A trigonometrikus függvények inverzei

Az előadások a következő témára: "A trigonometrikus függvények inverzei"— Előadás másolata:

1 A trigonometrikus függvények inverzei
Digitális tananyag A trigonometrikus függvények inverzei

2 A sinus függvény inverze
Emlékezzünk, hogy csak a kölcsönösen egyértelmű függvényeknek van inverzük – amelyek eleget tesznek a „vízszintes vonal” tesztnek. f(x) = sin x nem elégíti ki a vízszintes vonal tesztet egyik leszűkítésének tudunk inverzét találni. y x y = sin x sin x csak ezen a tartományon invertálható. Tóth István – Műszaki Iskola Ada Inverse Sine Function

3 y = arcsin x akkor és csak akkor, ha sin y = x.
A sinus inverze: y = arcsin x akkor és csak akkor, ha sin y = x. a szög, melynek sinusa x Értelmezési tartománya: Df = [–1, 1]. Értékkészlete: [–/2 , /2]. Példa: az a szög, melynek sinusa Ez az arcsin x másik írásmódja Tóth István – Műszaki Iskola Ada

4 Inverse Cosine Function
A cosinus függvény inverze f(x) = cos x függvény egyik leszűkítésének kereshetjük meg az inverzét. y x y = cos x A cos x ezen az intervallumon invertálható. Tóth István – Műszaki Iskola Ada Inverse Cosine Function

5 A cosinus függvény inverze
y = arccos x akkor és csak akkor, ha cos y = x. Az a szög, melynek cosinusa x Értelmezési tartománya: Df = [–1, 1]. Értékkészlete: [0 , ]. Példa: mert Az arccos x másik írásmódja. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

6 Inverse Tangent Function
A tangens függvény inverze f(x) = tan x egyik leszűkítésének kereshetjük meg az inverzét. y x y = tan x A tg x csak ezen a tartományon invertálható. Tóth István – Műszaki Iskola Ada Inverse Tangent Function

7 Értékkészlete: [–/2 , /2].
A tangens függvény inverze y = arctg x akkor és csak akkor, ha tg y = x. A szög, melynek tangense x Értelmezési tartománya: Df = Értékkészlete: [–/2 , /2]. Például: a) b) Ez az arctg x másik írásmódja. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

8 Composition of Functions
Az inverz függvény tulajdonságai: f(f –1(x)) = x és (f –1(f(x)) = x. A trigonometrikus függvények inverzei: Ha –1  x  1 és – /2  y  /2, akkor sin(arcsin x) = x és arcsin(sin y) = y. Ha –1  x  1 és 0  y  , akkor cos(arccos x) = x és arccos(cos y) = y. Ha x egy valós szám, és –/2 < y < /2, akkor tg(arctg x) = x és arctg(tg y) = y. Például: tg(arctg 4) = 4 Tóth István – Műszaki Iskola Ada Composition of Functions

9 a. arcsin(sin (–/2)) = –/2
További példák: a. arcsin(sin (–/2)) = –/2 b. nem tartozik a függvény értelmezési tartományához, –/2  x  /2. y x Azonban a szög szárának pozíciója ugyanaz, mint a szög száráé, ezért: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

10 Keressük meg a kifejezés pontos értékét:
Példa: Keressük meg a kifejezés pontos értékét: Legyen ekkor x y 3 u 2 Tóth István – Műszaki Iskola Ada