Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Matematika I. 2. heti előadás Deák Ottó mestertanár Műszaki Térinformatika 2013/2014. tanév szakirányú továbbképzés tavaszi félév.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Matematika I. 2. heti előadás Deák Ottó mestertanár Műszaki Térinformatika 2013/2014. tanév szakirányú továbbképzés tavaszi félév."— Előadás másolata:

1 Matematika I. 2. heti előadás Deák Ottó mestertanár Műszaki Térinformatika 2013/2014. tanév szakirányú továbbképzés tavaszi félév

2 Mi az a Maple? Általános célú számítógép-algebrai rendszer Windows alapú kezelőfelület Interaktív kezelési mód Programozható Problémamegoldásra alkalmas eszközrendszer Elméletileg teljesen megalapozott algoritmusok Könnyű kezelhetőség

3 1. lecke Feladat:Bizonyítsuk be, hogy ha egy negyedfokú polinom négy valós gyöke számtani soro- zatot alkot, akkor ugyanez igaz a derivált- jára is! Értelmezés: Egy negyedfokú polinomnak 4 gyöke van; A számtani sorozat négy egymást követő tagja: a, a+d, a+2·d, a+3·d: A polinom felírható gyöktényezős alakban: p(x)=(x-x 1 ) ·(x-x 2 ) ·(x-x 3 ) ·(x-x 4 ); A p’(x) polinomnak 3 gyöke lesz; Kérdés: Ezek számtani sorozatot alkotnak?

4 1. lecke megoldása

5 Mit tanultunk a Maple-ből? A parancsokat pontosvesszővel zárjuk le. Egy pa- rancs több sorból is állhat és egy sorban több pa- rancs is megadható. Több soros parancsnál az Enter billentyűvel lépünk az újabb sorba. Az értékadás operátora a := jelsorozat. A diff(f,x) parancs az f kifejezés x szerinti deri- váltját állítja elő. A solve(f=0,x) parancs az f=0 egyenletet oldja meg x-re. Sorozat a Maple-ben: olyan adattípus, ami a Maple objektumok vesszővel elválasztott sorozatából áll. Elemeire index segítségével hivatkozhatunk.

6 Az 1. lecke gyakorló feladatai 1.feladat:Keressük meg az alábbi egyenletek gyö- keit! a)x ·x ·x + 2 = 0 b)3 ·x ·x 2 + x - 6 = 0 c)a ·x 2 + b ·x + c = 0 2.feladat:Tekintsük az f(x) = x · x 2 függvényt, és a belőle származtatott y(x)=x·f(x-1) negyedfokú polinomot. Mutassuk meg, hogy az y deriváltjának gyökei mértani sorozatot alkotnak!

7 Az 1. gyakorló feladat megoldásai

8 A 2. gyakorló feladat megoldása

9 A 2. lecke Feladat:Tekintsük az f=4·x 4 +4·x 3 -13·x 2 -7·x+8 po- linomot! a)Határozzuk meg az f összes valós gyökét! b)Rajzoljuk fel f-et olyan intervallumban, ami az összes gyököt tartalmazza! Törekedjünk arra, hogy szép ábrát kapjunk! c)Határozzuk meg az f érintőjének egyenletét az x=0 pontban, és rajzoljuk fel ugyanarra az ábrára az f-et és az érintőt!

10 A 2. lecke megoldása

11

12

13

14

15

16 Mit tanultunk a Maple-ből (I.)? A solve eljárás elfogad egyenlet helyett kifejezést is, és ekkor a kifejezés=0 egyenletet oldja meg. A max és a min eljárás a paraméterként megadott sorozat legnagyobb illetve legkisebb elemét hatá- rozza meg. A plot eljárás legegyszerűbb hívása: plot(kifejezés,x=a..b). Ennek hatására a kifejezés által meghatározott görbét a rendszer az [a,b] zárt intervallumon ábrázolja. Ha a plot eljárásnak kifejezések halmazát adjuk meg, akkor a görbéket a rendszer egy ábrán jeleníti meg, különböző színekkel.

