Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Matematika III. előadások MINB083, MILB083 Gépész és Villamosmérnök szak BSc képzés 2007/2008. őszi félév.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Matematika III. előadások MINB083, MILB083 Gépész és Villamosmérnök szak BSc képzés 2007/2008. őszi félév."— Előadás másolata:

1 PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Matematika III. előadások MINB083, MILB083 Gépész és Villamosmérnök szak BSc képzés 2007/2008. őszi félév 4. téma Első típusú felületi integrálok értelmezése és kiszámítása. Felületek tengelyre vonatkozó inerciája. Második típusú felületi integrálok. Példa. Vektormező divergenciája, forrás és nyelő értelmezése. Zárt felületi integrálok és a térfogati integrálok kapcsolata: Gauss – Osztogradszkij – tétel. Stokes-tétel.

2 PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Első típusú felületi integrál értelmezése Definíció: Ha létezik az S n összegeknek a határértéke n →∞ és feltételek mellett, akkor ezt a határértéket nevezzük az f(r) skalármező r(u,v) felületre vonatkozó első típusú felületi integráljának. Jelölése Legyen adva egy F felület paraméteres alakban és egy f(r) skalárrmező Osszuk fel az F felületet F 1, F 2, …, F n n részre, amelyek felszíne rendre ∆ S 1, ∆ S 2,…, ∆ S n. Válasszunk mindegyik F k felület darabon egy közbenső P k pontot! Képezzük az alábbi összeget

3 PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Felületek tengelyre vonatkozó inerciája Jelölje ρ(x,y,z) a felület sűrűség eloszlását (egységnyi felületre jutó tömeg) Ha egy F(u,v) felület darab valamely L tengelyre vonatkozó nyomatékát szeretnénk meghatározni, akkor legyen a felület P(x,y,z) pontjának távolságnégyzete az L tengelytől D 2 (x,y,z) Ha képezzük a felület felosztására az összeget, akkor ez az átlagos tengelyre vonatkoztatott nyomatáka a felület darabnak. Ennek a határértéke lesz a felület nyomatáka az adott L tengelyre, amely egy első fajú felületi integrál Például a homogén felület tengelyekre vonatkozó inerciája az alábbi képlettel számolható

4 Első típusú felületi integrálok számítása kettősintegrállal PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Ha a felület r (u,v) : x=x(u,v), y=y(u,v) és z=z(u,v) paraméteres előállításában a függvények folytonosan parciálisan differenciálhatók az u u és v paraméterek szerint, akkor az első típusú felületi integrált kiszámíthatjuk az alábbi (u,v)-szerinti kettős integrállal ahol jelöli a felület normál vektorának hosszát!

5 Második típusú felületi integrálok előkészítése PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Cél: adott felületen áthaladó erővonalak mennyiségének meghatáro- zása általános felület és általános vektormező esetén! Gyakorlati példák: elektromos fluxus, felületen átáramló folyadék mennyisége Egy egyszerű eset: (a) az F felület sík, melynek normál vektora n, (b) az áramlás v(r) sebessége = állandó A kiáramló anyagmennyiség, ha a folyadék összenyomhatalan

6 Második típusú felületi integrálok definíciója PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

7 Második típusú felületi integrálok definíciója PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

8 Második típusú felületi integrálok számítása PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

9 Példa második típusú felületi integrálra PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

10 Divergencia fogalma, fizikai jelentése 1. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

11 Divergencia fogalma, fizikai jelentése 2. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

12 Gauss- Osztogradszkij-tétel. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Példa: Maple-ben Gauss.mws fileban

13 Stokes-tétel. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Példa: Maple-ben Stokes_szemleltetes.mws fileban Legyen a vektormező és parciális deriváltjai az F irányított felületdarabon és annak G zárt görbével megadott határán folytonos. Ekkor Tehát a v(r) vektormező rotációjának felületi integrálja megegyezik a felület határán vett vonalintegrállal! Feltételek: F normálvektorának irányítása olyan, hogy G irányítása az óramutató járásával ellentétes, ha az n normálvektor végpontjából nézzük.


Letölteni ppt "PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Matematika III. előadások MINB083, MILB083 Gépész és Villamosmérnök szak BSc képzés 2007/2008. őszi félév."

Hasonló előadás


Google Hirdetések