Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

1 Sorozatok Készítette: Dr. Ábrahám István A diasorozat az Analízis 1. (Mozaik Kiadó 2005.) c. könyvhöz készült.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "1 Sorozatok Készítette: Dr. Ábrahám István A diasorozat az Analízis 1. (Mozaik Kiadó 2005.) c. könyvhöz készült."— Előadás másolata:

1 1 Sorozatok Készítette: Dr. Ábrahám István A diasorozat az Analízis 1. (Mozaik Kiadó 2005.) c. könyvhöz készült.

2 2 Az ún. felsőbb matematika egyik alapfogalma, a határérték viszonylag könnyen megérthető a számsorozatok tanulmányozásával. A sorozat: valós számok egymásutánja. Például : A matematikában használatos a sorozat szó akkor is, amikor az elemek nem valós számok (algebrai kifejezések, függvények, stb.). Mi most csak valós számsorozatokkal foglalkozunk. A sorozatot mindig végtelen sok elemből állónak értelmezzük. A végessok elemű sorozat az általános értelemben vett, tehát a végtelen sorozat része. A sorozat megadása Sorozatot megadni csak a sorozatképzés szabályának közlésével lehetséges! Végtelen sok elemet egymás után leírni (kimondani, feltüntetni) ugyanis lehetetlen, ehhez végtelen sok időre lenne szükség, tehát csak szabállyal tudunk sorozatot megadni! A sorozat megadható: 1. Szóbeli közléssel Például : A sorozatot az egész számok négyzetei alkotják. Ennek a sorozatnak az „eleje”: (0, 1, 4, 9, 16,…) 2. A sorozat egy részének konkrét megadásával Olyan részletet adunk meg a sorozatból, amelyen a szabályosság látszik, amely szerint folytatni tudnánk a többi elem felvételét. Például: (0; 2; 4; 6; 8,…). A felsorolás az egyes elemek megadásával is történhet: a 1 =0, a 2 =2, a 3 =4 és így tovább.

3 3 3. Képlettel Például a (0; 2; 4; 6; 8,…) sorozat megadható így is: a 1 =0 és a n =a n „A sorozat első tagja 0 és bármelyik tagot megkapjuk, ha az előtte lévőhöz 2-t adunk.” Ez a sorozat rekurzív („visszafutó”) megadási módja. (Viszonylag ritkán használjuk.) Direkt képlet: a sorozat minden egyes tagjának értékét közvetlenül a tag sorszámával adjuk meg. Például a (0, 2, 4, 6, 8, …) sorozat esetén az általános tag a direkt képlettel: a n =2n–2, ahol n  N +. Vagy az sorozat általános eleme: A későbbiekben az n mindig pozitív egész, ezt külön nem jelöljük. Megjegyzések: 1. Ha csak an an -t írunk, akkor egyetlen számot, a sorozatnak egyik (n értékétől függően bármelyik) tagját, az általános elemet adjuk meg. Például : az (1, 4, 9, 16, …) sorozat általános eleme: a n =n 2. Ha a sorozat egészéről van szó, akkor a jelölésünk: (n 2 ), vagy (a n =n 2 ), vagy (a n ). Ha viszont ennek a sorozatnak egy részéről beszélünk, például a (4, 9, 16, 25, 36) ötelemű részsorozatról, akkor ezt így jelöljük: 2. A matematikában élesen megkülönböztetjük a sorozat és a sor kifejezéseket. Sorozat a számok egymásutánja. A sor formálisan az elemek összegét jelenti.

4 4 Például : az egy sorozat, amelynek általános eleme: Viszont az egy sor! A sorokkal a fejezet végén foglalkozunk. A sorozatok jellemzői 1. Monotonítás A monotonitás a sorozat tagjai között állandó, azonos jellegű nagyságviszonyt jelent. Például azsorozat minden tagja kisebb, mint az előtte lévő. Egy sorozat szigorúan monoton csökkenő, ha minden tagra: a n+1 < an.an. A sorozat szigorúan monoton növekvő, ha minden tagra: a n+1 > an.an. Példa : Az (a n )=(n 2 )=(1, 4, 9, 16,…) sorozat szigorúan monoton növekvő. Vannak olyan sorozatok, ahol az „azonos jellegű nagyságviszony” egyenlőség is lehet. Példa: = (0, 0, 1, 2, 3,…). (A sorozat tagjai: az n/3 szám egész része, azaz entier (antyié) n/3.) A fenti sorozat monoton növekvő, tehát ekkor: a n+1  an.an. Létezik monoton csökkenő sorozat is, például: (b n )=(–a n )=( 0, –1, –2, …).

