Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja."— Előadás másolata:

1 TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS

2 TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok Az f(x) függvény egy [a;b] intervallumban alulról konvex (alulról konkáv), ha ott értelmezve van, és az intervallum minden a < x 1 < x 2 < b pontjára a függvény grafikonja az (x 1 ; f(x 1 )) és az az (x 2 ; f(x 2 )) pontokat összekötő szakasz alatt ( szakasz fölött )halad. Függvénygörbék jellemzői A függvénygörbe az [a;b] intervallumban alulról konvex, a [b;c] intervallumban alulról konkáv

3 TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok Görbék érintői Görbék meredeksége, az érintő szemléletes fogalma 1.A lineáris függvény ha tgα > 0, a fv. szig.mon. növekvő ha tgα < 0, a fv. szig.mon. csökkenő ha tgα = 0, a fv. állandó meredekség: az irányszög tangense, m= tgα

4 TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok Görbék érintői 2. Az érintő fogalma Az érintőnek a görbével „egyetlen közös pontja ” van Az érintő definícióját nyilvánvalóan másképpen kell megadni

5 TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok - Legyen az f(x) függvény mindenütt folytonos. - Rögzítsünk a függvénygörbén egy P pontot és egy a P-től különböző tetszőleges Q (vagy Q * ) pontot. 3. Az érintő értelmezése - Mozgassuk a Q (vagy Q * ) pontot a P pont felé, ekkor a PQ (vagy PQ * ) szelő egy „határhelyzethez”, egy e egyeneshez közeledik, amely áthalad a P ponton - Ezt a közös e egyenest a függvénygörbe P pontbeli érintőjének nevezzük

6 TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok Feladat: A parabola érintője Határozzuk meg az y = x 2 egyenletű parabola P(2;4) pontjában a parabola érintőjét! Legyen Q (x ; x 2 ) tetszőleges pont A PQ szelők iránytangense: Ha Q * (-1 ; 1) tetszőleges pont A PQ * szelő iránytangense:

7 TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok A parabola érintője Az y = x 2 egyenletű parabola P(2;4) pontjában az érintő iránytangensét az m (x) függvény x = 2 helyen vett határértékével definiálhatjuk: A P pontban az érintő egyenlete: P(2;4) Az érintő egyenlete:

8 TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok Differencia- és differenciálhányados Definíció: Az f(x) függvény x 0 ponthoz tartozó differenciahányadosán az hányadost értjük. Ha a differenciahányadosnak az x 0 pontban van határértéke, akkor ezt a határértéket az f(x) függvény x 0 pontbeli differenciálhányadosának vagy deriváltjának nevezzük. Ekkor azt mondjuk, hogy az f(x) függvény az x 0 pontban differenciálható vagy deriválható. Megjegyzés: Az f(x) függvény az ]a;b[ intervallumban deriválható, ha az intervallum minden x 0 pontjában teljesül a deriválhatóság.

9 TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok Differencia- és differenciálhányados Szemléletes jelentés: Differenciahányados a grafikon x 0 és x pontját összekötő szelő iránytangense matematikában fizikában s(t) út-idő függvény esetén az átlagsebesség Differenciálhányados a grafikon x 0 pontjában húzott érintő iránytangense matematikában fizikában s(t) út-idő függvény esetén a pillanatnyi sebesség

10 TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok Tétel: Ha az f(x) függvény x 0 pontban deriválható, akkor ott folytonos is. Ebből következik, hogy a folytonosság a differenciálhatóság szükséges feltétele. A folytonosság azonban nem elégséges feltétel ahhoz, hogy az f(x) függvény valamely pontban differenciálható legyen. Pl: nem létezik, tehát az f(x) nem differenciálható pontban folytonos

11 TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok Feladat: Igazoljuk, hogy az függvény mindenütt differenciálható! A függvény deriváltja A tetszőleges de rögzített x 0 ponthoz tartozó differenciahányados: A differenciahányados határértéke az x 0 pontban: Mivel x 0 az értelmezési tartomány tetszőleges eleme, ezért az f(x) függvény mindenütt differenciálható. A tetszőleges x pontban a differenciálhányados: 2x

12 TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok Definíció: Azt a függvényt, amely megadja, hogy a változó egyes értékeihez mely derivált tartozik, az f(x) függvény deriváltfüggvényének vagy röviden deriváltjának nevezzük. A függvény deriváltja Jelölés: Pl:

13 TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok 1. A konstans függvény deriváltja Deriválási szabályok Legyen x 0 tetszőleges pont: 2. Az elsőfokú függvény deriváltja

14 TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok 3. Az függvény deriváltja Deriválási szabályok Legyen x 0 tetszőleges pont: 4. A hatványfüggvény deriváltja

15 TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok 5. Az függvény deriváltja Deriválási szabályok Legyen x 0 tetszőleges pont:

16 TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok Felhasználhatjuk, azt is hogy: 6. Az függvény deriváltja

17 TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok 7. Az függvény deriváltja Például:

18 TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok 8. A szinusz- és koszinuszfüggvény deriváltja Bebizonyítható, hogy:

19 TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok Tétel: Feltételezzük, hogy az f(x) és g(x) függvények x 0  [a;b] pontban differenciálhatók, akkor függvények is differenciálhatók az x 0  [a;b] pontban. Bebizonyítható, hogy:

20 TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok A szorzatfüggvény deriváltja Feltételezzük, hogy az f(x) és g(x) függvények mindenütt differenciálhatók. Határozzuk meg a függvény deriváltját! A számlálóhoz adjuk hozzá és vonjuk ki az szorzatot:

21 TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok

22 TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok Például:

23 TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok A hányadosfüggvény deriváltja Feltételezzük, hogy az f(x) és g(x) függvények mindenütt differenciálhatók. A h(x) függvény deriválását visszavezethetjük a szorzatfüggvény deriválására, ugyanis Bebizonyítható, hogy

24 TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok Például: 1. 2.

25 TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok Az összetett függvény deriváltja Ha a g függvény deriválható az x 0 helyen, és az f függvény deriválható a g( x 0 ) helyen, akkor az f [g(x)] összetett függvény is deriválható az x 0 helyen, és a deriváltja: Ha az x 0 az értelmezési tartomány tetszőleges helye: Bebizonyítható, hogy

26 TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja Deriválási szabályok Például:


Letölteni ppt "TARTALOM Differenciálszámítás Görbék érintői Parabola érintője Differencia- és differenciálhányados Differenciálhatóság és folytonosság A függvény deriváltja."

Hasonló előadás


Google Hirdetések