Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Eseményalgebra, kombinatorika. Eseményalgebra Definíció. Véletlen kísérletnek nevezünk minden olyan megfigyelést, melynek több kimenetele lehetséges,

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Eseményalgebra, kombinatorika. Eseményalgebra Definíció. Véletlen kísérletnek nevezünk minden olyan megfigyelést, melynek több kimenetele lehetséges,"— Előadás másolata:

1 Eseményalgebra, kombinatorika

2 Eseményalgebra Definíció. Véletlen kísérletnek nevezünk minden olyan megfigyelést, melynek több kimenetele lehetséges, és a véletlentől függ, (azaz az általunk figyelembevett feltételek nem határozzák meg egyértelműen), hogy a lehetséges kimenetelek közül melyik következik be. Definíció. A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek, az elemi események halmazát pedig eseménytérnek nevezzük. Az eseményteret  -val, az elemi eseményeket pedig  -val jelöljük. Példa:Kockadobás két különböző kockával  = {(i, j) : 1  i, j  6}

3 Eseményalgebra Definíció. A véletlen esemény az  eseménytér egy részhalmaza. Egy esemény akkor következik be, ha a kísérlet során adódó elemi esemény a szóban forgó részhalmaz eleme. Példa: Két különböző kockával történő kockadobás esetén legyen az A esemény az, hogy a dobásösszeg nem nagyobb, mint 6. Ekkor A = {(i, j): i + j  6}. Az eseményeket általában A, B, C,... betűkkel fogjuk jelölni. Definíció. Biztos esemény az az esemény, amely a kísérlet kimenetelétől függetlenül mindig bekövetkezik. Nyilván a biztos esemény megfelel az  halmaznak, ezért a biztos eseményt is szokás  -val jelölni. Lehetetlen esemény (  ) az az esemény, amely a kísérlet kimenetelétől függetlenül sohasem következik be. Az A esemény ellentett eseménye (vagy komplementer eseménye) az az esemény, amely akkor és csak akkor következik be, ha A nem.

4 Műveletek események között Definíció. Az A és B események összege az A + B-vel jelölt esemény, amely akkor és csak akkor következik be, ha A és B közül legalább az egyik bekövetkezik. Az A és B események szorzata az A·B-vel jelölt esemény, amely akkor és csak akkor következik be, ha A is és B is bekövetkezik. Az A és B események különbsége az A - B-vel jelölt esemény, amely akkor és csak akkor következik be ha A bekövetkezik, de B nem. Az A és B események egymást kizárják, ha A·B = . Az események teljes eseményrendszert alkotnak, ha  (i = 1, 2,..., n,...) és 1./ , ha i  j, továbbá 2./

5 Kombinatorika A kombinatorika a véges halmazok elméletével foglalkozik. Az általunk vizsgált problémák két fő területre oszthatók: 1./különböző sorrendben való elhelyezés, 2./különböző módon való kiválogatás. Az első kérdéskör a permutációk, a második a kombinációk, a kettő együtt pedig a variációk témaköréhez vezet.

6 Permutációk Ismétlés nélküli permutációk Definíció. Adott n db különböző elem. Ezen elemek egy lehetséges sorrendjét az n elem egy permutációjánaknak nevezzük. Tétel. n különböző elem összes lehetséges permutációinak száma: = n! Példa: 1./A 0, 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek felhasználásával hány olyan hatjegyű számot írhatunk fel, amelyben minden számjegy csak egyszer fordul első? 2./Tíz regény közül az egyik háromkötetes, a többi egykötetes. Hányféleképpen tehetjük fel a könyveket a könyvespolcra, ha a háromkötetes regény könyveinek egymás mellett kell lenniük? 3./10 házaspárt szeretnénk leültetni egy egyenes asztal mellé. Hányféle sorrend lehetséges, ha a házaspárok egymás mellett ülnek?

7 Ismétléses permutációk Definíció. Az olyan permutációt, amelyben a permutálandó elemek között egyenlők is vannak ismétléses permutációknak nevezzük. Tétel. Ha n elemből k egyenlő, a többi pedig ezektől és egymástól is különböző, akkor ezen elemek ismétléses permutációinak a száma: Általánosan: Ha n elemből k egyenlő, majd újabb l egyenlő, melyek az előzőektől különböznek, stb., akkor ezen elemek ismétléses permutációinak a száma: Tétel. Példa: 1./ Határozzuk meg az 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4 elemek permutációinak számát! Ezek között hány olyan van, amelyben az első helyen a 2-es számjegy áll? 2./ Hány hatjegyű páros szám alkotható a 2, 2, 3, 5, 6, 6 számjegyekből? 3./ Hányféleképpen tölthetünk ki egy TOTÓ szelvényt - ha 13 mérkőzésre tippelünk - úgy, hogy 8 darab 1-es, 2 darab x-es és 3 darab 2-es tipp legyen rajta?

