Várhatóérték, szórás 2019.06.08..

Az előadások a következő témára: "Várhatóérték, szórás 2019.06.08.."— Előadás másolata:

1 Várhatóérték, szórás

2 Diszkrét változó várható értéke
,

3 Példa olyan esetre, amikor nem létezik a
várható érték Értékkészlet: Eloszlás:

4 Néhány egyszerű példa A kockadobás várható értéke:

5 Folytonos változó várható értéke

6 Példa olyan esetre, amikor nem létezik a
várható érték A Cauchy-eloszlás sűrűségfüggvénye: Ez valóban sűrűségfüggvény: Viszont a várható érték nem létezik, mert: nem létezik!

7 Nevezetes folytonos eloszlások várható értéke

8 Variancia, szórás

9 Folytonos esetben a variancia és a szórás

10 Nevezetes eloszlások várható szórása

11 Várható érték, szórás, variancia tulajdonságai I.

12 Várható érték, szórás, variancia tulajdonságai II.

13 Markov-egyenlőtlenség
Másképpen:

14 Csebisev-egyenlőtlenség
Másképpen:

15

16 Transzformált változó eloszlása
Ha X a [0 , 1] intervallumon egyenletes eloszlású és F(y) egy szigorúan monoton növekvő eloszlásfüggvény azon az intervallumon, ahol 0 < F(y) < 1 , akkor az Y = F -1(X) valószínűségi változó eloszlásfüggvénye éppen F(y) lesz, ahol y= F -1(x) az eloszlásfüggvény inverzét jelöli. Bizonyítás: P(Y < y) =P(F -1(X) < y) =P(F(F -1(X)) < F(y)) = P(X < F(y)) = F(y) , mert F(y)  [0 , 1] .

17 Transzformált változó eloszlása
A tétel lehetőséget ad arra, hogy a számítógép Uni (0 , 1) véletlen- számgenerátora segítségével tetszőleges F(x) eloszlásfüggvény- hez jól illeszkedő véletlenszámokat generáljunk! Pl. Ha X  Uni (0 , 1), akkor -1/ ln(1-X)  Exp() lesz!

18 Transzformált változó eloszlása
Ha X a [0 , 1] eloszlásfüggvénye F(y) egy szigorúan monoton növekvő eloszlásfüggvény, akkor az Y = F (X) valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a (0 , 1) intervallumon egyenletes lesz! Pl. Ha X  Exp(), akkor Y=1-e -X egyenletes eloszlású!

19 Transzformált változó eloszlása
A tétel lehetőséget ad majd a statisztikában egy X adatsor adott F(x) eloszlásfüggvényhez való illeszkedésének ellenőrzésére. Feltételezve, hogy az egyenletes eloszláshoz való illeszkedést tudjuk Ellenőrizni, az adatsor akkor illeszkedik jól az F(x)-hez, ha F (X) egyenletes eloszlású!

20 Transzformált változó eloszlása
normális esetben Ha X N(m, D), akkor Y =X+  N(m+, ||D), azaz normális változó lineáris transzformáltja is normális lesz! Bizonyítás: Tegyük fel, hogy >0! P(Y < t)=P(X < (t-)/)=P(X < u)=((u-m)/D)= =((t-(m+))/ D) , azaz Y  N(m+, D).