5 5 Megjegyzések A csupa azonos számból álló sorozatot (ilyen is van!) egyszerre monoton növekvőnek és csökkenőnek mondjuk. A monotonitás a sorozat minden tagja közötti azonos jellegű nagyságviszonyt jelenti. Ha ez nem áll fenn, akkor a sorozat nem monoton. Például az an an =sin(n·1 o ) (a sorozat általános tagja: „szinusz n-szer egy fok”) nem monoton. Ugyanis sorozat első 90 eleme a szigorúan monoton növekvő jellegű, de a következő 180 tagra a csökkenés érvényes. A szakaszonként más utasítással megadott („összefésült”) sorozat lehet monoton is, de lehet nem monoton is. Például: azáltalános elemű sorozat monoton növekvő. Ugyanakkor a általános tagú sorozat nem monoton. Hiszen: (b n )=(– 1/2, –1, 1, 1, 1/2, 1/3,…) Igaz viszont, hogy az sorozat szigorúan monoton csökkenő. De a teljes (b n ) sorozatra nem érvényes az „azonos jellegű nagyságviszony” feltétel. Így a (b n ) sorozat összességében nem monoton.

6 6 A monotonitás vizsgálata Tagadó értelemben egyszerű a dolgunk: ha akár egyetlen esetben találunk kivételt a tagok között az „azonos jellegű nagyságviszony” feltételre, akkor a sorozat nem monoton. A vizsgálatban az általános tag és a közvetlen szomszédja viszonyát nézzük meg. Például: azáltalános tagú sorozat esetén: Gyanítható a kiszámolt értékekből, hogy a sorozat növekvő. Vizsgáljuk általában az egymást követő tagokat: Az n+1-edik tagot kiszámoljuk:így a reláció: Átalakítások után (szorzás, egyszerűsítés) kapjuk: 9>4, ami biztosan igaz. Így a kezdeti kérdőjeles reláció is biztosan igaz, mert az ekvivalens a 9>4 relációval. Tehát a n+1 >a n minden n-re, azaz a sorozat szigorúan monoton nő. A monotonitás vizsgálható az a n – a n-1 különbséggel is. Ha ez pozitív minden n-re, akkor a sorozat szigorúan monoton nő, ha negatív, akkor sz. m. csökkenő. Pozitív tagú sorozatoknál az a n+1 és az a n hányadosával is vizsgálható a monotonitás. Ha a hányados nagyobb 1-nél, akkor növekvő, ha kisebb, akkor csökkenő a sorozat.

7 7 2. Korlátosság Ha a sorozat minden eleme két szám között található, akkor a sorozat korlátos. Például azáltalános tag esetén: sorozat minden eleme 0 és 1 közé esik. Így ez a sorozat korlátos. Emlékeztető: a sorozat maga: Ez most így is jelölhetjük: az alsó korlát: K a =0, a felső: Kf Kf =1. Ha a sorozat korlátos, akkor végtelen sok korlátja van, hiszen minden, az alsó korlátnál kisebb szám is alsó korlát, és minden a felső korlátnál nagyobb szám pedig felső korlát. Elnevezés: egy adott sorozatnál a felső korlátok közül a létező legkisebbet felső határnak vagy pontos felső korlátnak nevezzük. Hasonlóan: az alsó korlátok közül a létező legnagyobbat alsó határnak vagy pontos alsó korlátnak nevezzük. A későbbiekben korláton a pontos alsó, illetve felső korlátot értjük, ha külön másként nem fogalmazunk. A sorozatokat vizsgálni szoktuk korlátosság szempontjából is, ezt viszont általában célszerű összekötni a konvergencia vizsgálattal.

