Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

1 Függvényjellemzők Készítette: Dr. Ábrahám István A diasorozat az Analízis 1. (Mozaik Kiadó 2005.) c. könyvhöz készült.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "1 Függvényjellemzők Készítette: Dr. Ábrahám István A diasorozat az Analízis 1. (Mozaik Kiadó 2005.) c. könyvhöz készült."— Előadás másolata:

1 1 Függvényjellemzők Készítette: Dr. Ábrahám István A diasorozat az Analízis 1. (Mozaik Kiadó 2005.) c. könyvhöz készült.

2 2 A függvények jellemzői A függvényjellemzők segítségével vizsgálhatjuk a függvények növekedését és csök- kenését, optimumokat határozhatunk meg, valamint más fontos ismerethez juthatunk. 1. Korlátosság Az f(x) függvény korlátos, ha minden függvényérték két valós szám között található: (Az egyenlőség nem szükségszerű.) A korlátossághoz mindkét korlát létezése szükséges. Példa: az y=x 2 nem korlátos, van ugyan alsó korlát (a nulla), de nincs felső korlát. Az y=sinx korlátos, K a =–1 és K f =1. Ha a függvény korlátos, akkor végtelen sok alsó, illetve felső korlátja van. Pontos alsó korlát (alsó határ) a létező alsó korlátok közül a legnagyobb, a felső határ (pontos felső korlát) pedig a lehetséges felső korlátok közül a legkisebb érték. Például: azfüggvénynek nincsenek korlátai: De az függvény korlátos: K a =0,5; K f =1. Ezt így is jelölhetjük: K a =min f(x)=f(2)=0,5, és K f =max f(x)=f(1)=1.

3 3 2. Monotonitás Az f(x) függvény szigorúan monoton növekvő, ha bármely x 2 >x 1 -re igaz, hogy f(x 2 )>f(x 1 ). (Természetesen az x-ek az értelmezési tartományból származnak.) Növekvő a függvény, ha „az x-ek növekedtével az y értékek is nagyobbak lesznek.” Csökkenő a függvény, ha „az x-ek növekedtével az y értékek egyre kisebbek lesznek.” Monoton növekvő a függvény, ha bármely x 2 >x 1 esetén f(x 2 )  f(x 1 ), csökkenő: f(x 2 )  f(x 1 ). A sorozat jellemzői és a függvényjellemzők között analógia van, hiszen a sorozat tulajdon- képpen speciális függvény, ahol az értelmezési tartomány a sorszámok halmaza (N + ). Például: az függvény nem monoton, mert az x értékek növekedtével a függvényérték egyszer nőtt, másszor csökkent. Hiszen az x 1 =–1 esetén az f(x 1 )=–1 és az x 2 =1 értékénél az f(x 2 )=1, de x 3 =2-nél f(x 3 )=0,5. Ugyanakkor az függvény szigorúan monoton csökken. A monotonitást is gyakran az értelmezési tartomány egy részén, egy adott intervallumon vizsgáljuk. Példa: az f(x)=x 2 a negatív x-ek tartományán csökkenő, a pozitívoknál növekvő. Az f(x)=állandó függvényre (képe az x tengellyel párhuzamos egyenes) nem vezetünk be külön kategóriát, a konstans függvényt egyszerre növekvőnek és csökkenőnek mondjuk.

4 4 3. Paritás Elnevezés: ha a függvény értelmezési tartománya olyan, hogy x  ÉT esetén mindig –x is eleme az értelmezési tartománynak, valamint minden x-re igaz, hogy: f(x)=f(–x), akkor a függvényt párosnak nevezzük. Az értelmezési tartománynak szimmetrikusnak kell lennie, azaz pozitív és negatív előjellel is szerepelniük kell az azonos abszolút értékű elemeknek. Például: az x2 x2 függvény páros, mert mindig igaz, hogy: f(–x)=f(x). (Hiszen (–x) 2 =x 2.) Vigyázat! Az f: f(x)=x 2, x  R + függvény nem páros, mert az értelmezési tartománya nem szimmetrikus 0-ra. A páros függvények gráfja az y tengelyre szimmetrikus. Definició: az f függvény páratlan, ha x  D f  –x  D f és az értelmezési tartomány minden x elemére az f(–x)=–f(x) feltétel teljesül. Például: az x3 x3 függvény páratlan, mert mindig igaz, hogy f(–x) = –f(x). (Ha x  R). A páratlan függvények gráfja a koordinátarendszer kezdőpontjára (az origóra) szimmetrikus. A függvények többnyire nem mutatnak paritást, azaz a legtöbb függvény se nem páros, se nem páratlan. Például: az y=x+1 függvény nem mutat paritást. ( f(–x)  f(x), és f(–x)  –f(x).)

