Év eleji információk Előadó: Hosszú Ferenc II. em. 233. Konzultáció: Szerda 9:50 – 10:35 II. em. 233. www.bgk.uni-obuda.hu/jegyzetek/mat/Biztonságtechnika_bsc/2013-2014/I_félév.

Az előadások a következő témára: "Év eleji információk Előadó: Hosszú Ferenc II. em. 233. Konzultáció: Szerda 9:50 – 10:35 II. em. 233. www.bgk.uni-obuda.hu/jegyzetek/mat/Biztonságtechnika_bsc/2013-2014/I_félév."— Előadás másolata:

1 Év eleji információk Előadó: Hosszú Ferenc II. em Konzultáció: Szerda 9:50 – 10:35 II. em gyakorlat alkalmával röp zh. 1 – 1 pontért. Elérhető összpontszám : 10 pont 4, vagy több hiányzás esetén letiltás jár. 2 évfolyam zh 20 – 20 pontért. Elérhető összpontszám : 40 pont 1. október 24-én az előadás idejében. 2. december 5-én az előadás idejében. Aki egyik zh-t sem írja meg a megadott időben letiltást kap. A 2 zh közül az egyik pótolható december 12-én az előadás idejében. Aki mindkét zh-t a megadott időben megírta, a rosszabbikat javíthatja december 10-én az előadás idejében.

2 Év eleji információk Az aláírás feltétele: min. 25 pont elérése, ekkor a megszerzett pontot viszi magával az I. vizsgára. Amennyiben ez nem sikerül, akkor az ív-n már 0 ponttal indul. Aki nem éri el évközben a 25 pontot január 2-án aláírás pótláson vehet részt. Amennyiben eléri a min. 25 pontot, megszerzi az aláírást, de csak 25 pontot visz a vizsgára. A vizsga 90 perces írásbeli, amelyen definíciók, tételek kimondása és bizonyítása mellett feladatok szerepelnek 50 pontért. A sikeres vizsga feltétele, hogy a félév közben és a vizsgán megszerezhető pontok összege legalább 40 legyen. További részletek megtalálhatók a félévi követelmények között.

3 Sorozatok Definíció. Az f : N →R függvényt valós számsorozatnak nevezzük. A sorozat elemeit jelöli. A sorozatot röviden módon is jelöljük. Példa: Definíció. Legyen valós számsorozat. Az sorozatot - monoton növekvőnek nevezzük, ha esetén, - monoton csökkenőnek nevezzük, ha esetén, Ha az egyenlőségeket nem engedjük meg, akkor szigorúan monoton sorozatról beszélünk.

4 Sorozatok Példa: Vizsgáljuk az sorozatot monotonitás szempontjából!
Definíció. Legyen valós számsorozat. Az sorozatot - alulról korlátosnak nevezzük, ha , hogy esetén - felülről korlátosnak nevezzük, ha , hogy esetén - korlátosnak nevezzük, ha alulról és felülről is korlátos. Az alsó korlátok legnagyobbikát alsó határnak, a felső korlátok legkisebbikét felső határnak nevezzük. Példa: Korlátos-e az sorozat? Definíció. Az szám sugarú környezetén a intervallumot értjük.

5 Sorozatok Definíció. Az valós számsorozat konvergens és határértéke , ha -hoz , hogy esetén . Ebben az esetben azt mondjuk, hogy az sorozat az A-hoz konvergál, vagy, hogy az sorozat határértéke A. Jelölés: , vagy . Ha az nem konvergens, akkor divergensnek nevezzük. Az számot a sorozat küszöbszámának vagy küszöbindexének nevezzük. Definíció. Az valós számsorozat konvergens és határértéke , ha az szám tetszőleges sugarú környezetén belül a sorozatnak végtelen sok eleme, azon kívül pedig véges sok eleme található. Tétel. Az előbbi két definíció ekvivalens. Bizonyítás. Az állítás nyilvánvaló.

6 Sorozatok Tétel. Az sorozat konvergens és határértéke 0. Tétel. Az sorozat, ahol is konvergens és határértéke 0. Tétel. Egy konvergens sorozatnak csak egy határértéke van. Bizonyítás. Indirekt úton bizonyítjuk. Tegyük fel, hogy … Tétel. Legyen az egy valós számsorozat. Ha konvergens, akkor korlátos. Bizonyítás. Nem bizonyítjuk. A tétel megfordítása nem igaz. Például: Legyen . A sorozat korlátos, de nem konvergens.

7 Sorozatok Tétel. Ha egy valós számsorozat monoton és korlátos, akkor konvergens. Bizonyítás. Nincs. Műveletek konvergens sorozatokkal. Tétel. Legyen és . Ekkor 1./ , ha konstans 2./ 3./ 4./ , ha és . Bizonyítás. Csak a állítást igazoljuk.

8 Sorozatok Közrefogási tétel. (Rendőr elv) Legyen -re és , ekkor Bizonyítás. Indirekt úton bizonyítjuk az állítást. … Néhány nevezetes határérték Tétel. Mértani sorozat konvergenciája: Bizonyítás. Nincs. Tétel. Bizonyítás. Nincs.

9 Sorozatok Tétel. Az sorozat konvergens. Bizonyítás. Segédtétel. Számtani és mértani közép közötti összefüggés Bizonyítás. Nincs. Két lépésben igazoljuk a konvergenciát. 1./ Belátjuk, hogy a sorozat szigorúan monoton növekvő. … 2./ Belátjuk, hogy a sorozat felülről korlátos. … Tehát van, és egyértelmű a határértéke:

10 Sorozatok Általánosan: Tétel. Mintapéldák.