Geometriai transzformációk

Az előadások a következő témára: "Geometriai transzformációk"— Előadás másolata:

1 Geometriai transzformációk
Tengelyes tükrözés Középpontos tükrözés Elforgatás Eltolás

2 Tengelyes tükrözés tulajdonságai

3 Az így definiált transzformációt tengelyes tükrözésnek nevezzük.
Adott a síkban egy t egyenes. Rendeljünk hozzá a sík minden pontjához egyetlen pontot úgy, hogy: a t egyenes pontjainak képe legyen önmaga a t egyenesre nem illeszkedő tetszőleges p pont képe legyen az a p’ pont, melyre a pp’ szakaszt a t egyenes merőlegesen felezi. Az így definiált transzformációt tengelyes tükrözésnek nevezzük. Tengelyes tükrözés

4 Fix pontjai a tengely pontjai Egyenes tartó (egyenes képe egyenes)
Tulajdonságai: Olyan kölcsönösen egyértelmű függvény, melynek értelmezése tartománya és az érték készlete a sík összes pontja Fix pontjai a tengely pontjai Egyenes tartó (egyenes képe egyenes) Szakasz tartó (szakasz képe szakasz) Szögtartó Távolság tartó Körüljárási iránya megváltozik Tengelyes tükrözés

5 Egy síkbeli alakzat tengelyesen szimmetrikus, ha van olyan egyenes melyre tükrözve az alakzatot a képe önmaga lesz Háromszög szabályos háromszög: Oldalai egyenlők Szögei 60° A 3 szimmetria tengely egyben szögfelező, oldalfelező, magasság vonal, súlyvonal t1 c b t2 t3 a Tengelyes tükrözés

6 Egyenlőszárú háromszög: Az alap felező merőlegese a szimmetria tengely
A szimmetria tengely felezi a szárak által bezárt szöget Az alapon fekvő szögek egyenlők t 10,3 cm b = c c b a 14cm

7 Négyszögek Négyzet: Oldalai egyenlők Szögei 90°-osak
Az átlók egyben szögfelezők Téglalap: Szemközti oldalai egyenlők Átlói felezik egymást, de a szögeket nem t1 a t2 a a t3 t4 a t1 a t2 b b a Tengelyes tükrözés

8 Átlói merőlegesen felezik egymást
Rombusz: Oldalai egyenlők Átlói merőlegesen felezik egymást Az átlók egyben szimmetria tengelyek is Az átlók felezik a szögeket Szemközti szögei egyenlők Szomszédos szögek összege 180° t2 a a t1 a a Tengelyes tükrözés

9 Két-két szomszédos oldalai egyenlő
Deltoid: Két-két szomszédos oldalai egyenlő Átlói merőlegesek, a szimmetria tengely felezi a másikat Egy szimmetria tengelye van A szimmetria tengely szögfelező, a másik nem A szimmetria tengellyel szemközti szögek egyenlők t2 a b t1 (Szimmetria tengely) a b Tengelyes tükrözés

10 Szimmetrikus (húr) trapéz:
Egy szemközti oldalpár párhuzamos, és van szimmetria tengelye A szimmetria tengely merőlegesen felezi az alapokat Az átlók a szimmetria tengelyen metszik egymást Az átlók sem egymást, sem a szögeket nem felezik Az alapon fekvő szögei egyenlők A száron fekvő szögek összege 180° c b b a t1 t3 t2 Tengelyes tükrözés

11 A körnek végtelen sok szimmetria tengelye van !!!
Minden szabályos sokszög tengelyesen szimmetrikus. A körnek végtelen sok szimmetria tengelye van !!! Tengelyes tükrözés

12 Középpontos tükrözés tulajdonságai

13 Az O pont képe legyen önmaga
Adott a síkban egy O pont, rendeljünk hozzá egy pontot úgy, hogy: Az O pont képe legyen önmaga Tetszőleges (az O ponttól különböző) P pont képe legyen a P’ pont PP’ szakaszt az O pont felezze. Az így definiált transzformációt középpontos tükrözésnek nevezzük. Középpontos tükrözés

14 Tulajdonságai: Kölcsönösen egyértelmű függvény Fix pontja az O pont
Egyenes tartó Szakasztartó Távolságtartó Szögtartó Az alakzat körüljárási iránya nem változik Az O ponton átmenő egyenes képe önmaga Az O ponton át nem menő egyenes képe vele párhuzamos egyenes Csak páros oldalszámú alakzatok lehetnek középpontosan szimmetrikusak Középpontos tükrözés

15 Középpontosan szimmetrikus alakzatok
Négyszögek Négyzet Téglalap Rombusz Paralelogramma: Szemközti oldalai párhuzamosak Középpontosan szimmetrikus alakzat Szemközti oldalai egyenlők Átlói felezik egymást, de a szöget nem! Szemközti szögei egyenlők Szomszédos szögeinek összege 180° D b e C a a f A b B Középpontos tükrözés

16 A középvonal A háromszög középvonala: A paralelogramma középvonala:
A háromszög 2 oldalfelező pontját összekötő szakasz A középvonal párhuzamos a szemközti oldallal, és a hossza annak a fele. A paralelogramma középvonala: A szemközti oldalak felezőpontjait összekötő szakasz A paralelogramma középvonalai párhuzamosak a szemközti oldalakkal, és a szemközti oldalakkal egyenlő hosszúak A trapéz középvonala A szárak felezőpontjait összekötő szakasz Középpontos tükrözés