8 Variációk Ismétlés nélküli variációk Definíció. Legyen adott n különböző elem. Válasszunk ki közülük k darabot (k  n) és képezzük ezek egy permutációját. Ezt n elem k-ad osztályú variációjának nevezzük. Tétel. n különböző elem k-ad osztályú variációinak a száma: Példa: 1./Hány olyan ötjegyű szám van amelynek számjegyei különbözőek? 2./Hány 5-tel osztható ötjegyű számot írhatunk fel a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 számjegyek felhasználásával?

9 Ismétléses variációk Definíció. Legyen adott n különböző elem. Ha ezen elemek k-d osztályú variációinak képzésénél egy elemet nemcsak egyszer, hanem többször is kiválaszthatunk, akkor az ily módon nyert variációt n elem k-ad osztályú ismétléses variációjának nevezzük. Tétel. n különböző elem k-ad osztályú ismétléses variációinak a száma: Példa: 1./Hány olyan negyedosztályú ismétléses variáció készíthető az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 számjegyek felhasználásával, melynek első jegye 1-es? 2./ Hány ötjegyű szám írható fel a 0, 1, 2 számjegyek felhasználásával? 3./Hányféleképpen lehet különböző módon kitölteni egy egyhasábos TOTO szelvényt?

10 Kombinációk Ismétlés nélküli kombinációk Definíció. Ha n különböző elemből kiválasztunk k darabot oly módon, hogy a kiválasztott elemek sorrendjére nem vagyunk kíváncsiak, n elem k-ad osztályú kombinációjáról beszélünk. Tétel. n elem k-ad osztályú kombinációinak a száma: Példa: 1./ A „ hatos ”, vagy az „ ötös ” LOTTÓ szelvényből kell többet különböző módon kitölteni, hogy biztosan legyen egy hatos, vagy egy ötös találatunk? 2./ A 32 lapos magyar kártyából kiválasztunk 10 lapot. Hányféleképpen fordulhat elő ilyen kiosztásban, hogy a 4 ász a 10 lap között legyen?

11 Ismétléses kombinációk Definíció. Ha n különböző elem k-d osztályú kombinációit úgy képezzük, hogy az elemeket többször is, mégpedig akárhányszor felhasználhatjuk, akkor ismétléses kombinációkat kapunk. Tétel. n különböző elem k-d osztályú ismétléses kombinációinak a száma: Példa: 1./Egy gyerek 5 különböző fagylaltból választhat egy háromgombócos adagot. Hányféle lehetősége van a választásra? A tölcsérben a gombócok sorrendjére nem vagyunk tekintettel. 2./Hányféleképpen választhatunk ki a magyar kártyából 5 lapot, ha csak a színeket vesszük figyelembe?

12 Gyakorló feladatok 1./ A 0, 1, 2, 3, 4 számjegyekből hány ötjegyű szám készíthető, ha minden számjegyet csak egyszer használunk fel? Ezek között hány olyan szám van, amelyben a 0 a második helyen szerepel? 2./Hány olyan permutációja van az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 elemeknek, amelyben az első három helyet a 6, 7, 8 elemek foglalják el valamilyen sorrendben, s az utolsó helyen az 5-ös áll? 3./Egy 34 fős szervezet 5-tagú vezetőséget választ: 1 titkárt és 4 vezetőségi tagot. Hányféle kimenetele lehet a választásnak? (A titkárt a vezetőségi tagoktól megkülönböztetjük, da a 4 vezetőségi tag között nem teszünk különbséget.) 4./Egy páncélszekrény 6 egymás mögötti tárcsa megfelelő beállításakor nyitható ki. A tárcsák 9 számjegyet tartalmaznak, amelyekből egyet kell beállítanunk. Ha valaki nem ismeri a megfelelő számkombinációt, mennyi időt vesz igénybe, amíg biztosan ki tudja nyitni a szekrényt, ha egy beállítás 5 másodpercig tart? 5./Egy pályázatra 10 pályamunka érkezett, és 6 egyenlő díj van. Hányféleképpen lehet a díjakat kiadni, ha a díjak felezése, vagy megosztása tilos?

13 Gyakorló feladatok 6./100 csavar közül, amelyek között 10 darab selejtes, kiválasztunk 5-öt. a./Hányféleképpen lehetséges ez? b./Hány olyan eset van, amelyben a kiválasztottak mind 1hibátlan csavarok? c./Hány olyan választás létezik, amelyben 3 csavar jó és 2 selejtes? 7./Egy futóversenyen 14 futó vesz részt. a./Hány különböző befutási sorrend lehetséges? b./Hány olyan különböző befutási sorrend lehetséges, amelyben két kiszemelt versenyző valamilyen sorrendben, de az első két helyen ér célba? 8./Egy szabályos dobókockát kétszer feldobva egymás után hány esetben fordulhat elő, hogy a a./dobott számok összege 6? b./dobott számok összege legalább 7? c./dobott számok összege legfeljebb 6?


Letölteni ppt "Eseményalgebra, kombinatorika. Eseményalgebra Definíció. Véletlen kísérletnek nevezünk minden olyan megfigyelést, melynek több kimenetele lehetséges,"

Hasonló előadás


Google Hirdetések