1 ‘‘ (t veg ) = r 2 ‘‘ (t kezd ) C 1  G 1

15 Spline l Spline: C 2 folytonos összetett görbe – Harmadfokú spline – B-spline

16 Harmadfokú spline l p(t) = a 3 t 3 + a 2 t 2 + a 1 t 1 + a 0 l Új szemléletes reprezentáció: p(0) = a 0 p(1) = a 3 + a 2 + a 1 + a 0 p’(0) = a 1 p’(1) = 3a 3 + 2a 2 + a 1 l C 1 folytonosság: 2 paraméter közös l C 2 folytonosság: p i ’’(1) = p i+1 ’’(0) p i (0) p i (1) p i ’(0) p i ’(1) P i+1 (0) P i+1 ’(0)

17 B-spline l Válasszunk olyan reprezentációt, amely C 2 folytonos, ha 3-t közösen birtokolnak l Reprezentáció: vezérlőpontok r i (t) = B 0 (t)r 0 + B 1 (t)r 1 + B 2 (t)r 2 + B 3 (t)r 3 r i+1 (t) = B 0 (t)r 1 + B 1 (t)r 2 + B 2 (t)r 3 + B 3 (t)r 4

18 B-spline bázisfüggvények l Cirkuszi elefántok + Járulékos szempont:  B i (t) = 1 B 0 (t) = ( 1-t) 3 /6 B 1 (t) = (1+3 ( 1-t)+3t ( 1-t) 2 ) /6 B 2 (t) = (1+3t+3 ( 1-t)t 2 ) /6 B 3 (t) = t 3 /

19 B-spline görbeszegmens B 0 (t) = ( 1-t) 3 /6 B 1 (t) = (1+3 ( 1-t)+3t ( 1-t) 2 ) /6 B 2 (t) = (1+3t+3 ( 1-t)t 2 ) /6 B 3 (t) = t 3 / konvex burok tulajdonság

20 A B-spline lokálisan vezérelhető

21 NUBS: Non-Uniform B-spline l B-spline –minden szegmens 1 hosszú paramétertartomány –Akkor megy át a kontrol ponton, ha három egymás követő kontrolpont egymásra illeszkedik l NUBS –az i. szegmens t i -től t i+1 -ig. –Egy kontrolpont többször is számíthat: l A legalább 3-szoros pontokon a görbe átmegy

22 NUBS rekurzív konstrukciója t0t0 t1t1 t2t2 t3t3 t4t4 Cox-deBoor algoritmus

23 NUBS konstrukció

24 NUBS program B(i, k, t) {// 0/0 = 1. if (k == 1) { if (t[i] <= t < t[i+1]) return 1; else return 0; } else return ( ( t - t[i] ) * B(i, k-1, t ) / ( t[i+k-1] - t[i] ) + (t[i+k] - t) * B(i+1, k-1, t) / ( t[i+k] - t[i+1] ) ); } NUBS(k, t) { Vector r(0, 0); for(i = 0; i < n; i++) r += r[i] * B(i, k, t); return r; } r[i]: n db. Vezérlőpont t[i]: n+k db. csomópont Fokszám = k-1 Hasznos: t[k]-t[n+1]  B i (t) r i

25 Végpontokon átmenő NUBS n=5 k=4 (harmadfokú) t = [0,0,0,0,1,2,2,2,2] Tartomány: [0,2]

26 B-Spline mint NUBS n=4 k=4 (harmadfokú) t = [-3,-2,-1,0,1,2,3,4] Tartomány: [0, 1]

27 Bézier görbe mint NUBS n=4 k=4 (harmadfokú) t = [0,0,0,0,1,1,1,1] Tartomány: [0, 1]

28 NUBS rendszám

29 Idáig: Nem racionális B-spline r3r3 r1r1 r2r2 r4r4 B1(t)B1(t) B2(t)B2(t) B3(t)B3(t) B4(t)B4(t) r(t)r(t) Idáig a súlyfüggvények:  B i (t) = 1 Súlypont:  (B i (t) r i ) r(t) = =  B i (t) r i  B i (t) Polinom!