8 8 3. Konvergencia „Konvergencia: összetart, közös cél felé halad.” A sorozatok közül néhánynál észre vehetjük, hogy a tagok egy vagy több szám körül sűrűsödnek, torlódnak, konvergálnak. Például: az sorozat tagjai n növelésével egyre közelebb kerülnek a nullához. A konvergencia, a sorozat határértéke fogalmának megértéséhez előkészületeket teszünk. Környezet Egy A szám  (epszilon) sugarú környezetén értjük azokat a számokat, amelyeknek eltérése (a számegyenesen a távolságuk) A-tól kisebb, mint . ( ( >0, az  távolság.) Például: az A=8-nak  =4 sugarú környezetébe tartozik az egész számok közül az 5, 6; 7 és a 9; 10, 11. A valós számkörben viszont minden olyan x szám beletartozik ebbe a környezetbe, amely 8-4=4-nél nagyobb, és 8+4=12-nél kisebb. Jelölések: felírható 4 és 12 közötti x-ekre: x  ]8-ε; 8+ε[, ahol ε=4. Ugyanez másképpen: 8-ε< x <8+ε Illetve ugyanez újabb más alakban: |x–8|< ε. Mindegyik írásmód azt fejezi ki, hogy az x-ek eltérése 8-tól kisebb, mint ε= 4. Definíció: az A szám ε > 0 környezetébe azok az x számok tartoznak, amelyekre: |x–A|< ε.

9 9 Torlódási pont Az (a n ) sorozatnak a T szám torlódási pontja, ha a T tetszőlegesen kicsi ε sugarú környezetében a sorozatnak végtelen sok eleme van. Például: az sorozatnak a 0 torlódási pontja. Ugyanis bármilyen kicsi ε értéket adunk meg, a sorozatnak végtelen sok eleme lesz a 0 ε su- garú környezetében. Más példa: a (b n )=((-1) n )=(-1, 1, -1,…) sorozatnak két torlódási pontja van, a –1 és a 1. Hiszen e két szám akármilyen kicsi környezetében végtelen sok elem (–1, vagy 1) található. Vagy: a (c n )=(n 2 ) sorozatnak nincs torlódási pontja. Lehet olyan ε értéket találni, hogy egyetlen szám ε környezetében sincs végtelen sok elem. A korlátosság és a torlódási pont létezése között szoros kapcsolat van. Ezt mutatja a: Bolzano-Weierstrass tétel: korlátos sorozatnak mindig van legalább 1 torlódási pontja. A bizonyítás alapgondolata: Ha az (a n ) korlátos, akkor minden eleme két korlát, a K a és a K f között található. A két korlát által meghatározott intervallumot megfelezzük és azt a részt, amelyben a soro- zatnak végtelen sok eleme van, újra felezzük és így tovább. A felezgetést (elvileg) „végtelenszer” megismételjük, ekkor a végtelen sok elemet tartalmazó Intervallum ponttá zsugorodik, ez a torlódási pont.

10 10 A határérték Elnevezés: ha egy korlátos sorozatnak egyetlen torlódási pontja van, akkor azt a torlódási pontot határértéknek nevezzük. Példa: sorozat konvergens, mert korlátos, és egyetlen torlódási pontja van, a 0. De a (b n )=((–1) n ) sorozat nem konvergens, mert bár korlátos, de két torlódási pontja van, a –1 és a 1. Valamint: a (c n )=(n 2 ) sorozat nem konvergens, mert nem korlátos, hiszen bármilyen nagy tagjánál van nagyobb eleme és torlódási pontja sincs. A nem konvergens sorozatot divergensnek nevezzük. A konvergencia jelölése : lim a n =A. (Az A a határérték.) Például : Más jelölés: (a n )  A, vagy egyszerűen: a n  A. Például:Vagy: (A lim a latin limes (határ) szó rövidítése.) A sorozat határértékének kiszámolásához a fenti meghatározást nem tudjuk kihasználni. Definíció : az (a n ) sorozat határértéke az A szám, ha az A tetszőleges kicsiny környe- zetén belül a sorozatnak végtelen sok eleme van, a környezeten kívül pedig véges sok az elemek száma. A definícióban ugyanazt fogalmaztuk meg, amit a bevezető elnevezésben: a konvergenciá- hoz korlátosság és egyetlen torlódási pont létezése szükséges.

