Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

1 Matematikai Analízis elemei dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém 2007.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "1 Matematikai Analízis elemei dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém 2007."— Előadás másolata:

1 1 Matematikai Analízis elemei dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém 2007.

2 2 > = … Analízis … VEGLKGB143M > > vizsgák: írásbeli, példák+elm jan. 4, 11, 18, 25 (péntek) 10:00'-12:00'

3 3 Műszaki Kiadó, "Bolyai könyvek" sorozat (példatárak)

4 4 Terv: 1. Függvénytani alapfogalmak: ÉT, ÉK, grafikonok rajzolása, elemi (nevezetes) függvények. Inverz- és összetett függvények. 2. Sorozatok határértéke: Elemi átalakítások, nevezetes sorozatok. (1+ s / n ) n és "végtelen/ végtelen" alakú feladatok. 3. Sorok határértéke, mértani sorok. 4. Függvények határértéke: egyszerűbb feladatok. 5. Differenciálszámítás alapjai. 6. Függvényvizsgálat, szöveges szélsőérték feladatok. 7. Differenciálszámítás alkalmazásai: érintő egyenlete, Taylor polinomok, L'Hospital szabály 9. Primitív függvények: elemi integrálok, parciális- és helyettesítéses integrálás. 10. Határozott integrál: Newton-Leibniz szabály, területszámítás. Improprius integrálás.

5 5 1. Függvénytani alapfogalmak : y = f(x) = … vagy f : x |---> y Jelölések: Dom(f) := D f = ÉT (=Dominium="kikötés") az f függvény értelmezési tartománya, Im(f) := Range(f) = Ran(f) = R f = ÉK (=Image=Range) az f függvény értékkészlete. HF: ism. Elemi (alap-) függvények: mx+b, x 2, x 3, x 1/2, 1/x, a / (x-b), sin(x), cos(x), tan(x)=tg(x), cotan(x)=ctg(x), exp(x)=e x, exp a (x)=a x, log(x)=lg(x), ln(x)=log e (x) /e~ /, HF: ism., ábrák

6 6 Pl.

7 7 1.b) Függvények inverze f : x |---> yés Dom(f) x <---| y : f -1 és Dom(f -1 ) Észrevétel: f nem invertálható, ha van x 1 =/= x 2 amelyekre f(x 1 ) = f(x 2 ). Definíció: f injektív (egy-egy értelmű), ha nincs fenti x 1 és x 2, azaz: x 1 =/= x 2 esetén f(x 1 ) =/= f(x 2 ). Ellenőrzése a gyakorlatban: f(x 1 ) = f(x 2 ) =>... => x 1 = x 2. f -1 meghatározása: y = f(x) =>... => x = f -1 (y).

8 8 Pl. tehát invertálható.

9 9

10 10 például: négyzetre emeléskor az előjel eltűnik... =>

11 11 grafikusan: tükrözés az y=x egyenesre:

12 12 y=a x

13 13 log a (x)

14 14

15 15 és !!!!! g(x)="belső függvény", f(x)="külső függvény" !!!!! 1.c) Összetett függvények (fv.-ek kompozíciója) Definíció: Legyenek g : A ->B és f : Y → Z tetszőleges függvények, Im(g ) ∩ Dom(f) ≠ 0. Ekkor h : =f o g az f és g függvények kompozíciója a következő: h(x) := (f o g)(x) := f(g(x)) és Dom(h) = { x € Dom(g) : g(x) € Dom(f) }. Pl.

16 16 Pl.: a n = a 10 = 115 / 78 ~ 1, a 20 = 435 / 348 = 1,25- a 100 = / 9708 ~ 1, a 1000 = / ~ 1, a = / ~ 1, Sorozatok Definíció: számsorozat = numerikus sorozat : Tetszőleges a : N -> R függvényt sorozatnak nevezünk. Az a(n) értéket általában a n -el jelöljük. sejtés: ebben a példában

17 17 Definíció: Az { a n } sorozat konvergens, ha létezik olyan A € R szám, amelyre: tetszőleges ε > 0 pozitív számhoz (="hibahatár") létezik olyan n 0 € N természetes szám (="küszöbszám"), amelyre tetszőleges n>n 0 számra : | a n - A | < ε (=a n eltérése A -tól). A fenti A számot hívjuk a sorozat (véges) határértékének (=limesz), és így jelöljük: lim n->oxo a n = A vagy a n -> A. Definíció: Az { a n } sorozatot konvergensnek nevezzük, ha létezik fenti (véges) határértéke. Az { a n } sorozatot divergensnek nevezzük, ha nem konvergens.

18 18 Számolás: esetén a nevező legnagyobb tagjával egyszerűsítünk: Nevezetes határértékek, tételek, módszerek: Ld. "Konvergencia kritériumok" 1.old. a honlapon ! Feladatok: Ld. Feladatgyűjtemény 2.fejezet, 2.1, 2.4, 2.8 feladatok a honlapon !

19 19 Definíció: Az {a n } sorozat határértéke +oxo ha tetszőleges p € R szám esetén van olyan n p € N szám (= "küszöbszám") amelyre minden n>n p esetén a n > p. A fentieket így jelöljük: lim n->oxo a n =+oxo vagy a n ->+oxo. Definíció: Az {a n } sorozat határértéke -oxo ha tetszőleges p € R szám esetén van olyan n p € N szám (="küszöbszám"), amelyre minden n>n p esetén a n < p. A fentieket így jelöljük: lim n->oxo a n = -oxo vagy a n -> -oxo. ((mindössze két helyen van változás!!))

20 20 Fontos példa: Felhasznált tétel: (ld."kritériumok")

21 21 3. Sorok !!! Sor =/= sorozat !!!


Letölteni ppt "1 Matematikai Analízis elemei dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém 2007."

Hasonló előadás


Google Hirdetések