A Hazug paradoxona Minden krétai hazudik. (Mondta egy krétai.) Tit. I. 12 nyomán Lehet-e ez a mondat igaz? És hamis? És ha ő az egyetlen krétai (és máskor sem szólalt meg)? (L) Az L mondat hamis. Tegyük fel, hogy L igaz. Akkor úgy van, ahogy mondja, tehát az L mondat hamis. Lehetetlen. (1) Tegyük fel, hogy L hamis. De L éppen azt állítja, hogy L hamis, tehát akkor L igazat állít. Lehetetlen. (2) Szerző: vagy krétai Epimenidész (Kr.e. V. sz.), vagy megarai Eubulidész (Kr. e. IV. sz.). Nagy valószínűséggel az utóbbi.

T-ekvivalencia Legyen az S név egy (bármilyen nyelvű) mondat megnevezése, a p betű pedig pedig rövidítse ugyanannak a mondatnak a fordítását a mi nyelvünkre. Az S mondat akkor és csak akkor igaz, ha p. A ̒Snow is white’ mondat akkor és csak akkor igaz, ha a hó fehér. Egy igazságdefiníció tartalmilag adekvát, ha minden (konkrét) T-ekvivalencia következik belőle. (A. Tarski) Ha az ̒̒Az L mondat hamis’ mondat igaz, akkor az L mondat hamis. (A T-ekvivalencia egyik fele, diszkvotáció.) (2) Ha az L mondat hamis, akkor az ̒̒Az L mondat hamis’ mondat igaz. (Az ekvivalencia másik fele.) Tehát az L mondat se igaz, se hamis nem lehet. Marad az, hogy igazságérték nélküli mondat.

Erős hazug Ha vannak igazságérték nélküli mondatok, akkor ̒̒hamis’ nem ugyanazt jelenti, mint ̒̒nem igaz’. Egy mondat nem igaz, ha hamis vagy igazságérték nélküli. (L*) L* nem igaz. Ha L* igaz, akkor L* nem igaz, azaz hamis vagy igazságérték nélküli. Lehetetlen. Ha L* nem igaz, akkor vagy hamis, vagy igazságérték nélküli. De L* mindenképpen igaz. Lehetetlen. Ha elismerjük igazságérték nélküli mondatok létezését (azaz az igazságértékrés lehetőségét), azzal nem nyerünk semmit.

Kitérő: a szarvas ember Nem vesztetted el a szarvaidat. Tehát megvannak a szarvaid. (Megint Eubulidész.) Modern változat: igaz-e hogy Ön már nem veri a feleségét? Az A mondat preszuppozíciója a B mondat akkor, ha A igazságából is, hamisságából is következik B. Tehát ha B hamis, akkor A sem igaz, sem hamis nem lehet. Másik példatípus: A jelenlegi francia király kopasz. (K) Preszuppozíció: Franciaországnak van jelenleg (egy és csak egy) királya. Ezek szerint a K mondatnak nincs igazságértéke. Ez a nem jelölő deskripciók Frege-Strawson-féle kezelése. Próbáljuk L-re alkalmazni. A preszuppozíció az lehetne, hogy L-nek van igazságértéke. De az erős hazugtól ez sem véd meg, mert annak nem preszuppozíciója ugyanez.

Másik megoldás: Russell deskripcióelmélete Nincs igazságértékrés, a mondatok (implicite) állítják a preszuppozíciójukat. A deskripciókat tartalmazó szinguláris állítások valójában kvantifikált állítások. Az ‘A jelenlegi francia király kopasz’ mondat valójában ezt jelenti: Franciaországnak jelenleg van egy és csak egy királya, és az illető kopasz. Az ‘A jelenlegi francia király nem kopasz’ pedig ezt: Franciaországnak jelenleg van egy és csak egy királya, és az illető nem kopasz. A hazug-mondat russelliánus átírása: (LR) Van egy és csak egy mondat, amit éppen most mondok, és az a mondat hamis. A típuselmélet szerint a mondatban levő kvantor csak a mondat típusánál alacsonyabb típusú objektumok felett kvantifikálhat. Tehát az LR mondat hamis, mert nincs ilyen alacsonyabb típusú mondat, azt a tartalmat pedig, amit a hazug-mondatnak tulajdonítunk, nem lehet a típuskorlátozások (a hibás kör elve) megsértése nélkül kifejezni.

Tarski tétele Az igazság definiálhatatlansága: Ha egy nyelvben a nyelv minden mondata megnevezhető, akkor nem lehetséges benne tartalmilag adekvát és ellentmondásmentes igazságdefiníció. Bizonyítás: a hazug paradoxona. Tarski megoldása: Az igazságdefiníció (a mondatok megnevezésével együtt) egy másik nyelvhez tartozik, mint amelynek amondatairól szól. Utóbbi a tárgynyelv, előbbi a metanyelv. A metanyelv mondataira érvényes igazságdefiníciót a meta-metanyelv tartalmazhatja, és így tovább a végtelenségig (Tarski-hierarchia). Egy elsőrendű nyelv mondataira úgy adunk igazságdefiníciót, hogy megadjuk a névkonstansok jelöletét és a predikátumok terjedelmét (azaz azt, hogy mely atomi mondatok igazak), és aztán a kiszámítási szabályokat az összetett mondatokra. Ez éppen az igazságdefiníció Tarski-féle módszere. Ha természetes nyelvekel foglalkozunk, a tárgynyelv lehet része a metanyelvnek. Pl. az a része, amely nem tartalmaz szemantikai predikátumot (‘igaz’, ‘terjedelem’, stb.) és nem tartalmazza mondatainak nevét sem. A metanyelvben ugyanezek már értelmezve vannak a tárgynyelv kifejezéseire, a meta-metanyelvben a metanyelv kifejezéseire és így tovább.

Gödel nem-teljességi tételei, a hazug-paradoxon és a Tarski-tétel Legyen a tárgynyelv a természetes számok aritmetikájának nyelve, a metanyelv a közlési nyelv. Ebbe a tárgynyelvbe lefordíthatók bizonyos metanyelvi predikátumok (‘mondat’, ‘axióma’, ‘levezetés’, ‘bizonyítható’). Ezek jellemzően szintaktikai predikátumok. A fordítás módszere a Gödel-számozás: a tárgynyelv minden jelsorozatát egy-egy természetes számmal kódoljuk, kölcsönösen egyértelmű (azaz visszafejthető) módon. Egy jelsorozat akkor és csak akkor lesz mondat, ha a kódszáma bizonyos számelméleti tulajdonságokkal rendelkezik. Mondatok egy adott sorozatára nézve ugyanígy definiálható, hogy mikor lesz bizonyítás. Az, hogy mi bizonyítás, attól függ, hogy milyen axiómák és levezetési szabályok vannak. Az ‘igaz’ természetesen nem fordítható le, a Tarski-tétel miatt. Van olyan G mondat, amely az ‘A G mondat nem bizonyítható’ metanyelvi mondat fordítása. Ha a bizonyíthatóság és az igazság egybeesne, akkor ez éppen a hazug-mondat lenne. A(z első) nem-teljességi tétel azt mondja ki, hogy nem eshet egybe. A második: a G mondat szerepét betöltheti egy olyan mondat is, ami akkor és csak akkor igaz, ha az aritmetika ellentmondásmentes.