Hajnal Imre Matematika Tesztverseny és Módszertani Nap Gyula, 2017. Szilassi Lajos Szegedi Tudományegyetem Euklídész, … … Bolyai, … … és a geometriai szemléletünk Hajnal Imre Matematika Tesztverseny és Módszertani Nap Gyula, 2017.

Bolyai János 1802. december 15. – 1860. január 27. „Kár, hogy nagy talentuma kihasználatlanul ásatott el.” Péterfi Károly református esperes

Euklídész axióma-rendszere: Fogalmak (meghatározások) Pont az, aminek nincs része. A vonal szélesség nélküli hosszúság. A vonal végei pontok. Egyenes vonal az, amelyik a rajta lévő pontokhoz viszonyítva egyenlően fekszik. … Párhuzamosak azok az egyenesek, melyek egy síkban vannak, és mindkétoldalt végtelenül meghosszabbítva egyiken sem találkoznak.

Axiómák - olyan relációk, melyeket gondolkodásunk természete szab meg: Amik ugyanazzal egyenlők, egymással is egyenlők. Ha egyenlőkhöz egyenlőket adunk, az összegük is egyenlők. … Az egymásra illeszkedők egyenlők egymással.

Posztulátumok - olyan kijelentések, melyeket geometriai látásmódunk természete igényel: Követeltessék meg, hogy bármely pontból bármely pontba legyen egyenes húzható; véges egyenes vonal folytatólag meghosszabbítható legyen; bármely középponttal és távolsággal (sugárral) legyen kör rajzolható; minden derékszög egymással egyenlő legyen; ha két egyenes úgy metsz egy egyenest, hogy az egyik oldalon keletkező belső szögek összege kisebb két derékszög összegénél, akkor a két egyenest végtelenül meghosszabbítva találkozzék azon az oldalon, ahol a szögek összege két derékszögnél kisebb. ↓

Az 5. posztulátum néhány átfogalmazása: Proklosz ( V. szd.): Adott egyeneshez és rá nem illeszkedő ponthoz csak egy nem metsző egyenes húzható. Clavio (1574): Adott egyenessel határolt félsíkon az egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok egyenest alkotnak. Wallis (1663): Van két, páronként egyenlő szögekkel rendelkező, de nem egybevágó háromszög. Gauss (1799): Bármely háromszögnél van nagyobb területű háromszög. Legendre (1800): Van olyan háromszög, amelynek a szögösszege két derékszög. Bolyai Farkas (1851): Három különböző pontra vagy egy kör, vagy egy egyenes illeszkedik. ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

Levélrészletek: Bolyai Farkas: (fiához, 1820. április 4.) „A paralellákat azon az úton ne próbáld: tudom én azt az utat is mind végig - megmértem azt a feneketlen éjszakát én, és az életemnek minden világossága, minden öröme kialudt benne - Az Istenért kérlek! Hagyj békét a paralelláknak.” Bolyai János (apjához, 1823. november 3.) „ A feltételem már áll, hogy mihelyt rendbe szedem, s mód lesz rá, a paralellákról egy munkát adok ki; … most többet nem szólhatok, csak annyit: a semmiből egy új, más világot teremtettem; … „

Az euklideszi geometria A hiperbolikus geometria A geometria modern axiómarendszere Az abszolút geometria axióma csoportjai Módosított axióma csoportok P* Az elliptikus geometria Illeszkedési axiómák Rendezési axiómák Egybevágósági axiómák Folytonossági axiómák P Az euklideszi geometria ¬ P A hiperbolikus geometria

A modell Olyan konstrukció, amely a vizsgálat szempontjából pontosan ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik, mint a vizsgálat tárgya. A hiperbolikus geometria néhány modellje: - Beltrami modellje a pszeudoszférán - Cayley - Klein-féle körmodell - Poincaré félsík-modellje - Poincaré félgömb-modellje - Poincaré-féle körmodell ↓

Poincaré körmodellje A modell A modellezett fogalom A sík Pont Egyenes Szakasz Kör Tengelyes tükrözés ... Nyitott körlap (alapkör) A körlap belső pontjai Az alapkört merőlegesen metsző körív Az” egyenes” egy köríve Kör (?) Inverzió …

Feladatok a P-modell alkalmazására Adjunk meg egy kört, amelynek adott az AB átmérője! Mekkora szög alatt látszik a kör pontjaiból az AB szakasz? Mi azon pontok mértani helye a hiperbolikus síkon, ahonnan az AB szakasz derékszög alatt látszik? Adott a K középpontú A kerületi pontú s kör, és egy P pont. Szerkesszük meg a P-ből s-hez húzott érintőket az euklídeszi síkon, ha nem tudjuk, hogy érvényes-e Thalész tétele; a hiperbolikus sík P-modelljén A gömbön. Arkhimédész módszere:

A Poincaré modell néhány alkalmazása A háromszög nevezetes vonalai és pontjai Szabályos sokszög A sík lefedése egybevágó háromszögekkel Bolyai János képlete: Az elpattanás szöge Sugársorok és ciklusok Koordinátarendszer

A teljesség és ellentmondás-mentesség kérdése Gödel tételei: Bármely konzisztens axiómarendszer, amely a matematika elég nagy területét megragadja, nem teljes: vannak benne olyan kérdések, amelyek az axiómarendszer eszközeivel nem válaszolhatók meg. Egy axiómarendszer ellentmondás-mentessége belső (vagyis a rendszer axiómáira épülő) eszközökkel nem igazolható.

A relatív ellentmondás-mentesség: Ha az algebra ellentmondásmentes, akkor az euklideszi geometria is az. Ha az euklideszi geometria ellentmondásmentes, akkor a hiperbolikus geometria is az. Ha a hiperbolikus geometria ellentmondásmentes, akkor az euklideszi geometria is az. Melyik geometria irja le jobban a bennünket körülvevő világot?

Köszönöm a figyelmüket. Babits Mihály: Bolyai Isten elménket bezárta a térbe. Szegény elménk e térben rab maradt. A kapzsi villámölyv, a gondolat, Gyémántkorlátját még csak el sem érte. Én, boldogolván azt a madarat ki kalitjából legalább k i l á t o t t, a semmiből alkottam új világot, mint pókhálóból sző kötélt a rab. Új törvényekkel, túl a szűk egen, új végtelent nyitottam én eszemnek: király gyanánt, túl minden képzeten kirabolván kincsét a képtelennek nevetlek, mint Istennel osztozó, vén Euklides, rab törvényhozó. Köszönöm a figyelmüket.