5 5 4. Periodicitás Csak a függvények néhány típusára jellemző ez a tulajdonság, amelynek lényege az, hogy rendszeres ismétlődéssel azonos függvényértékek fordulnak elő. Elnevezés: az f függvény p szerint periódikus, ha minden x-re igaz, hogy xDf xDf esetén x+kp  D f és f(x)=f(x+kp), ahol p>0 és kZ.kZ. Példaként leggyakrabban a trigonometrikus függvényeket említjük, hiszen ismert, hogy: sinx=sin(x+2k  ), vagy tgx=tg(x+ k  ), ahol k  Z. Léteznek olyan periodikus függvények is, amelyek nem trigonometrikusak, például: y={x}, xR+.xR+. A függvények alaposabb vizsgálatánál néhány további, főként a függvény vizsgálatához, ábrázolásához kapcsolódó jellemzőt is tárgyalni fogunk. Ilyen például a függvény vonalának görbülete, vagy az aszimptoták). Igen lényeges jellemzője a függvényeknek a határérték és a folytonosság. 5. A függvény határértéke Bevezetőül: 1. Bármely x 0 számhoz (a számegyenesen egy ponthoz) meg tudunk adni hozzá konvergáló, valós számokból álló sorozatot. Például: az f: f(x)=2x+1 függvénynél az x 0 =3 ponthoz konvergáló sorozat: 2. Bármely számhoz végtelen sok, hozzá konvergáló sorozat adható meg, például úgy, hogy a számhoz hozzáadunk egy tetszőleges nullsorozatot.

6 6 Például: az f(x)=2x+1 függvénynél az x 0 =3 és legyen: Ekkor az függvényérték sorozat elemei: f(4)=9; és így tovább. A függvény utasításába (vedd a független változó kétszeresét és adj hozzá 1-et) helyettesít- hetjük az (x n ) sorozat elemeit. A függvényértékek sorozatának is lehet határértéke. Ha általánosan, n-nel írjuk fel a 3-hoz tartó sorozatot, akkor a függvényértékek sorozata:, akkor: Igaz: A függvényérték sorozat határértéke tehát 7. Eredményünket így is írhatjuk: Definíció: az f(x) függvénynek az x 0 helyen határértéke az A, ha minden (x n ) sorozatra Feltétel még: a függvény az x 0 környezetében értelmezve legyen. A függvényhatárérték jelölése:

7 7 A definícióban szereplő minden (x n ) sorozatnak ténylegesen tetszőlegesnek kell lennie. Tehát az x 0 -hoz a sorozat nemcsak jobbról, vagy balról konvergálhat, hanem egyszerre mind- két oldalról. Például: az x 0 =3-hoz jobbról konvergál az sorozat. A kapott függvényérték sorozat határértékét jobboldali határértéknek nevezzük. Jelölése: Másképp: Értelmezhetjük a függvény baloldali határértékét: Ha az x 0 -hoz minden balról konvergáló (x n ) sorozat esetén (ekkor a sorozat minden tag- jára: x n < x 0 ) a függvényértékek sorozata tart A b -hez, akkor A b baloldali határérték. Jelölése: Ahhoz, hogy a függvény határértéke létezzen az x 0 helyen, szükséges és elegendő, hogy mind a baloldali, mind a jobboldali határértékek létezzenek és megegyezzenek. Nemcsak az 1/n sorozattal lehet az adott x 0 -hoz balról-, illetve jobbról konvergáló sorozatot készíteni. Legtöbbször azonban dolgozhatunk az egyszerű, „jól kiismert” 1/n sorozattal. Az x0+0 csupán jelölés, a jobbról való közeledést fejezi ki. Az x0–0 szintén csupán jelölés, a balról való közeledést fejezi ki. Például: az f: f(x)=2x+1 függvénynek a 3 helyen vett jobboldali határértékéhez: Ekkor: A baloldalihoz: A bal- és jobboldali határ- értékek megegyeznek, tehát:

8 8 Például: legyen Számoljuk ki az x 0 =1 helyen a határértéket! A baloldali határértékhez: Ekkor: A jobboldali határértékhez: Ekkor: Látható, hogy A b  A j, ezért a függvényünknek az x 0 =1 helyen nincs határértéke. A határértéket általában speciális esetekben is számolhatjuk sorozatok segítségével. Speciális eseten a függvény szakadási helyein, illetve a +, vagy – végtelenben vett határ- értéket értjük. Például: mi a határértéke az függvénynek a 0 helyen? Legyen: A jobboldali határérték kiszámolása: A bal- és jobboldali határérték nem egyezik meg, tehát a függvényünknek nincs határ- értéke a 0 helyen.

