Gondolatok egy összegzési feladat kapcsán Dr. Molnár István Szent István Egyetem Gazdasági, Agrár- és Egészségtudományi Kar Békéscsaba Útravaló – Út a tudományhoz

Kiinduló probléma Feladat: Létezik-e 2n + 1 darab (n pozitív egész) egymást követő pozitív egész szám úgy, hogy az első n+1 darab szám összege egyenlő az utolsó n darab szám összegével? Feladat:

A feladat megoldása Legyen: Állítás: Innen: Tehát a keresett 2n+1 darab szám, bármely esetén:

Másik feladat Általánosan: Feladat: Létezik-e 2n darab (n pozitív egész) egymást követő pozitív egész szám úgy, hogy az első n+1 darab szám összege egyenlő az utolsó n-1 darab szám összegével? Feladat:

Az alapfeladat általánosítása Adjunk meg végtelen sok olyan n-et, amelyre teljesül, hogy az első n darab pozitív egész szám összege egyenlő a következő néhány egymás utáni egész szám összegével! Legyenek , ahol Állítás: Legyen diofantikus egyenlet

A diofantikus egyenlet Az diofantikus egyenlet Az x és az y is páratlan szám, azaz elegendő belátnunk, hogy az egyenletnek végtelen sok megoldása van a pozitív páratlan egész számok halmazán. a, Ha u és v páratlan számok, akkor 3u+4v és 2u+3v is páratlan b, Ha (u;v) számpár megoldás, akkor megoldás a (3u+4v ; 2u+3v) is, mivel

Megoldások A (7;5) megoldása az egyenletnek, melyből további megoldások származtathatók: x 7 41 239 1393 ... y 5 29 169 985 k 3 20 119 696 n 2 14 84 492 azaz

Feladat négyzetek összegére Létezik-e 2n+1 darab (n pozitív egész) egymást követő pozitív egész szám úgy, hogy az első n+1 darab szám négyzetösszege egyenlő az utolsó n darab szám négyzetösszegével? Legyen: Állítás:

Megoldás négyzetek összegére Tehát a keresett 2n+1 szám bármely esetén: Általánosan: Létezik-e 2n darab (n pozitív egész) egymást követő pozitív egész szám úgy, hogy az első n+1 darab szám négyzetösszege egyenlő az utolsó n-1 darab szám négyzetösszegével? Feladat:

Az első néhány megoldás Háromszögszámok: 1; 3; 6; 10; 15; 21; 28; 36; 45; 55; 66; 78; 91; 105; 120; 136; 153; 171; 190; 210;…

További feladatok Létezik-e 2n+1 darab (n pozitív egész) egymást követő pozitív egész szám úgy, hogy első n+1 darab szám köbeinek összege egyenlő az utolsó n darab szám köbeinek összegével? Létezik-e 2n darab (n pozitív egész) egymást követő pozitív egész szám úgy, hogy első n+1 darab szám köbeinek összege egyenlő az utolsó n-1 darab szám köbeinek összegével?

„ A nagy felfedezések nagy feladatokat oldanak meg, de nincs olyan feladat, amelynek megoldásához ne volna szükség valami kis felfedezésre.” Pólya György

Köszönöm a figyelmet ! molnar.istvan@gk.szie.hu