17 Mit tanultunk a Maple-ből (II.)? Kifejezések helyettesítési értékét a subs eljárással állíthatjuk elő. Ennek legegyszerűbb formája a subs(változó=kifejezés1,kifejezés2). Hatására a változó minden egyes kifejezés2-beli előfordulása a kifejezés1 értékével helyettesítődik. Figyelem: a helyettesítés a kifejezés2-t nem változtatja meg! A halmaz adattípus MAPLE objektumok kapcsos zárójelbe zárt sorozata, mely elemeinek rende- zetlen összessége. A halmazokkal műveletek is végezhetők: union, intersect és minus.

18 A 2. lecke gyakorló feladatai 3.feladat: Rajzoljuk fel a következő függvényeket különböző intervallumokon! a)x 4 -2 · x ·x ·x + 12 b)x ·x ·x feladat: Tekintsük az f=4·x 4 +4·x 3 -13·x 2 -7·x+8 polinomot! a)Határozzuk meg az f összes valós gyökét! b)Rajzoljuk fel f-et olyan intervallumban, ami az összes gyököt tartalmazza! Törekedjünk arra, hogy szép ábrát kapjunk! c)Határozzuk meg az f érintőjének egyenletét az x=1.2 pontban, és rajzoljuk fel ugyanarra az ábrára az f-et és az érintőt!

19 A 3/a. gyakorló feladat megoldása

20 A 3/b. gyakorló feladat megoldása

21 A 4. gyakorló feladat megoldása (I.)

22 A 4. gyakorló feladat megoldása (II.)

23 A 3. lecke Feladat:Készítsük el az f=(x 5 +8*x 2 -2*x-6)/(x 5 +1) függvény ábráját úgy, hogy az jól mutassa az f viselkedését! Kérdés:Mi jellemzi egy függvény „viselkedését”? Válasz:Zérushelyek Szélsőértékek Határértékek (véges és végtelen)

24 A 3. lecke megoldása

25

26

27

28

29

30

31 Mit tanultunk a Maple-ből (I.)? Az fsolve eljárás megadja a függvények gyökeinek valós közelítését. Polinom esetében fsolve az összes gyököt; minden más esetben egy gyököt közelít. Az fsolve-nak opcióként megadható, hogy a gyököt milyen intervallumban keresse: fsolve (f,x,x=a..b). A numer eljárás a paraméterként adott tört vagy törtfüggvény számlálóját adja. A nevező a denom eljárással állítható elő. A realroot egyváltozós polinomok gyökeit izolál- ja. Outputja [[a 1..b 1 ],…[a n..b n ]] alakú, ahol az [a i..b i ] intervallumok mindegyike egy-egy gyököt tartalmaz.

32 Mit tanultunk a Maple-ből (II.)? A realroot egyéb könyvtári eljárás, amit a readlib(realroot) utasítással kell elérhetővé tenni. Az f kifejezés i-dik deriváltját a diff(f,x$i) parancs közvetlenül előállítja. A limit eljárás függvények végesben és végtelenben vett határértékeit határozza meg. Tehát limit(f,x=a) nem más, mint az f határértéke, miközben x tart az a-hoz. A plot eljárásban harmadik paraméternek op- cióként megadhatjuk a függvényértékek ábrázolási tartományát. Tehát a plot szintaxisa: plot(f,x=a..b,y=c..d);

33 A 3. lecke gyakorló feladatai 5.feladat: Izoláljuk az alábbi polinomok gyökeit, és adjuk meg mindegyik intervallumra a gyököt! a)x 3 -3 · x 2 - 1b)x 4 - x - 1 c)x 3 -7 ·x ·x - 1d)x 4 + x feladat: Határozzuk meg az alábbi határértékeket! a)limit(sin(x)/x,x=0) b)limit(n/(3 · n 2 +1),n=infinity) c)limit((n 2 +1)/(2 · n+1)-(3 ·n 2 + 1)/(6 ·n+2), n=infinity) 7.feladat: Vizsgáljuk meg az alábbi függvények szélső- érték helyeit és rajzoljuk fel egy ábrába az első és a második deriváltakat! a)f = x ·x ·x b)f = sin(x) + x ·cos 2 (x)


Letölteni ppt "Matematika I. 2. heti előadás Deák Ottó mestertanár Műszaki Térinformatika 2013/2014. tanév szakirányú továbbképzés tavaszi félév."

Hasonló előadás


Google Hirdetések