9 9 Például azfüggvénynek van (tágabb értelemben vett) határértéke 0 helyen. Ugyanis: A jobboldali határérték: A bal- és jobboldali határértékek megegyeznek, tehát: A végtelenben vett határérték számolásához felhasználhatjuk az x n =n, illetve a mínusz végtelen esetén: x n =–n sorozatokat. Például: azhatárértéke a végtelenben: A mínusz végtelenben vett határérték is 0, hiszen Ilyenkor nyilván csak „egyoldali” határértékről lehet szó, a végtelent csak balról (alulról) lehet közelíteni, a – végtelent pedig csak jobbról. A függvény határértékének számítását nem szükséges mindig a hosszadalmas sorozatra visszavezetéssel végezni. Felhasználjuk az ún. nevezetes függvény határértékeket határértékeket és alkalmazzuk a határérték tételeket.

10 10 Határérték tételek 1. A határérték képzés művelettartó. Ez azt jelenti, hogy ha: akkor : és hasonlóan igaz a művelettartás a szorzásra, az osztásra, sőt, a függvényutasítások egymásutánjára (összetett függvény!) is. (Természetesen bizonyos feltételekkel, tehát például a hányados képzésnél a nevezőben nem lehet 0, vagy az összetett függvénynél nem lehet „baj” az értelmezési tartománnyal.) Az összefüggések analógok a sorozatoknál megismertekkel, azok igazolása is a sorozatokra visszavezetve egyszerű. Például: láttuk korábban, hogy A művelettartás miatt ekkor: 2. Érvényes a „rendőr szabály” is, azaz ha: valamint a h(x) olyan függvény, hogy f(x)  h(x)  g(x), akkor: A „közrefogott” függvény határértéke megegyezik a közrefogó függvények közös határérté- kével (ha az értelmezési tartományokkal sincs probléma). A szabály igazolása sorozatokkal egyszerű.

11 11 Nevezetes függvényhatárértékek 1. A „sorozat-analóg” határértékek: Következmény: az e számhoz konvergáló sorozatot átírhatjuk:, hiszen ha Ebből: (Az x>–1 a logaritmálás miatt). 2. Exponenciális és lineáris függvény hányadosára: Emlékszünk: ha a logaritmus alapja az e szám, akkor ln a logaritmus jele. Bizonyítás: lásd tankönyv. Bizonyítás: válasszuk az x-eket a ] 0;  /2 [ szakaszból. Rajzolhatunk: Az OAB háromszögben: AB=sinx (mert OB=1), a CB ív hossza x (radián), az OCD háromszögben: DC=tgx (mert OC=1). Felírható (látható is): Osztunk a (pozitív) sinx-szel és reciprokot képezünk: Ebből: (Művelettartás, rendőrszabály miatt.)

12 12 A 3. tétel levezetésben kapott határérték jobboldali, hiszen a pozitív x-ek felől közelítettük a nullát. De ismert: tehát a fenti igazolás a negatív x-ekre hasonlóan elvégezhető, a baloldali határérték is 1,1, így általánosan igaz az állítás. Példa: mert (bizonyítható) a sin(„valami”) o oo osztva ugyanazzal a „valami”-vel határértékben 1, ha az a „valami” tart 0-hoz. A határérték számolásnál néha trükköket alkalmazunk. Példa: Igaz: Ezt felhasználva: Megjegyzés: a függvényhatárérték számolásnál meghatározóan fontos, hogy hol, milyen változó értéknél vesszük a határértéket. Tehát, ha a lim „alá” nem írunk semmit, akkor a határérték nem számolható! Mást jelent és nem nevezetes például a határérték, ha például a 2 helyen vesszük:

13 13 6. A függvény folytonossága A matematikában a függvény folytonosságát pontbeli tulajdonságként értelmezzük. Definíció: az f(x) függvény folytonos egy x 0 pontban, ha egyszerre eleget tesz a következő 3 feltételnek: a függvényt értelmeztük az x 0 -ban és annak környezetében (van helyettesítési érték); van határértéke a függvénynek az x 0 pontban; a határérték megegyezik a helyettesítési értékkel, azaz: Fontos! A függvény gráfját (vonalát, görbéjét, képét) legtöbbször folyamatos „vonalhúzással” állítottuk elő. Ez a gyakorlat nem mindig követhető! Például Például: Ha a függvényutasítás: a függvényérték f(x)=1, ha x racionális szám. Ebben a függvényben a függvényértékek „végtelenül közel” vannak egymáshoz, hiszen bár- mely racionális számhoz végtelenül közel végtelen sok racionális szám van. Ugyanakkor minden (x;f(x)) függvénypont között „lyuk” van, mert bármely két racionális szám között van irracionális szám, tehát a definiált függvénypontok nem köthetők össze! Értelmezés: az f(x) függvény az x 0 pontban balról folytonos, ha „csak” a baloldali határ- érték egyezik meg a helyettesítési értékkel:

14 14 A jobboldali folytonosságnál: Például: az f(x)=[x] (egész rész függvény) az x 0 =2 helyen: A függvény helyettesítési értéke: f(2)=2, a baloldali határérték 1, a jobboldali határérték 2, így a függvény jobbról folytonos, balról nem. Definíció: az f(x) függvény az értelmezési tartományának egy szakaszán (egy inter- vallumon) folytonos, ha az intervallum minden pontjában folytonos. A függvény folytonos lehet a teljes értelmezési tartományán is. Nevezetes folytonos függvények 1. A hatványfüggvények (f: f(x)=x n ), ha n pozitív egész, mindenütt folytonosak. Példa: az f(x)=x függvénynél az értelmezési tartomány tetszőleges x 0 pontjában a helyettesítési érték: f(x 0 ). A határérték: A határérték egyenlő a helyettesítési értékkel, tehát a függvény folytonos. Tétel: A hatványfüggvények minden más n kitevő értéknél is folytonosak minden olyan helyen, ahol nincs szakadási helyük. A tételt nem bizonyítjuk. Az igazolásokat az f(x)=x-nél látottakhoz hasonlóan egyszerűen elvégezhetjük.

15 15 2. A trigonometrikus függvények (sinx, cosx, tgx, ctgx) folytonosak mindenütt, ahol nincs szakadásuk. 3. Az exponenciális (y=a x ) és logaritmus függvények is teljes értelmezési tartományukon folytonosak. Az alapfüggvények folytonosságának ismerete a határérték számítást is egyszerűsíti: ha tudjuk, hogy a függvény x 0 pontban folytonos, akkor a helyettesítési értéke lesz egyúttal a határérték. Például: az f(x)=x 6 határértéke az x 0 =2 pontban: Tétel: A folytonosság művelettartó. Tehát: két folytonos függvénnyel műveletet végezve (alapműveletek, összetett függvény kép- zés) a kapott új függvény is folytonos lesz, mindazokon a helyeken, ahol a művelettel az értel- mezési tartomány nem sérül, nem szűkül, a művelettel nem keletkezik szakadása. Példa: az f(x)=x 2 –5x+6 valamint a g(x)=x 2 –4 mindenütt folytonosak, összegük, különb- ségük, szorzatuk szintén, de a hányadosuk nem mindenütt! Ugyanis: Ez a hányadosfüggvény nem folytonos ott, ahol a nevező: x 2 -4= 0. Az x=2 helyen (itt megszűntethető a szakadás, a nevezőt „nullává tevő” tényező ugyanolyan alakban szerepel a számlálóban is), és az x=–2 helyen, itt a szakadás nem megszűntethető.

16 16 Gyakorló feladat: adott az függvény. Milyen értékeket adjunk az a, b és c számoknak, ha azt akarjuk, hogy a függ- vényünk minden valós számra folytonos legyen? A tört két folytonos függvény hányadosa, ami folytonos, ahol a nevező nem nulla. Átalakítás: Tehát nem folytonos a függvényünk az x 1 =0, az x 2 =1 és az x 3 =-1 helyeken. Olyan függvényértékeket kell megadnunk az adott pontokban, hogy megszűntessük a „foly- tonosság hiányát”, azaz a helyettesítési érték a határértékkel egyezzen meg. Az x 1 =0 helyen legyen Ekkor: A bal- és jobboldali határérték nem egyezik meg, tehát nincs határérték, így folytonossá sem tehető a függvény az x 1 =0 pontban.

17 17 Az x 2 =1 helyen a határérték képzés előtt elvégezhető a következő átalakítás: A képlettel adott függvényünknek megszűntethető szakadása van az x 2 =1 pontban. Ez azt jelenti, hogy azfolytonos ezen a helyen, így: Ha úgy döntünk, hogy az x=1 helyen a függvényérték -1,5 legyen, akkor ott a függvény folytonos lesz (a függvényérték egyenlő lesz a határértékkel). Az x 3 =–1 helyen szintén az igaz, hogy a baloldali határérték nem egyezik meg a jobbol- dalival, tehát nincs határérték, azaz folytonossá sem tehető a függvény. A fejezet tárgyalását befejeztük.


Letölteni ppt "1 Függvényjellemzők Készítette: Dr. Ábrahám István A diasorozat az Analízis 1. (Mozaik Kiadó 2005.) c. könyvhöz készült."

Hasonló előadás


Google Hirdetések