Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

A derivált alkalmazása A függvény monotonitása. Tóth István – Műszaki Iskola Ada A függvény monotonitása -a függvény szigorúan monoton növekvő -az érintő.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "A derivált alkalmazása A függvény monotonitása. Tóth István – Műszaki Iskola Ada A függvény monotonitása -a függvény szigorúan monoton növekvő -az érintő."— Előadás másolata:

1 A derivált alkalmazása A függvény monotonitása

2 Tóth István – Műszaki Iskola Ada A függvény monotonitása -a függvény szigorúan monoton növekvő -az érintő iránytényezője mindenütt pozitív -A függvény deriváltja mindenütt pozitív -a függvény szigorúan monoton csökkenő -az érintő iránytényezője mindenütt negatív -A függvény deriváltja mindenütt negatív

3 Tóth István – Műszaki Iskola Ada A monotonitás tétele Ha az (a, b) intervallumban differenciálható f(x) függvény az intervallumban akkor a derivált az intervallum minden pontjában monoton nő monoton csökken, nemnegatív nempozitív

4 Tóth István – Műszaki Iskola Ada A monotonitás Ha f ‘ (x) az (a, b) intervallumban nemnegatív (nempozitív), akkor az f(x) függvény monoton növekvő (monoton csökkenő). Ha f ‘ (x) az (a, b) intervallumban pozitív (negatív), akkor az f(x) függvény szigorúan monoton növekvő (szigorúan monoton csökkenő). f(x) szigorúan monoton nő f(x) monoton csökken f(x) szigorúan monoton csökken f(x) monoton nő

5 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Példa Értelmezési tartománya: Deriváltja: A derivált zérushelyei: y +–+y'y' -∞ 0 2 ∞

6 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Példa Értelmezési tartománya: Deriváltja: A derivált mindenütt pozitív. A függvény monoton növekvő.

7 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Példa Értelmezési tartománya: Deriváltja: A derivált zérushelyei: y +––+y'y' -∞ 2 34 ∞ A szakadási pont is kritikus pont

8 A derivált alkalmazása A függvény szélsőértéke

9 Tóth István – Műszaki Iskola Ada A függvény szélsőértéke Egy differenciálható f(x) függvény lokális szélsőérték helyén a görbéhez tartozó érintő párhuzamos az x tengellyel az érintő iránytényezője nulla Megfordítva nem mindig teljesül, a derivált zérushelyén a függvénynek nincs mindig szélsőértéke

10 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Ellenpélda A függvénynek nincs szélsőértéke a (0,0) pontban

11 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Példa Keressük meg a függvény szélsőértékeit: Értelmezési tartomány: Derivált: A derivált zérushelyei: Monotonitás: növ.0 csökk.y +0+0-y'y' 1¼x -∞ ∞, ha x= ¼

12 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Példa Keressük meg a függvény szélsőértékeit: Értelmezési tartomány: Derivált: A derivált értelmezési tartománya: Monotonitás: növ.0csökk.y +×-y'y' 0x -∞ ∞, ha x=0

13 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Feladatok min: max: min: max: min: max: min: max: min: max: min: max:

14 A derivált alkalmazása A függvény legkisebb és legnagyobb értéke zárt intervallumban

15 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Legkisebb és legnagyobb érték [a,b] zárt intervallum: vannak lokális szélsőértékek a legnagyobb érték f(b) a legkisebb érték a lokális minimum Az [a, b] zárt intervallumon folytonos f függvény legkisebb és legnagyobb értékét a lokális szélsőértékek és az intervallum végpontjai között keressük.

16 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Példa Keressük meg a függvény legkisebb és legnagyobb értékét a [-1,1] intervallumon: A derivált: Kritikus pontok: Legkisebb Legnagyobb

17 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Feladatok min: max: min: max: min: max: min: max:

18 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Példa Egy 20 cm szélességű és 18 cm magasságú, téglalap alakú kartonból hogyan tudunk maximális térfogatú, fedőlap nélküli dobozt készíteni? 20 cm 18 cm x x 20-2x 18-2x x A karton sarkaiból 3,15 cm-es oldalú négyzeteket kell levágni, az így kapott doboz térfogata 504,91 cm 3 lesz.

