Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

2012. November 21. Szemidefinit programozás és extremális gráfelmélet Lovász László Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest 1.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "2012. November 21. Szemidefinit programozás és extremális gráfelmélet Lovász László Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest 1."— Előadás másolata:

1 2012. November 21. Szemidefinit programozás és extremális gráfelmélet Lovász László Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest 1

2 2012. November 21. Annak a valószínűsége, hogy egy véletlen V(F)  V(G) homomorfizmus 2 Homomorfizmus függvények Homomorfizmus: éleket megőrző leképezés gráfok között hom(F,G): F  G homomorfizmusok száma homomorfizmus-sűrűség:

3 2012. November 21.3 Részben címkézett gráfok k-címkézett gráf: k csúcsa 1,...,k címkékkel akárhány címkézetlen csúcs 1 2

4 2012. November 21. k=2:... t(, G) M(G, k) 4 Csatolási mátrixok elemi csatolási mátrix-sorozat

5 2012. November 21.5 Csatolási mátrixok Az elemi csatolási mátrixok pozitív szemidefinitek.

6 2012. November 21. k=2: 6 Csatolási mátrixok t(,G)  t(,G) 2  t(,G) 4

7 2012. November 21.7 Csatolási mátrixok Az elemi csatolási mátrixok - pozitív szemidefinitek; - ha két pozícióban izolált pontoktól eltekintve izomorf gráfok állnak, akkor az érték azonos. - üres gráfhoz tartozó érték 1. Megfordítás? Majdnem...

8 2012. November 21. k=2:... x( ) M(X, k) 8 Csatolási mátrix-sorozat Csak a gráf izomorfia-típusától függ, és az izolált pontoktól sem.

9 2012. November 21.9 Csatolási mátrixok Ha M(X,k) csatolási mátrix-sorozat pozitív szemidefinit, akkor elemi csatolás-mátrixok konvex kombinációinak limesze. L-Szegedy

10 A következő szemidefinit program optimuma 1/2: max x(K 2 ) feltéve M(X,k) pozitív szemidefinit csatolási mátrix x(K 3 )= November 21. Extremális gráfelmélet, mint szemidefinit programozás 10 Mantel-Turán Tétel: t(K 3,G)=0  t(K 2,G)≤1/2. Végtelen sok végtelen mátrix...

11 2012. November Lineáris egyenlőtlenségek sűrűségek között Eldönthetetlen… Hatami-Norine …de eldönthető tetszőlegesen kis hibával. L-Szegedy

12 2012. November 21. Számolgatás gráfokkal 12 k-címkéjű kvantum gráf: k-címkéjű gráfok véges formális lin. kombinációja 1 2 Freedman-L-Schrijver; Razborov

13 2012. November Számolgatás gráfokkal F 1,F 2 : k-címkéjű gráfok F 1 F 2 = F 1  F 2, címkézett csúcsok azonosítva

14 2012. November = = Goodman  Mantel-Turán Számolgatás gráfokkal  2 - = + t(,G) – 2t(,G) + t(,G) ≥ 0 t(,G)  2t(,G) 2 - t(,G)

15 2012. November 21. Ha x ≥ 0, akkor Négyzetösszeg-előállítás 15 Ha gráfok egy x lineáris kombinaciója négyzetösszeg (címkék és izolált csúcsok nem számítanak), akkor x ≥ 0.

16 2012. November 21. Analógia: polinomok 16 Artin Tétele (Hilbert 17): Ha p(x 1,…,x n )  0 minden x 1,…,x n valós helyettesítésre, akkor racionális törtfüggvények négyzetösszege. De nem polinomok négyzetösszege! Matijaszevics Tétele (Hilbert 10): ?p(x 1,…,x n )  0 minden x 1,…,x n egész helyettesítésre? eldönthetetlen.

17 2012. November 21. Ha x ≥ 0, akkor 17 Nem! Hatami-Norine Négyzetösszeg-előállítás

18 2012. November 21. x  0  Egy gyenge Artin-tétel gráfokra 18 L-Szegedy

19 2012. November 21. Szemidefinit megfogalmazás 19 x =  a F F  0  a következő szemidefinit program optimuma 0: min  a F x(F) feltéve M(X,k) pozitív szemidefinit csatolási mátrix-sorozat Végtelen sok végtelen mátrix... Szemidefinit programozás dualitástétele...

20 2012. November 21. Konkrét alkalmazások? 20  Jellemezzük a (t(K 2,W), t(K r,W)) párokat Razborov r=3 Nikiforov r=4 Reiher r>4  Ötszög-sűrűség háromszögmentes gráfban Hatami-Hladky-Král -Norine-Razborov

21 2012. November 21. Semidefiniteness and extremal graph theoryTricky examples 1 10 Kruskal-Katona Bollobás 1/22/33/4 Razborov 2006 Mantel-Turán Goodman Fisher Lovász-Simonovits Él-háromszög sűrűségek 21

22 2012. November Ötszög-sűrűség háromszögmentes gráfban

23 2012. November Ötszög-sűrűség háromszögmentes gráfban Sejtés: Erdős 1984 Biz: Hatami-Hladky-Král-Norine-Razborov 2011

24 2012. November Ötszög-sűrűség háromszögmentes gráfban 3-címkéjű kvantum gráfok pozitív szemidefinit


Letölteni ppt "2012. November 21. Szemidefinit programozás és extremális gráfelmélet Lovász László Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest 1."

Hasonló előadás


Google Hirdetések