11 11 Cauchy féle határérték definíció: Az (a n ) sorozat határértéke az A szám, ha tetszőleges (pozitív) ε-hoz minden esetben található olyan n o küszöbindex, hogy ha n > n o, akkor |a n –A|<ε. Például: azsorozat határértéke A=2. Ugyanis ha az ε környezetet tetszőleges kicsire választjuk, egy bizonyos n o -tól kezdve a so- rozat összes további, tehát a végtelen sok tag már belül lesz az A szám ε sugarú környezetén. (Az |a n -A|< ε éppen ezt fejezi ki.) Tegyünk próbát: ha ε=0,01, akkor a küszöbindexet úgy kapjuk, hogy behelyettesítünk az egyenlőtlenségbe: A megoldás: n > 99. Ez azt jelenti: ha a küszöbszám, n o =99, akkor a sorozatban az ennél nagyobb sorszámú (indexű) tagok „távolsága” 2-től kisebb, mint 0,01. Valóban: például a 100-adik tagnál a határértéktől való eltérés: A 200-adik tagnál a távolság 2-től: =0,

12 12 A Cauchy definíció tetszőleges ε-ról szól, így elvégezzük általánosan a küszöbindex keresést a fenti példánknál: Ebből: Rendezés: Tehát ha no no -nak( az 1/ε – 1 egész részét ) választjuk, akkor már mindig igaz, hogy ha n > n o, akkor a sorozat tagjai az adott ε-nál „pontosabban” közelítik meg az A=2-t. Ha az ε például 0,0817 lenne, akkor a példánkban a küszöbindex n o =[(1/0,0817)-1]=11 lesz. A divergens sorozatok speciális esete A nem konvergens sorozatok között vannak ú.n. valódi divergens sorozatok, amelyeket felfoghatunk úgy, hogy azok a végtelenbe (vagy a mínusz végtelenbe) „konvergálnak”. Például az a n =n 2 sorozat tagjai „minden határon túl nőnek”, a „végtelenhez tartanak”. Jelölés: (n 2 )  , illetve lim n 2 = .. Definíció: az (a n ) sorozat határértéke a , ha tetszőlegesen nagy P számhoz mindig megadható olyan n o, hogy ha n > n o, akkor a n > P. A –  -be konvergáló sorozat definíciója hasonló ( akármilyen N negatív számnál kisebbek lesznek a sorozat tagjai). Például a b n =1–n 2 sorozat a –  -be konvergál: lim(1-n 2 )= – .

13 13 Nevezetes határértékek Az állítás igazolása a Cauchy definícióval történik. Bizonyítás: a megsejtett A=0 számhoz kell tetszőleges ε-hoz tartozó küszöbszámot ta- lálni, amelyre igaz, hogy minden n>n o esetén mindig: |a n -A|<ε. Az egyenlőtlenségünk: Ebből: Ha tehát, akkor már mindig igaz lesz: Ia n -AI<ε, ha a sorozat bármely tagjának sorszáma nagyobb n o -nál. A q n sorozat határértéke: A q értéke konstans, bármilyen valós számérték lehet a q. Például: 2 n   és 0,5 n  - . Bizonyítás: lásd tankönyv. Az sorozat határértéke: Sok természeti és társadalmi folyamat leírásánál használjuk ezt a sorozatot, illetve en- nek a határértékét, az ún. Euler (ajler) féle e számot, amely egy irracionális szám. Nem bizonyítjuk.

