9.10 feladat: arra kellett törekedni, hogy a magyar köznyelvben is elképzelhető mondatokká fordítsuk le a FOL-mondatokat. („clear english”) Ez nem mindig volt lehetséges. Fordítási sémák: Minden blabla … : x(Blabla(x)  …) (Ha már vannak változók a mondatunkban, akkor x helyén célszerű új változót szerepeltetni.) Van olyan blabla, amely … : x(Blabla(x)  …) Igazságfeltételek: Mi a különbség x(Large(x)  Tet(x)) és y(Large(y)  Tet(y)) között? Semmi, ezek szinonímak (ekvivalensek). x(Large(x)  Tet(x))  y(Large(y)  Tet(y)) igazságához kell két nagy tetraéder? És ehhez xy(Large(x)  Tet(x)  Large(y)  Tet(y))? Hogyan kellene megváltoztatni? x(Large(x)  Tet(x)) igazságához mi szükséges? ‚Ha valami’ mást jelent! (‚Minden, ami’ szinonímája.) Ekvivalens alak: x(Large(x)  Tet(x))

Logikai igazságok, helyes következtetések – újak és régiek x Él(x) x Virul(x) x(Él(x)  Virul(x)) x Él(x) x Virul(x) x Él(x)  x Virul(x) Nem következmény Tarski-ellenpélda? x Él(x)  x Virul(x)  x (Él(x)  Virul(x)) x Él(x)  x Virul(x)  x Él(x)   x Virul(x) Elsőrendű következmény (FOCon) Kijelentéslogikai következmények (TautCon)

A tárgyalási univerzum nem lehet üres! Hasonlóképpen logikai igazságokkal: xTet(x) xTet(x) logikai igazság (tautológia) xTet(x) xTet(x) nem logikai igazság x(Tet(x) Tet(x)) (FO) logikai igazság, de nem tautológia. xTet(x)   xTet(x) ugyancsak FO logikai igazság, de nem tautológia. xTet(x)   xTet(x) tautológia. Definíció: Az elsőrendű nyelv egy mondata tautológia, ill. egy következtetése tautologikusan helyes (másképp: a konklúzió tautologikusan következik a premisszákból), ha a kijelentéslogikai formája tautológia, illetve helyes kijelentéslogikai következtetési séma. A kijelentéslogikai forma úgy áll elő, ha a kijelentéslogikában tovább nem bontható részmondatokat mondatbetűkkel helyettesítjük. A tárgyalási univerzum nem lehet üres!

Kijelentéslogikai forma: az, amit akkor is látnánk egy mondatból, ha nem lennének kvantoraink. Pl. a házi feladat: az 1-9. és a 12. mondat kijelentéslogikában nem felbontható. A 10. és a 11. mondat konjunkció – kijelentéslogikai formájuk tehát A  B. Algoritmus a kijelentéslogikai (truth-functional) forma előállítására az elsőrendű nyelv egy zárt mondatából: Balról jobbra elkezdjük olvasni a mondatot. Ha kvantorhoz érünk, elkezdünk egy aláhúzást, amely a kvantifikáció hatókörének végéig tart. Ha predikátumhoz érünk, aláhúzzuk azt az atomi mondatot, amelyben ő a predikátum. Ha az, amit aláhúztunk, még nem szerepelt korábban, akkor megcímkézzük egy új mondatbetűvel. Ha szerepelt, akkor azzal a betűvel címkézzük meg, amivel az azonos mondatot korábban. Ezután tovább folytatjuk az olvasást az aláhúzás végétől jobbra. Ha a formula végére értünk, kész vagyunk az annotálással. Ezután minden részmondatot a címkéjével helyettesítünk. KÉSZ.

Példa: (x(Cube(x) y(FrontOf(x, y)  BackOf(x, y))) (zDodec(z)  Cube(a)))(xCube(x)  Cube(a)) (x(Cube(x) y(FrontOf(x, y)  BackOf(x, y)))A (zDodec(z)  Cube(a)))(xCube(x)  Cube(a)) (x(Cube(x) y(FrontOf(x, y)  BackOf(x, y)))A (zDodec(z) B Cube(a)))(xCube(x)  Cube(a)) (x(Cube(x) y(FrontOf(x, y)  BackOf(x, y)))A (zDodec(z) B Cube(a)C))(xCube(x)D  Cube(a)) (x(Cube(x) y(FrontOf(x, y)  BackOf(x, y)))A (zDodec(z) B Cube(a)C))(xCube(x)D  Cube(a)C) Itt készültünk el az annotációval. Ennek alapján a kijelentéslogikai forma a következő: (A  (B  C))  (D   C)

