3. Téma Számsorozat, számsor bevezető Számsorozat, számsor bevezető PTE PMMK Mérnöki Matematika Tanszék Perjésiné dr. Hámori Ildikó Matematika A3-2. előadások Építőmérnök BSc szak PMKMANB004

Számsorozat fogalma, megadása Az n természetes számhoz hozzárendelt elemet a sorozat n-edik elemének nevezzük A sorozatnak végtelen sok eleme van. Definíció2: Számsorozatot kapunk, ha minden természetes számhoz egyértelműen egy számot rendelünk. Definíció1: A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza. A számsorozatok ábrázolása: számegyenesen vagy koordinátarendszerben A számsorozatokat diszkrét pontok halmazával szemléltetjük PTE PMMK Mérnöki Matematika Tanszék Perjésiné dr. Hámori Ildikó

Nevezetes sorozatok., geometria sorozat a > 0 PTE PMMK Mérnöki Matematika Tanszék Perjésiné dr. Hámori Ildikó

A számsorozat határértéke a végtelenben (számsorozat konvergenciája) a2a2 a1a1 a5a5 a4a4 a3a3 0+  0-  Definíció 1: Az {a n } sorozat konvergens és határértéke A szám, ha bármely ε >0 számhoz található olyan (ε-tól függő n o küszöbindex) hogyha n>n o, akkor. Jelekkel: (limesz n tart végtelenbe a n egyenlő A) vagy. Definíció 2: Az {a n } konvergens és határértéke A, ha A tetszőleges ε sugarú környezetéből a sorozatnak csak véges sok tagja marad ki. Ha  értéke csökken, a sorozat egyre több tagja marad ki a 0  sugarú környezetéből.  értékétől függetlenül a sorozat majdnem minden tagja benne van a 0  sugarú környezetében. PTE PMMK Mérnöki Matematika Tanszék Perjésiné dr. Hámori Ildikó

Az 1/n sorozat konvergenciája Bizonyítsuk be a számsorozat konvergenciájának definíciója alapján, hogy. A sorozat hány tagja marad ki a határérték  =0,03 sugarú környezetéből, vagyis n o (  )=? Ekvivalens átalakításokat végeztünk  az átalakítások visszafelé is igazak. Tehát ha n > n o (0,03)= 33, akkor vagyis a sorozat konvergens és hatérértéke 0. A sorozatnak 33 eleme marad ki a 0 ε sugarú környezetéből. PTE PMMK Mérnöki Matematika Tanszék Perjésiné dr. Hámori Ildikó

Számsor fogalma, konvergenciája PTE PMMK Mérnöki Matematika Tanszék Perjésiné dr. Hámori Ildikó Definíció: Az a 1, a 2,… a n,… számsorozat tagjainak összegét, az a 1 + a 2 +…+ a n +… végtelen összeget végtelen sornak nevezzük. Jelölés: a 1 + a 2 +…+ a n +…= Az a n érték a sor n-edik tagjának, az s n = a 1 + a 2 +…+ a n érték a sor n-edik részletösszege. Definíció: Ha a részletösszegek {S n } sorozata a konvergens és határértéke S, akkor a sor az S számértékhez tart, vagy más szavakkal a sor összege S. Ha a részletösszegek sorozatának nincs véges határértéke, akkor a sor divergens.