17 A vektor fogalma Két vektor egyenlő, ha irányuk, nagyságuk és állásuk megegyezik. Két vektor egező állású, ha az őket tartalmazó egyenesek párhuzamosak vagy egybeesnek ।a।: a vektor hossza ।0।: zérus vektor (kezdőpontja és végpontja egybeesik, iránya tetszőleges) Vektorok összeadása (eredő kiszámítása): Összefűzési eljárás (gyermekláncfű eljárás) Paralelogramma módszer: Ha két vektor kezdőpontja közös, húzzunk párhuzamost mindkét vektorral a másik vektor végpontjába. Az eredő a közös kezdőpontból a paralelogramma szemközti csúcsába mutat Vektorok kivonása: -a az a ellentettje: Nagysága és állása az a-val megegyező Iránya az a-val ellentétes Vektor

18 Pont körüli elforgatás

19 Az így definiált transzformációt pont körüli elforgatásnak nevezzük.
Adott a síkban egy O pont, és egy forgásirány (0°≤ α ≥ 360° ). Rendeljünk hozzá a sík minden pontjához egy pontot úgy, hogy… Az O pont képe legyen önmaga Tetszőleges O-tól különböző P pont képe legyen az a P’ pont, melyre a OP=OP’ A P-t a P’-be vivő forgásirány egyezzen meg a megadott iránnyal Az így definiált transzformációt pont körüli elforgatásnak nevezzük. Elforgatás

20 Középponti szög: Kerületi szögek: Húrnégyszög:
A szög csúcsa a kör középpontjában van A középponti szög és az ívhossz egyenesen arányos mennyiségek Kerületi szögek: A szög szárai a kör szelői vagy az egyik szár szelő, a másik szár érintő Az A csúcsa a kör kerületén van Középponti szögek tétele: A kör egy ívéhez tartozó kerületi szög fele akkora, mint az ugyanazon az íven nyugvó középponti szög Következmény: Az azonos íven nyugvó kerületi szögek egyenlők Húrnégyszög: Olyan négyszög, melynek oldalai egy kör húrjai Húrnégyszögek tétele: Egy konvex négyszög akkor, és csak akkor húrnégyszög, ha a szemközti szögeinek összege 180° Középponti és kerületi szögek

21 Középponti és kerületi szögek
Bizonyítás: Középponti és kerületi szögek

22 Az ívmérték 1 radián nagyságú az a a középponti szög, amelyhez egységnyi sugarú körben egységnyi ív tartozik. 2π rad = 360° 1 rad = 360° / 2π(≈ 57, 32°) 180° = π (rad) 1° = π / 180 α rad = 360° / 2π / α α rad = 180° / π ∙ α r=1 ívhossz Kp.-i szög 1 1 rad 2 2 rad 3 3 rad 2π =K 2π rad = 360° K= 2rπ = 2 ∙ 1 ∙ π π szám

23 Azon pontok halmaza a síkban, amelyekből egy szakasz derékszög alatt látszik, a szakaszhoz, mint átmérőhöz tartozó kör, kivéve a szakasz végpontjait Thalész tétele Ha egy kör átmérőjének 2 végpontját összekötjük a körvonal tetszőleges pontjával, derékszögű háromszöget kapunk, melynek átfogója a kör átmérője A tétel megfordítása: Egy derékszögű háromszög körülírt körének középpontja az átfogó felezőpontja Thalész tétele

24 Pitagoras tétele Egy derékszögű háromszögben a befogók négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével A tétel megfordítása: Ha egy háromszögben valamely két oldal négyzetének összege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű Gyök alatt nem állhat mínusz szám, és az eredmény sem lehet mínusz előjelű Pitagoras tétele

25 Érintőszakasz Érintő négyszög
A külső ponttól az érintési pontig terjedő szakasz hossza Tétel: Külső pontból egy körhöz húzott érintőszakaszok hossza egyenlő Érintő négyszög Olyan konvex négyszög, melynek oldalai egy kör érintői Egy konvex négyszög akkor és csak akkor érintő négyszög, ha szemközti oldalainak szögei egyenlők Egy konvex négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha belső szögfelezői egy pontban metszik egymást Egy szimmetrikus trapéz akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha szárai egyenlők a középvonal hosszával. Érintő szakasz, érintő négyszög

26 Síkidomok egybevágósága
Egy transzformáció egybevágósági transzformáció, ha távolságtartó(bármely két pont esetén a tárgypontok távolsága egyenlő a képpontok távolságaival. Definíció: Két síkidom egybevágó, ha van olyan egybevágósági transzformáció, amelyikkel az egyik a másikba vihető át Jele(egybevágóságé): Háromszögek egybevágóságának alapesetei: Oldalaik páronként egyenlők Két–két oldaluk és az általuk közbe zárt szög páronként egyenlő Két–két oldaluk és a nagyobbikkal szemközti szög páronként egyenlő Egy–egy oldaluk és a rajtuk fekvő két szög páronként egyenlő Egybevágóság