Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Differenciál számítás Definíció. Legyen, és. Az hányadost, ahol és, az f függvény pontjához tartozó differencia (különbségi) hányadosának nevezzük. Ha.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Differenciál számítás Definíció. Legyen, és. Az hányadost, ahol és, az f függvény pontjához tartozó differencia (különbségi) hányadosának nevezzük. Ha."— Előadás másolata:

1 Differenciál számítás Definíció. Legyen, és. Az hányadost, ahol és, az f függvény pontjához tartozó differencia (különbségi) hányadosának nevezzük. Ha az pontban létezik a differenciahányados határértéke, akkor ezt az f függvény ponthoz tartozó differenciálhányadosának nevezzük. Ha a fenti határérték létezik és véges akkor az f függvényt az pontban differenciálhatónak nevezzük.

2 Differenciál számítás Jelölés:Az f függvény pontbeli differenciálhányadosának jelölése: Definíció. Az f valós-valós függvény differenciálhányados függvénye, vagy derivált függvénye ( röviden deriváltja ) az az -vel jelölt függvény, amelynek értelmezési tartománya D( f )-nek mindazon elemeiből áll, amely helyeken f differenciálható, és értéke egy ilyen x helyen f -nek az x helyhez tartozó differenciálhányadosa. Az -et így nevezhetjük az f függvény x helyen vett deriváltjának. Megjegyzés: A differenciálhányados definíciója átfogalmazható. Legyen és. Ekkor, vagy általánosan

3 Differenciál számítás Tétel. Legyen. Ha f differenciálható helyen, akkor f folytonos -ban. Bizonyítás: előadáson. Megjegyzés: A tétel megfordítása nem igaz. (Úgy is fogalmazhatunk, hogy a differenciálhatóság kikötése erősebb, mint a folytonosság.) Ennek belátásához tekintsük az függvényt. Ez, mint tudjuk, az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos. Állítás. az pontban nem differenciálható. Bizonyítás: előadáson.

4 Differenciál számítás Definíció: Ha az f függvény differenciálható az pontban, akkor az kifejezést az f függvény pontbeli differenciáljának nevezzük. Jelölés: Tétel: 1./,, deriváltja. 2./, deriváltja. 3./,, deriváltja. 4./, R \ { 0 }, deriváltja. Bizonyítás: előadáson.

5 Deriválási szabályok Tétel.Legyen,,, és Ha f differenciálható az pontban, és g differenciálható az pontban, akkor is differenciálható az pontban, és 1./ 2./ 3./ 4./, ha a fenti feltételek mellett még teljesül, hogy 5./, az előbbi feltétel mellett. Bizonyítás: előadáson.

6 Összetett függvény deriválása Tétel.Legyen g differenciálható az pontban, és f differenciálható a pontban, akkor is differenciálható az pontban, és Bizonyítás: előadáson. Példa:Határozzuk meg a következő függvények deriváltját! 1./ 2./ 3./ 4./ 5./

7 Elemi függvények deriválása Definíció. Legyen. Ha az f függvény előállítható az x, exp és sin függvényekből a következő műveletek véges sokszor történő alkalmazásával, akkor f-et elemi függvénynek nevezzük. 1./Állandóval való szorzás 2./Összeadás, szorzás 3./Reciprokképzés 4./Nyílt halmazra való leszűkítés 5./Olyan, intervallumra vonatkozó leszűkítés invertálása, ahol a derivált függvény nem veszi fel a 0 értéket. 6./Kompozíció.

8 Elemi függvények deriválása Trigonometrikus függvények deriválása Tétel. Bizonyítás: előadáson. Példa:Határozzuk meg a következő függvények deriváltját! 1./ 2./

9 Elemi függvények deriválása Exponenciális függvények deriválása Tétel. Speciális eset: Bizonyítás: előadáson Implicit alakban adott függvények deriválása: (példákon keresztül) Példa:Határozzuk meg az alábbi implicit alakban adott függvények x változó szerinti első deriváltját! 1./ 2./

10 Elemi függvények inverzeinek deriválása Arkuszfüggvények deriválása: Tétel. Bizonyítás: előadáson Logaritmikus deriválás : típusú függvények deriválása és a deriválás elvégezhető, vagy és implicit alakban adott függvényként deriváljuk.

11 Logaritmikus deriválás Példa:Határozzuk meg az alábbi függvények x változó szerinti első deriváltját! 1./ 2./ 3./ Tétel:Ha tetszőleges valós szám és, akkor Bizonyítás: előadáson.


Letölteni ppt "Differenciál számítás Definíció. Legyen, és. Az hányadost, ahol és, az f függvény pontjához tartozó differencia (különbségi) hányadosának nevezzük. Ha."

Hasonló előadás


Google Hirdetések