A derivált alkalmazása

Az előadások a következő témára: "A derivált alkalmazása"— Előadás másolata:

1 A derivált alkalmazása
A függvény monotonitása

2 A függvény monotonitása
a függvény szigorúan monoton növekvő az érintő iránytényezője mindenütt pozitív A függvény deriváltja mindenütt pozitív a függvény szigorúan monoton csökkenő az érintő iránytényezője mindenütt negatív A függvény deriváltja mindenütt negatív Tóth István – Műszaki Iskola Ada

3 akkor a derivált az intervallum minden pontjában
A monotonitás tétele Ha az (a, b) intervallumban differenciálható f(x) függvény az intervallumban monoton nő monoton csökken, akkor a derivált az intervallum minden pontjában nemnegatív nempozitív Tóth István – Műszaki Iskola Ada

4 A monotonitás Ha f ‘(x) az (a, b) intervallumban nemnegatív (nempozitív), akkor az f(x) függvény monoton növekvő (monoton csökkenő). Ha f ‘(x) az (a, b) intervallumban pozitív (negatív), akkor az f(x) függvény szigorúan monoton növekvő (szigorúan monoton csökkenő). f(x) monoton nő f(x) szigorúan monoton nő f(x) monoton csökken f(x) szigorúan monoton csökken Tóth István – Műszaki Iskola Ada

5 Példa y + – y' Értelmezési tartománya: Deriváltja:
A derivált zérushelyei: y + – y' -∞ 2 ∞ Tóth István – Műszaki Iskola Ada

6 Példa Értelmezési tartománya: Deriváltja:
A derivált mindenütt pozitív. A függvény monoton növekvő. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

7 A szakadási pont is kritikus pont
Példa Értelmezési tartománya: A szakadási pont is kritikus pont Deriváltja: A derivált zérushelyei: y + – y' -∞ 2 3 4 ∞ Tóth István – Műszaki Iskola Ada

8 A derivált alkalmazása
A függvény szélsőértéke

9 A függvény szélsőértéke
Egy differenciálható f(x) függvény lokális szélsőérték helyén a görbéhez tartozó érintő párhuzamos az x tengellyel az érintő iránytényezője nulla Megfordítva nem mindig teljesül, a derivált zérushelyén a függvénynek nincs mindig szélsőértéke Tóth István – Műszaki Iskola Ada

10 A függvénynek nincs szélsőértéke a (0,0) pontban
Ellenpélda A függvénynek nincs szélsőértéke a (0,0) pontban Tóth István – Műszaki Iskola Ada

11 Példa Keressük meg a függvény szélsőértékeit: Értelmezési tartomány:
Derivált: A derivált zérushelyei: Monotonitás: növ. csökk. y + - y' 1 x -∞ ∞ , ha x= ¼ Tóth István – Műszaki Iskola Ada

12 Példa Keressük meg a függvény szélsőértékeit: Értelmezési tartomány:
Derivált: A derivált értelmezési tartománya: Monotonitás: növ. csökk. y + × - y' x -∞ ∞ , ha x=0 Tóth István – Műszaki Iskola Ada

13 Feladatok min: max: min: max: min: max: min: max: min: max: min: max:
Tóth István – Műszaki Iskola Ada

14 A derivált alkalmazása
A függvény legkisebb és legnagyobb értéke zárt intervallumban

15 Legkisebb és legnagyobb érték
[a,b] zárt intervallum: vannak lokális szélsőértékek a legnagyobb érték f(b) a legkisebb érték a lokális minimum Az [a, b] zárt intervallumon folytonos f függvény legkisebb és legnagyobb értékét a lokális szélsőértékek és az intervallum végpontjai között keressük. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

16 Példa Keressük meg a függvény legkisebb és legnagyobb értékét a [-1,1] intervallumon: A derivált: Kritikus pontok: Legkisebb Legnagyobb Tóth István – Műszaki Iskola Ada

