Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

1 Matematikai Analízis elemei dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém 2012. aug.13.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "1 Matematikai Analízis elemei dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém 2012. aug.13."— Előadás másolata:

1 1 Matematikai Analízis elemei dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém aug.13.

2 2 > vizsgák: írásbeli, példák+elmélet 1. november / december 2. januárban péntekenként kb. ~ 10: :00 vagy ~ 12: :00 !!!! Neptun = januárban +igazolvány

3 3 > … Analízis Lev. … VEGLKGB143M >

4 4 részleteket lásd a honlapomon tankönyvek:

5 5 Tartalom: 1. Függvénytani alapfogalmak: ÉT, ÉK, grafikonok rajzolása, elemi (nevezetes) függvények. Inverz- és összetett függvények. 2. Sorozatok határértéke: Elemi átalakítások, nevezetes sorozatok. (1+ s / n ) n és "végtelen/ végtelen" alakú feladatok. 3. Sorok határértéke, mértani sorok. 4. Függvények határértéke: egyszerűbb feladatok, gyökkeresés. 5. Differenciálszámítás alapjai, érintő egyenlete. 6. Függvényvizsgálat, szöveges szélsőérték feladatok. 7. Differenciálszámítás alkalmazásai: érintő egyenlete, Taylor polinomok, L'Hospital szabály 9. Primitív függvények: elemi integrálok, parciális- és helyettesítéses integrálás. 10. Határozott integrál: Newton-Leibniz szabály, területszámítás. Improprius integrálás. Közelítő integrálás.

6 6 kezdjük …

7 7 1. Függvénytani alapfogalmak : y = f(x) = … vagy f : x |---> y Jelölések: Dom(f) := D f = ÉT (=Dominium  "kikötés") az f függvény értelmezési tartománya, Im(f) := Range(f) = Ran(f) = R f = ÉK (=Image=Range) az f függvény értékkészlete. HF: ism. Elemi (alap-) függvények: mx+b, x 2, x 3, x 1/2, 1/x, a / (x-b), sin(x), cos(x), tan(x)=tg(x), cotan(x)=ctg(x), exp(x)=e x, exp a (x)=a x, log(x)=lg(x), ln(x)=log e (x) /e~ /, HF: ism., ábrák, zsebszámológép

8 8 Pl.

9 9 1.b) Függvények inverze f : x |---> yés Dom(f) x <---| y : f -1 és Dom(f -1 ) Észrevétel: f nem invertálható, ha van x 1 ≠ x 2 amelyekre f(x 1 ) = f(x 2 ). Definíció: f injektív (egy-egy értelmű), ha nincs fenti x 1 és x 2, azaz: x 1 ≠ x 2 esetén f(x 1 ) ≠ f(x 2 ). Ellenőrzése a gyakorlatban: f(x 1 ) = f(x 2 ) =>... => x 1 = x 2. f -1 meghatározása: y = f(x) =>... => x = f -1 (y).

10 10 Pl. tehát invertálható.

11 11

12 12 például: négyzetre emeléskor az előjel eltűnik... =>

13 13 grafikusan: tükrözés az y=x egyenesre:

14 14 y=a x

15 15 log a (x)

16 16

17 17 és !!!!! g(x)="belső függvény", f(x)="külső függvény" !!!!! 1.c) Összetett függvények (fv.-ek kompozíciója) Definíció: Legyenek g : A → B és f : Y → Z tetszőleges függvények, Im(g ) ∩ Dom(f) ≠ Ǿ. Ekkor h : =f o g az f és g függvények kompozíciója a következő: h(x) := (f o g)(x) := f(g(x)) és Dom(h) = { x  Dom(g) : g(x)  Dom(f) }. Pl.

18 18 Pl.: a n = a 10 = 115 / 78 ~ 1, a 20 = 435 / 348 = 1,25- a 100 = / 9708 ~ 1, a 1000 = / ~ 1, a = / ~ 1, Sorozatok Definíció: számsorozat = numerikus sorozat : Tetszőleges a : N → R függvényt sorozatnak nevezünk. Az a(n) értéket általában a n -el jelöljük. sejtés: ebben a példában

19 19 Definíció: Az { a n } sorozat konvergens, ha létezik olyan A  R szám, amelyre: tetszőleges ε > 0 pozitív számhoz (="hibahatár") létezik olyan n 0  N természetes szám (="küszöbszám"), amelyre tetszőleges n>n 0 számra : | a n - A | < ε (=a n eltérése A -tól). A fenti A számot hívjuk a sorozat (véges) határértékének (=limesz), és így jelöljük: lim a n = A vagy a n → A. Definíció: Az { a n } sorozatot konvergensnek nevezzük, ha létezik fenti (véges) határértéke. Az { a n } sorozatot divergensnek nevezzük, ha nem konvergens.

20 20 Számolás: " " esetén a nevező legnagyobb tagjával egyszerűsítünk: Nevezetes határértékek, tételek, módszerek: Ld. "Konvergencia kritériumok" 1.old. a honlapon ! Feladatok: Ld. Feladatgyűjtemény 2.fejezet, 2.1, 2.4, 2.8 feladatok a honlapon ! pl.:

21 21 Definíció: Az {a n } sorozat határértéke + ha tetszőleges p  R szám esetén van olyan n p  N szám (= "küszöbszám") amelyre minden n>n p esetén a n > p. A fentieket így jelöljük: lim a n = + vagy a n --> +. Definíció: Az {a n } sorozat határértéke - ha tetszőleges p  R szám esetén van olyan n p  N szám (="küszöbszám"), amelyre minden n>n p esetén a n < p. A fentieket így jelöljük: lim a n = - vagy a n --> -. ((mindössze két helyen van változás!!))

22 22 Fontos példa: Felhasznált Tétel: (ld."kritériumok")

23 23 3. Sorok !!! Sor ≠ sorozat !!! Probléma: = a 0 +a 1 +a 2 +…+a n +… = ? (végtelen sok tag) (matematikus) Megoldás: Definíció: (részletösszegekkel) := lim ( ) := lim (a 0 +a 1 +a 2 +…+a N ) = lim (s N ) ha ez a határérték létezik. 

24 24 Kiszámítása: mértani sor: Ha |q|<1, akkor

25 25...

26 26 6. (teljes) Függvényvizsgálat pl. f(x) = x x x - 20

27 27

28 28 f(x) = x x x - 20 I. Dom(f) = R, folytonos => függőleges aszimptota nincs, nem páros, nem páratlan, nem periodikus, gyökök = nehéz, lim f(x) = - ∞, lim f(x) = + ∞ => vízszintes aszimptota nincs,

29 29 II. f '(x) = 3x x + 18, gyökei: x 1 = -2, x 2 = -3 x = f '(x)= f (x) = / max. \ min. / III. f ''(x) = 6x + 15, gyöke: x 3 = -2.5 x = -2.5 f ''(x)= f (x) = ∩ infl. Ụ

30 30

31 31     


Letölteni ppt "1 Matematikai Analízis elemei dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém 2012. aug.13."

Hasonló előadás


Google Hirdetések