(nyelv-családhoz) képest!!! Centrális logikai fogalmak - újra Logikai igazság: minden lehetséges világban igaz Logikai következmény [helyes/érvényes következtetés]: minden világban, ahol a premisszák igazak, a konklúzió is igaz. Logikailag ekvivalensek: ugyanazokban a világokban igazak. Lehetséges világok: nyelvhez (nyelv-családhoz) képest!!! Kijelentéslogikai igazság (tautológia): a kijelentéslogikai formája logikai igazság. Azaz bármilyen igazságértéket rendelünk a mondatbetűkhöz, az egész mondat igaz. Kijelentéslogikai (tautologikus) következmény: Ha úgy rendelünk igazságértéket a mondatbetűkhöz, hogy a premisszák igazak, akkor a konklúzió is igaz lesz. Kijelentéslogikailag (tautologikusan) ekvivalensek: bárhogy rendelünk a mondatbetűkhöz igazságértéket, egyszerre igazak . Lehetséges világok: a mondatbetűk igazságértékelései.

Centrális logikai fogalmak az elsőrendű logikában Elsőrendű logikai igazság, avagy érvényes mondat (FO validity) Elsőrendű (logikai) következmény, avagy elsőrendben érvényes következtetés Elsőrendű (logikai) ekvivalencia A lehetséges világok most olyanok, mint a Tarski-féle világok: minden predikátumnak van terjedelme, minden névnek van jelölete. De ezeket szabadon választhatjuk meg, a predikátumok jelentését is figyelmen kívül hagyhatjuk (kivéve az azonosságpredikátumot). Csak az elsőrendű logika konstansainak jelentése számít.

Elsőrendű logikai igazság az a FOL-mondat, amelyik igaz lesz, akárhogy adjuk meg a szereplő predikátumok terjedelmét és a nevek jelöletét. Szokásos módszer: egy predikátum terjedelmét egy másik predikátum adott(nak tekintett) terjedelmével azonosítjuk. Elsőrendű logikai következménye egy FOL-mondat (konklúzió) adott FOL-mondatoknak (premisszák) ha akárhogy adjuk meg a szereplő predikátumok terjedelmét és a nevek jelöletét, amennyiben a premisszák igazak lesznek, úgy a konklúzió is igaz lesz. Más szavakkal: érvényes a következtetés a premisszákról a konklúzióra. Elsőrendűen (FOL-ban) ekvivalens két FOL-mondat, ha … Egyszerűbben: ha kölcsönosen következményei egymásnak. Mindegyik fogalom tágabb, mint a megfelelő kijelentéslogikai fogalom (tautológia, tautologikus következmény, tautologikus ekvivalencia) és szűkebb, mint az általános logikai (analitikus) igazság. HF: 10.3, 10.4

x(x > 0  x =0)  x(x >0  x=0) Tautológia. xy((Páros(x)  x=y)  Páros(y)) FO igazság, de nem tautológia. x(x > 0  x =0) Logikai (analitikus) igazság a természetes számok aritmetikájának nyelvében, de nem FO igazság. xyz((x>y  y>z)  x>z) Logikai igazság minden olyan nyelvben, ahol ‘>’ azt jelenti, hogy nagyobb, de nem FO igazság. Tudunk a ‘>’ predikátumhoz olyan terjedelmet rendelni, hogy ez a mondat ne legyen igaz. Például legyen az univerzum emberek egy halmaza, és legyen ‘x>y’ akkor igaz, ha x szülője y-nak.

x(Larger(x, a)) (1) x(Larger(b, x)) (2) Következik-e ezekből logikailag/elsőrendben, hogy Larger(a, b)? Larger(b, a) (3) (1)-ből, FO következmény Larger(a, b)  SameSize(a, b) (4) (3)-ból, AnaCon Lehet-e SameSize(a, b) úgy, hogy (1) és (2) igaz? Legyen a világban sok blokk, de mind azonos méretűek. Legyen csak kettő, a és b, azonos méretűek. Legyen csak egy, legyen ‘a’ is, ‘b’ is az ő neve. És azzal a pótpremisszával, hogy Larger(c,d)? Így már logikailag (analitikusan) következik. De elsőrendben nem, mert ha FO következmény lenne, nem számítana a ̒Larger ’ predikátum jelentése. Jelentse most ‘Larger(x, y)’ azt, hogy x szereti y-t. Vegyünk egy olyan univerzumot, ahol van egy személy, b, aki senkit sem szeret, van egy másik, a, akit senki se szeret, és van még két személy, akik szeretik egymást, legyenek ők c és d. Semmi akadálya sincs annak, hogy a se szeresse b-t. Ez egy ellenpélda: bizonyítja, hogy a két premisszának nem FO-következménye ‘Larger(a, b)’. Példák: FO Con1