14 14 A korlátosság, a monotonitás és a konvergencia összefüggései A sorozatok három jellemzője közötti kapcsolatot úgy vizsgáljuk, hogy két jellemző ismere- tében milyen következtetés adódik a harmadik jellemzőre. 1. Ha a sorozat monoton és konvergens, akkor korlátos. Ez nyilvánvaló, hiszen a konvergenciának szükséges feltétele a korlátosság. Jól kihasználható, hogy növekvő sorozatnál az alsó korlát az első elem, a felső korlát pedig a határérték. Ugyanis ha a sorozat növekvő, akkor a „határérték közeléből nem fordulhat vissza”. Csökkenő sorozatnál a felső korlát az első elem, az alsó korlát a határérték. Például az sorozatnál korábban láttuk: lim an an =2. A monotonitás vizsgálatához felírjuk az első 3 tagot: Gyanítjuk, hogy csökkenő a sorozat, azaz: Konkrétan: A törtes egyenlőtlenségből átalakítások után kapjuk: 5<6. Ekvivalens átalakításokkal egy biztosan igaz relációt kapunk, ekkor általánosan érvényes, hogy a n+1 < a n, tehát a sorozat szigorúan monoton csökken. Így a sorozat felső korlátja az első elem: K f =2,5 és az alsó korlát a határérték: K a =2.

15 15 2. Ha a sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens is. Növekvő sorozatnál a határérték a felső korlát, csökkenőnél az alsó korlát a határérték. Lehet például a mintasorozat ehhez az 1/n általános tagú sorozat. Az alsó korlát, a 0 alá nem kerülhetnek a csökkenő sorozat elemei, tehát ott (és sehol máshol) „sűrűsödniük” kell (hiszen végtelen sok tagja van a sorozatnak), azaz a 0 határérték. Természetesen egy növekvő sorozatnál az alsó korlát az első elem, a csökkenő sorozatnál pedig az első elem a felső korlát. 3. Ha a sorozat korlátos és konvergens, akkor nem biztos, hogy monoton. Például: azsorozat alsó korlátja –1, a felső 0,5, van határérték: A=0. A sorozat nem monoton, nincs azonos jellegű nagyságviszony a tagok között. Határérték tételek A nevezetes határértékek és a határértékre vonatkozó összefüggések, műveleti szabályok segítségével a sorozatok jellemzői egyszerűbben határozhatók meg. 1. Tétel: A határértékképzés „művelettartó”, azaz ha (a n )  A és (b n )  B, akkor (a n )  (b n ) = (a n ±b n )  A±B, (a n )  (b n ) = (a n ∙b n )  A∙B és (ha b n  0 és B  0.) A művelettartás függvényekre is érvényes lehet, például: ha (a n )  A, akkor (sina n )  sinA.

16 16 Például: legyen az, ekkor: lim a n =e, és legyen b n =5. Tudjuk: lim b n =5. A tagok összegéből képzett sorozatra: lim (a n +b n )=e+5, a szorzatra: lim (b n ∙a n )=5∙e. A tétel bizonyításának alapgondolata: a megfelelő alakban felvett tetszőlegesen kicsiny környezethez mindig találunk „kívánt tulajdonságú” (Cauchy!) küszöbszámot. 2. Tétel: ha az (a n ) nullsorozat és a (b n ) sorozat korlátos, akkor a két sorozat megfelelő tagjai szorzatából képzett sorozat is nullsorozat. Tehát: ha lim a n =0 és (b n ) korlátos, akkor lim a n ∙b n =0. Például aznullsorozat, mert a cosn korlátos (K a = –1, Kf Kf = 1) és A tétel bizonyítása egyszerű: ha a tetszőlegesen kicsiny környezethez találunk „megfelelő tulajdonságú küszöbszámot”, máris végeztünk (lásd: tankönyv). 3. Tétel: Ha (a n )  A és (b n )  A, valamint a c n sorozat minden elemére igaz, hogy: an an  cn cn  b n, akkor: (c n )  A. A tételt nem bizonyítjuk. A tételt szokták rendőr szabálynak is nevezni: ha két rendőr ugyanoda tart, akkor az általuk szorosan közrefogott személy is ugyanoda megy. Példa: számoljuk ki az sorozat határértékét! Megoldás: a tört számlálóját is, nevezőjét is osztjuk n-nel: Hiszen:

17 17 Példa: számoljuk ki a következő sorozat határértékét: A határérték számolásához „előkészítjük”, átalakítjuk a sorozat általános tagjának képletét: A számlálót is és a nevezőt is osztjuk 4 n -nel: A határérték tehát 1,2, mert az nullsorozat, és alkalmaztuk a művelettartás szabályát. A sorozatok komplex vizsgálata Gyakran előfordul, hogy adott sorozatot mindhárom jellemző szerint vizsgálnunk kell. Ilyenkor célszerű előbb a határértéket számolni (ha létezik), majd a monotonitásról kell nyilatkozni, és ezek ismeretében a korlátosságot már egyszerűen eldönthetjük. Példa: végezzük el a következő sorozat komplex vizsgálatát: 1.) lim a n =2,2.) Monotonitás: A gyanunk az, hogy a sorozat nö- vekvő (mert ez az első néhány tagon úgy látszik). Ebből: 2n 2 +3n+1>2n 2 +3n-2, azaz: 1>-2 Az utolsó reláció és így a felette lévők is biztosan igazak, tehát (a n ) növekvő. 3.) Korlátosság Ha a sorozat növekvő, akkor: K a =a 1 =0,5 és K f  A=2.

18 18 A sorozatok komplex vizsgálatánál gyakori, hogy küszöbszámot is keresünk. Például a vizsgált sorozatunknál adjuk meg az  =0,01-hez tartozó küszöbszámot! Láttuk, hogy a határérték 2. Alkalmazzuk a Cauchy definíciót: Átalakítás (közös nevező, rendezés) után: n >299=n 0. Tehát a sorozat tagjai a 300-adik tagtól kezdve belül lesznek a 2-nek 0,01 sugarú környezetén. Megjegyzés: az (a n ) sorozatnak Aj Aj a jobboldali határértéke, ha minden anAj.anAj. Az (a n ) sorozatnak Ab Ab a baloldali határértéke, ha minden anAb.anAb. A jobboldali határértéket a sorozat tagjai „alulról közelítik”, a baloldalit pedig felülről. A fenti példánkban az A=2 jobboldali határérték. A konvergens sorozatok a határértéket „mindkét oldalról” közelíthetik, például, ha: akkor a sorozat oszcillálva (váltakozó irányból) közelíti a nullát. A sorozatok komplex vizsgálata sok gyakorlást igényel. A példatárak nagy számban tartalmaznak erre a célra feladatokat. Rajta!

19 19 A sorok konvergenciája Az (a n )=(a 1, a 2, a 3,…) sorozatból sort képezhetünk: a 1 +a 2 +a 3 +…=(jelölés)= Értelmezhetjük a sor értékét: Az (s n ) a sor tagjaiból képzett részletösszeg sorozatot jelenti a következőképpen: s 1 =a 1, s 2 =a 1 +a 2, s 3 =a 1 +a 2 +a 3, s 4 =…, általánosan: s n =a 1 +a 2 +a 3 +…+a n. Definíció: A sor értéke akkor létezik, ha a részletösszeg sorozat konvergens. Ekkor az (s n ) sorozat határértékét tekintjük a sor értékének. Példa: számoljuk ki a következő végtelen mértani sor értékét: M=a 1 + a 1 q+a 1 q 2 …+a 1 q n = Megoldás: A sorhoz készíthető részletösszeg sorozat:s n = a 1 + a 1 q+a 1 q 2 +…+a 1 q n-1. Ekkor: Ha n  , akkor csak a q n határértékét kell tekintenünk. (A többi érték a képletben nem függ n-től) A lim qn qn =0, ha IqI<1. Ha q=1, a sorozat csupa azonos értékből áll. Máskor a (q n ) divergens. Így: M= Példa: Ekkor: A fejezet tárgyalását befejeztük.


Letölteni ppt "1 Sorozatok Készítette: Dr. Ábrahám István A diasorozat az Analízis 1. (Mozaik Kiadó 2005.) c. könyvhöz készült."

Hasonló előadás


Google Hirdetések