Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Húrnégyszögek Ptolemaiosz tétele Markó Zoltán 11.C D A B C a b c d f e.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Húrnégyszögek Ptolemaiosz tétele Markó Zoltán 11.C D A B C a b c d f e."— Előadás másolata:

1 Húrnégyszögek Ptolemaiosz tétele Markó Zoltán 11.C D A B C a b c d f e

2 A húrnégyszögek Olyan négyszög, D A B C a b c d f e Érvényes a húrnégyszögek tétele - amely köré kör írható - melynek oldalai egy kör húrjai

3 Húrnégyszögek tétele Bizonyítás: kerületi és középponti szögek tételével: D A B C a b c d kerületi szögek; középponti szögek. A tétel megfordítása is bizonyíthatóan igaz.

4 Húrnégyszög kerülete, területe Terület meghatározása: D A B C a b c d f Koszinusztétel:

5 Az egyenletek jobb oldalát egyenlővé téve, és kihasználva, hogy: D A B C a b c d f Tehát: Rendezve -ra:

6 D A B C a b c d f A húrnégyszög T területe: Vagyis:

7 D A B C a b c d f A kapott képletet - ra rendezve: Négyzetre emelve (1)-et és (2)-t: Mivel :

8 Az egyenletet rendezzük -re:

9 Kaptuk tehát, hogy: A húrnégyszög félkerülete: Ezt beírva az egyenletbe: 16-tal osztva, és négyzetgyököt vonva: Ez a húrnégyszög területképlete.

10 Klaudiosz Ptolemaiosz Kr. u. 87-ben született, Felső-Egyiptomban Alexandriában dolgozott „Térképészet atyja” Művei: - Nagy Hadrend - Földrajzi tanítás Kr. u. 160-ban halt meg

11 Ptolemaiosz tétele Egy húrnégyszög átlóinak szorzata megegyezik a szemközti oldalak szorzatának összegével: D A B C a b c d f e

12 A tétel bizonyítása D A B C a b c d f e Vegyünk fel az AC átlón egy E pontot, melyre: E Ugyanakkor:

13 A tétel bizonyítása D A B C a b c d f e E Az előzőekhez hasonlóan: Valamint:

14 Összeadva az (1) és (2) egyenleteket: D A B C a b c d f e Vagyis az ábra megfelelő jelöléseivel: Bizonyíthatóan igaz a tétel megfordítása is.

15 Ptolemaiosz tételének alkalmazása egy bizonyításban ABCD húrnégyszögben: A B C D O r r r r Thalész tételéből: kerületi szögek középponti szögek

16 Felírva a hegyesszögek szögfüggvényeit: A B C O r r r r D -ben általános szinusztétel: Írjuk fel Ptolemaiosz tételét!

17 A B C O r r r r D Behelyettesítve az oldalak hosszára kapott kifejezéseket: -tel osztva, és átrendezve: Ez nem más, mint egy addíciós tétel.

18 Zárás Ptolemaiosz tétele más feladatokban is sikeresen alkalmazható, és egyes esetekben a feladatmegoldást is egyszerűbbé teszi. Markó Zoltán 11.C Források: Matematikai Versenytételek, D A B C a b c d f e


Letölteni ppt "Húrnégyszögek Ptolemaiosz tétele Markó Zoltán 11.C D A B C a b c d f e."

Hasonló előadás


Google Hirdetések