19 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Feladat Az r=4 cm sugarú félkörbe maximális területű téglalapot szeretnénk írni. Határozd meg a téglalap méreteit! x

20 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Feladat A hőerőmű és a transzformátor- állomás között szeretnének távvezetéket lefektetni. A két objektum egy 200 m szélességű folyó két oldalán helyezkedik el, a folyó hosszán mért 3 km távolságra egymástól. Ismeretes. hogy a folyó felett átívelő vezeték építési ára méterenként 4 ezer dinár, a szárazföldön pedig méterenként 2 ezer dinár. Az erőműből kiindulva a folyón át hol érjen túlsó partot a távvezeték, hogy építési költsége minimális legyen? 200 m 3000 m Erőmű Transzformátor

21 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Megoldás 0,2 km 3 km Erőmű Transzformátor x d1d1 d2d2 A vezeték hossza: Építési költség (millió din.): Minimális építési költség 6,693 millió din, ha x=116 m.

22 A derivált alkalmazása A függvény konvexitása

23 Tóth István – Műszaki Iskola Ada A függvény konvexitása konvexHa a függvény grafikonja az érintője felett található, akkor a függvény alulról konvex. konkávHa a függvény grafikonja az érintője alatt található, akkor a függvény alulról konkáv. inflexiós pontbanA függvény a konvexitását az inflexiós pontban váltja. konkáv konvex inflexiós pont

24 Tóth István – Műszaki Iskola Ada A függvény konvexitása Ha az f(x) függvény az (a,b) intervallumban kétszer differenciálható, és f”(x)>0, akkor az f(x) függvény konvex, ha f”(x)< 0, akkor az f(x) függvény konkáv. Ha f”(x 0 )=0, és az x 0 pontban a második derivált előjelet vált, akkor az x 0 pontban a függvénynek inflexiós pontja van.

25 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Példák Értelmezési tartomány: (-∞,∞) Deriváltak: y'' zérushelye: -∞-∞¼∞ y''–0+ y infl. Inflexiós pont:

26 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Feladatok

27 A derivált alkalmazása A függvény menetének vizsgálata

28 Tóth István – Műszaki Iskola Ada 1.Az értelmezési tartomány meghatározása 2.Párosság, periodikusság stb. 3.Zérushelyek, előjelvizsgálat 4.Monotonitás és szélsőérték 5.Konvexitás és inflexiós pontok 6.Aszimptoták 7.A grafikon felrajzolása A függvényvizsgálat lépései

29 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Példa Értelmezési tartomány: Párosság: Páratlan Zérushely, előjel: +-+-y -∞ 0 ∞

30 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Példa Monotonitás és szélsőérték: növ.csökk.növ.y +-+y'y' -∞ 1 ∞ max. min.

31 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Példa Konvexitás és inflexiós pont: konvexkonkávy +-y"y" -∞ 0 ∞ infl. Aszimptoták: Nincs sem függőleges, sem vízszintes, sem ferde

32 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Példa Grafikon:

33 Tóth István – Műszaki Iskola Ada 1. feladat

34 Tóth István – Műszaki Iskola Ada 2. feladat

35 Tóth István – Műszaki Iskola Ada 3. feladat

36 Tóth István – Műszaki Iskola Ada 4. feladat

37 Tóth István – Műszaki Iskola Ada 5. feladat

38 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Következik: dolgozat!


Letölteni ppt "A derivált alkalmazása A függvény monotonitása. Tóth István – Műszaki Iskola Ada A függvény monotonitása -a függvény szigorúan monoton növekvő -az érintő."

Hasonló előadás


Google Hirdetések