Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Matematika III. előadások MINB083, MILB083 Gépész és Villamosmérnök szak BSc képzés 2007/2008. őszi félév.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Matematika III. előadások MINB083, MILB083 Gépész és Villamosmérnök szak BSc képzés 2007/2008. őszi félév."— Előadás másolata:

1 PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Matematika III. előadások MINB083, MILB083 Gépész és Villamosmérnök szak BSc képzés 2007/2008. őszi félév 3. téma Vonalintegrálok értelmezése és kiszámítása. Munka számítása. Vonalintegrál függetlensége az úttól. Vektormező rotációja. Potenciál függvény meghatározása vonalintegrálokkal. Vonalintegrálok és a tartományon vett kettős integrálok kapcsolata: Green - formula. Területszámítás vonalintegrálokkal.

2 PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Vonalintegrálok értelmezése Definíció: Ha létezik az S n összegeknek a határértéke n →∞ és feltételek mellett, akkor ezt a határértéket nevezzük a v(r) vektormező r(t) görbe menti vonalintegráljának. Jelölése x y z A=P 0 B=P n P1P1 P2P2 P3P3 P k-1 PkPk QkQk Legyen adva egy G görbe, melynek paraméteres előállítása és egy v(r) vektormező, melynek koordinátái Osszuk fel az [a,b] paraméter tartományt és ezzel együtt a görbét is n részre Válasszunk mindegyik [t k-1,t k ] részintervallumon egy közbenső ξ k helyet Képezzük az alábbi skaláris szorzatok összegét

3 PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Erőtérben mozgó test munkája Jelöljük az F(r) erőtér koordinátáit a következőképpen Ha egy test mozog az F(r) erőtérben a G útvonal mentén, akkor a végzett munka az erőtér vonalintegrálja lesz az adott útvonalon. Az erővektornak és az elmozdulás vektornak a skaláris szorzata a munka, ezért az összegben szereplő minden tag egy kis elmozdulás alatt végzett átlagos munkát jelöl. x y z A=P 0 B=P n P1P1 P2P2 P3P3 P k-1 PkPk QkQk Az összegzéssel és a megfelelő határérték képzéssel kapott vonalintegrál az erőtérben mozgó és a G útvonal megtétele közben befektetett munkát vagy nyert munkát adja, attól függően, hogy pozitív vagy negatív az integrál értéke.

4 A vonalintegrál tulajdonságai és kiszámítása PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály 3. Ha a görbe x=x(t), y=y(t) és z=z(t) paraméteres előállításában a függvények folytonosan differenciálhatók, akkor a vonalintegrált kiszámíthatjuk t-szerinti integrállal. 1. Ha a görbe irányítását ellenkezőjére változtatjuk, akkor a vonalintegrál előjelet vált. 2. Ha az AB görbét a C ponttal két részre osztjuk, akkor az AC és CB görbéken vett vonal- integrálok összege egyenlő az AB görbén vett vonalintegrállal. A B A t paraméter helyére (-t)-t tesszük. C A B x helyébe x(t)y helyébe y(t)z helyébe z(t) t szerinti integrál

5 Példa vonalintegrál számítására PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Határozzuk meg a vektormező vonalintegrálját a K:, egység- körvonal mentén pozitív irányítás mellett. Teljes körvonal x(t)y(t)x(t)y(t)

6 Munka gravitációs és rugalmas erőtérben Munka gravitációs és rugalmas erőtérben 1. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Tekintsünk egy m tömegű testet, amelyre minden pillanatban az origó felé mutató, az origótól való távolsággal egyenesen arányos rugalmas erő és a gravitációs erő együttese hat. Mozgassuk a testet az A(r;0;0) ponttól a B(r;0;h) pontig olyan csavarvonal mentén, melynek menetemelkedése h és tengelye z-irányú. Mekkora munkát végzünk a mozgás során?. Rugalmassági erő D>0 a rugalmassági tényező Gravitációs erő A kettő erő ellenében kell munkát végezni, ezért az összeg (-1)-szeresét vesszük! A csavarvonal paraméteres egyenlete

7 PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Munka gravitációs és rugalmas erőtérben Munka gravitációs és rugalmas erőtérben 2. Lokalizáljuk a vektormezőt a csavarvonalra, azaz a vektormező koordinátái helyére helyettesítsük x, y és z helyére a görbe paraméterrel adott függvényeit! Képezzük a görbe érintő vektorát! A két vektor skaláris szorzatának integrálja adja a vonalintegrált! Rugalmassági energia Potenciális energia lokalizáció