17 Feladatok min: max: min: max: min: max: min: max:
Tóth István – Műszaki Iskola Ada

18 Példa Egy 20 cm szélességű és 18 cm magasságú, téglalap alakú kartonból hogyan tudunk maximális térfogatú, fedőlap nélküli dobozt készíteni? 20 cm 18 cm x 20-2x 18-2x x A karton sarkaiból 3,15 cm-es oldalú négyzeteket kell levágni, az így kapott doboz térfogata 504,91 cm3 lesz. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

19 Feladat Az r=4 cm sugarú félkörbe maximális területű téglalapot szeretnénk írni. Határozd meg a téglalap méreteit! x Tóth István – Műszaki Iskola Ada

20 Feladat A hőerőmű és a transzformátor-állomás között szeretnének távvezetéket lefektetni. A két objektum egy 200 m szélességű folyó két oldalán helyezkedik el, a folyó hosszán mért 3 km távolságra egymástól. Ismeretes. hogy a folyó felett átívelő vezeték építési ára méterenként 4 ezer dinár, a szárazföldön pedig méterenként 2 ezer dinár. Az erőműből kiindulva a folyón át hol érjen túlsó partot a távvezeték, hogy építési költsége minimális legyen? 200 m 3000 m Erőmű Transzformátor Tóth István – Műszaki Iskola Ada

21 Megoldás x A vezeték hossza: d2 d1 Építési költség (millió din.):
0,2 km 3 km Erőmű Transzformátor x d1 d2 A vezeték hossza: Építési költség (millió din.): Minimális építési költség 6,693 millió din, ha x=116 m. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

22 A derivált alkalmazása
A függvény konvexitása

23 A függvény konvexitása
Ha a függvény grafikonja az érintője felett található, akkor a függvény alulról konvex. Ha a függvény grafikonja az érintője alatt található, akkor a függvény alulról konkáv. A függvény a konvexitását az inflexiós pontban váltja. inflexiós pont konkáv konvex Tóth István – Műszaki Iskola Ada

24 A függvény konvexitása
Ha az f(x) függvény az (a,b) intervallumban kétszer differenciálható, és f”(x)>0, akkor az f(x) függvény konvex, ha f”(x)< 0, akkor az f(x) függvény konkáv. Ha f”(x0)=0, és az x0 pontban a második derivált előjelet vált, akkor az x0 pontban a függvénynek inflexiós pontja van. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

25 Példák -∞ ¼ ∞ y'' – + y Értelmezési tartomány: (-∞,∞) infl.
Deriváltak: y'' zérushelye: -∞ ∞ y'' – + y infl. Inflexiós pont: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

26 Feladatok Tóth István – Műszaki Iskola Ada

27 A derivált alkalmazása
A függvény menetének vizsgálata

28 A függvényvizsgálat lépései
Az értelmezési tartomány meghatározása Párosság, periodikusság stb. Zérushelyek, előjelvizsgálat Monotonitás és szélsőérték Konvexitás és inflexiós pontok Aszimptoták A grafikon felrajzolása Tóth István – Műszaki Iskola Ada

29 Példa + - y Értelmezési tartomány: Párosság: Páratlan
Zérushely, előjel: + - y -∞ ∞ Tóth István – Műszaki Iskola Ada

30 Példa Monotonitás és szélsőérték: növ. csökk. y + - y' -∞ -1 1 ∞ max.
min. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

31 Példa Konvexitás és inflexiós pont: konvex konkáv y + - y" -∞ ∞ infl.
∞ infl. Aszimptoták: Nincs sem függőleges, sem vízszintes, sem ferde Tóth István – Műszaki Iskola Ada

32 Példa Grafikon: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

33 1. feladat Tóth István – Műszaki Iskola Ada

34 2. feladat Tóth István – Műszaki Iskola Ada

35 3. feladat Tóth István – Műszaki Iskola Ada

36 4. feladat Tóth István – Műszaki Iskola Ada

37 5. feladat Tóth István – Műszaki Iskola Ada

38 Következik: dolgozat! Tóth István – Műszaki Iskola Ada