30 NURBS: Non-uniform Rational B-spline r1r1 r2r2 r4r4 w1B1(t)w1B1(t) w2B2(t)w2B2(t) w3B3(t)w3B3(t) w4B4(t)w4B4(t) r(t)r(t)  (w i B i (t) r i ) r(t) = =  r i  w j B j (t) Polinom tört! racionális wiBi(t)wiBi(t)  w j B j (t) Bi*(t)Bi*(t)

31 NURBS súly w=1 w=2 w=3 w=1

32 Területek Határ + belső tartományok azonosítása Belső tartományok:

33 Felületek l Felület 3D pontok halmaza: –koordinátáik kielégítenek egy egyenletet –implicit: f(x, y, z) = 0 l gömb:(x - x0) 2 + (y - y0) 2 + (z - z0) 2 - r 2 = 0 –paraméteres: x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), u,v  [0,1] gömb:x = x0 + r cos 2  u sin  v y = y0 + r sin 2  u sin  v z = z0 + r cos  v u,v  [0,1] l Klasszikus felületek –definíció = paraméterek megadása

34 Kvadratikus felületek l x T A x = 0x T = [x, y, z, 1] l A koordináták legfeljebb másodfokon l gömb, ellipszoid, sík, paraboloid, hiperboloid, hengerfelület,...  +  +  -1=0 Ellipszoid x 2 y 2 z 2 a 2 b 2 c 2  +  - z 2 =0 Végtelen kúp x 2 y 2 a 2 b 2 Végtelen henger x 2 y 2 a 2 b 2  +  - 1 =0

35 Szabadformájú felületek: r(u,v) l Definíció kontrolpontokkal r(u,v) = r v (u) =  B i (u) r i (v) r i (v) =  B j (v) r i,j r(u,v) =   B i (u) B j (v) r i,j

36 Szabadformájú felületek l 2D kontrolpont sereg: szorzatfelületek r(u,v) =   B i,j (u,v) r i, j =   B i (u) B j (v) r i, j Súlyfüggények: Interpoláció, Approximáció

37 Vezérlőpontok, súlyok módosítása

38 Vezérlőpontcsoportok módosítása

39 Szobrászkodás szabadformájú felületekkel

40

41 Felületmodellezés mint Poligonháló módosítás

42 Felosztásos (subdivision) módszerek = 1/2 + 1/4 

43 = 1/2 + 1/16  + 1/16  Subdivision felületek (Catmull-Clark) = 1/4  = 1/4  + 1/4 

44 Durva poligon modell

45 Subdivision simítás: 1 szint

46 Subdivision simítás: 2. szint

47 Testek l Ellenpéldák l Érvényes testek: reguláris halmaz –nem lehetnek alacsony dimenziós elfajulásai –minden határpont mellett van belső pont l Garantáltan érvényes testet építő módszerek –2.5 dimenziós eljárások –speciális felületi modellezés: B-rep –Konstruktív tömörtest geometria

48 2.5 dimenziós módszerek Kihúzás: extrudeForgatás: rotate

49 Felületmodellezők l Test = határfelületek gyűjteménye l Topológiai ellenőrzés (Euler tétel): csúcs + lap = él + 2

50 B-rep: Euler operátorok

51 Implementáció class BRepCore { … public: void MEVVF(…); void MVE(float t, Edge& e); void MEF(Vertex& v1,Vertex& v2); void Move(Vertex& v, Vector p); }; class BRep : BRepCore { void FaceExtrude( ); void FaceSplit( ); void EdgeCollapse( ); void VertexSplit( ); … }; él Pont +(x,y) lap

52 Gyakorlati Euler operátorok l Face extrude l Face split l Edge Collapse l Vertex split

53 Poligon modellezés: téglatest

54 Poligon modellezés: 1. extruding

55 Poligon modellezés: 2. extruding

56 Poligon modellezés: 4. és 5. extruding

57 Poligon modellezés: 6. extruding

58 Subdivision simítás

59 Poligon modellezés


Letölteni ppt "Geometriai modellezés Szirmay-Kalos László. Számítógépes grafika elemei l modellezés l virtuális világ l képszintézis."

Hasonló előadás


Google Hirdetések