8 Vonalintegrál függetlensége az úttól 1. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Vigyük az előző testet az A(r;0;0) pontból a B(r;0;h) pontba egyenes út mentén és számoljuk ki a munkát! Képezzük a görbe érintő vektorát! Az előző értéket kaptuk! Tehát a munka független az út alakjától! Az egyenes paraméteres egyenlete

9 PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Vonalintegrál függetlensége az úttól 2. TÉTEL Ha a v(r) vektormezőnek létezik U(r) potenciálja egy összefüggő T tartományban, akkor a vonalintegrál értéke független az út alakjától, csak az A kezdő és B végponttól függ. Bizonyítás Legyen, azaz Legyen a görbe paraméteres egyenlete

10 Rugalmas erőtér és a nehézségi erőtér potenciálja PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Keressük meg az rugalmas erőtér potenciál függvényét! Mivel olyan U(x,y,z) függvényt keresünk, amelyre 1. Példa mindegyike teljesül, ezért az függvény rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal! Keressük meg az nehézségi erőtér potenciál függvényét! 2. Példa Most olyan U(x,y,z) függvényt keresünk, amelyre Mindhárom feltételt teljesíti a U(x,y,z) = -m·g·z függvény.

11 PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Vonalintegrál függetlensége az úttól 2. TÉTEL Ha a v(r) vektormezőnek létezik olyan U(r) potenciálja az összefüggő D tartományban, melynek másodrendű parciális deriváltjai folytonosak, akkor a vektormező rotáció vektora nulla, ahol a rotáció Bizonyítás Mivel, azaz ezért A kapott egyenletek különbségei a rotáció vektor komponensei!

12 A potenciál létezésének szükséges feltétele, hogy a rotáció vektor nulla legyen! Nézzük a koordináták parciális deriváltjainak különbségét! Mivel a rotáció vektor mindhárom koordinátája nulla, ezért a potenciálfüggvényt vonalintegrállal is előállíthatjuk. Integráljunk az origótól a P(x;y;z) pontig egyenes mentén. Az egyenes paraméteres egyenlete Potenciál meghatározása Egyszerűbb alakra hozva

13 Green - formula PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály TÉTEL Az xy - sík zárt D tartományának C határa álljon véges sok zárt és sima görbébõl! Ha a P(x,y), Q(x,y) függvények folytonosan parciálisan differenciálhatók D-ben és határán, akkor ahol a vonalintegrált a C határ mentén olyan irányban kell venni, hogy a D tartomány belseje balkéz felé essen. D = A D tartomány C határa két részb ő l áll: C 1 - irányítása az óramutató járásával ellentétes, C 2 -irányítása az óramutató járásával megegyezõ

14 PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Példa Green-formulára 1. Számoljuk ki a kettősintegrált! =

15 PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Példa Green-formulára 2. Számoljuk a vonalintegrálokat! B(0;1)- től C(1,1)-ig Az egyenes paraméterese alakja: x=t, y= t, t=0..1 C(1,1)- től B(0;1) - ig Az egyenes paraméterese alakja: x=-t, y= 1, t=0..1 Az egyenes paraméterese alakja: x=0, y= -t, t=0..1B(0;1)- től A(0,0)-ig A három vonalintegrál összege= Ez megegyezik a kettős integrál értékével!

16 Területszámítás vonalintegrálokkal PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály A Green-formula P(x,y)= -y és Q(x,y) = x választása esetén Ekkor a kettõs integrál a D zárt tartomány T területének 2-szeresét adja. = 2 D Így a D tartomány T területét vonalintegrállal kiszámíthatjuk az alábbi formula alapján =

17 Ellipszis területe vonalintegrállal PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály a=2, b=3 Az ellipszis paraméteres egyenletrendszere Az a=b=R speciális esetben az ellipszis kör lesz, és ekkor a képlet visszaadja a kör területének T=R 2 · p ismert képletét! A függvények deriváltja


Letölteni ppt "PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Matematika III. előadások MINB083, MILB083 Gépész és Villamosmérnök szak BSc képzés 2007/2008. őszi félév."

Hasonló előadás


Google Hirdetések