Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

1 Valós számok Def. Egy (T; +,  ;  ) rendezett test felső határ tulajdonságú, ha minden nem üres felülről korlátos részhalmazának létezik T - ben felső.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "1 Valós számok Def. Egy (T; +,  ;  ) rendezett test felső határ tulajdonságú, ha minden nem üres felülről korlátos részhalmazának létezik T - ben felső."— Előadás másolata:

1 1 Valós számok Def. Egy (T; +,  ;  ) rendezett test felső határ tulajdonságú, ha minden nem üres felülről korlátos részhalmazának létezik T - ben felső határa (legkisebb felső korlátja). Def. Egy algebrai struktúra rendezett test, ha test és rendezett integritási tartomány.

2 2 izomorfizmus Azt jelenti, hogy lényegében 1 db felső határ tulajdonságú test van! Def. Egy (vagy a) felső határ tulajdonságú testet a valós számok testének nevezünk (nevezzük), jelben

3 3 Néhány függvény: abszolút érték: | x | = x, ha x  0 –x, ha x < 0 előjel: sgn(x) = 0, ha x = 0 x / | x |, kül. alsó egész rész:  x  = Z legnagyobb eleme, amely nem nagyobb, mint x. felső egész rész:  x  = Z legkisebb eleme, amely nem kisebb, mint x. x = 0   x  =  x  = 0, Észrevételek: Ha x > 0: arkhi. tul.ból és N jólrendezettségéből   n  N +, ahol n a legkisebb olyan természetes szám, amely n  x  n =  x , ekkor ha x = n  N +   x  = n, különben  x  = n – 1. ha x < 0   x  = –  – x  = n, különben  x  = –  – x .

4 4 Bővített valós számok Rendezés kiterjesztése: – ∞ < x < +∞ teljesüljön minden x valósra. Bármely részhalmaznak van szuprémuma és infinuma. sup  = – ∞, inf  = + ∞. Összeadás x valósra (nem mindenütt értelmezett): x + (–∞) = (–∞) + x = –∞, ha x < +∞, és x + (+∞) = (+∞) + x = +∞, ha x > –∞. Ellentett képzés: – (+∞) = –∞, és – (–∞) = +∞.

5 5 Természetes számok x valós számra legyen x + := x + 1. Def. Az halmaz jelentse a valós számok mindazon N részhalmaza- inak metszetét, amelyek rendelkeznek a következő tulajdonságokkal: 0  N, és ha n  N, akkor n +  N. Peano – axiómák

6 6 rendelkezik az (1), (2) tulajdonsággal   S. (1), (2) következik a definícióból. Lemma A természetes számok halmaza rendelkezik a Peano – axiómákban felsorolt tulajdonságokkal. Biz. (5), a matematikai indukció elve, azért áll fenn, mert S halmaz (4) abból következik, hogy a valós számtestben az additív művelet reguláris.

7 7 Legyen S = { n  : n + > 0}. Ekkor 0  S, továbbá ha n  S, akkor (n + ) + > > 0  n +  S. Hasonlóan n szerinti indukcióval látható be, hogy n, m  esetén n + m, nm  továbbá, ha n ≥ m, akkor n – m 

8 8 Végtelen sorozatok Mi lesz a g ? -n értelmezett függvények

9

10 10 Def. (összeadás)  m  N :  s m : N  N függvény, amelyre s m (0) = m   n  N : s m (n + ) = (s m (n)) +. s m (n) m és n szám összege. Észrevételek: m + = (s m (0)) + = s m (0 + ) = s m (1) = m+1, m = (s m (0)) = m+0.

11 11 Def. (szorzás)  m  N :  p m : N  N függvény, amelyre p m (0) = 0   n  N : p m (n + ) = p m (n)+m. p m (n) az m és n szám szorzata. jelölés : m  n vagy mn Észrevételek: 1  1 = p 1 (1) = p 1 (0 + ) = p 1 (0)+1 = 0+1 = 1.

12 Def. ( rendezése) n  m   k  : n + k = m. 12 Tetszőleges részbenrendezett halmaz jólrendezett, ha bármely nemüres részhalmazának van legkisebb eleme.

13 Pheidias Fibonacci számok 13

14 Biz. Egzisztencia: kn  k   k : kn > m, pl. k = m + 14 legyen k a legkisebb ilyen term. szám, ekkor k  0   q  N : k = q +  qn  mdef   r  N : m = qn + r tfh r  n  m  qn+n = kn > m  r < n. Unicitás: tfh  q’, r’ : m = q’n + r’ és r’ < n q’ > q  m = q’ < q hasonlóan látható

15 15 Biz.tfh 0 < m’ < m esetén beláttuk maradékos osztás q-val :  ! m’, r  N : m = m’q + r, és r < q. m’ = 0  n = 0 és a 0 = r, m’  0  m’ < m indukciós feltevés  maradékos osztás egyértelműsége 

16 Egész számok Racionális számok Irracionális számok Def. Egy (T; +,  ;  ) rendezett test arkhimédészi tulajdonságú, ha  x, y  T: x > 0 esetén  n  N: nx  y. Ekkor T arkhimédészien rendezett. 16

17 Lemma T felső határ tulajdonságú rendezett test  T arkhimédészi tulajdonságú. Biz(indirekt) tfh nem  y felső korlátja A = {nx | n  N}-nak. Legyen z = supA  z – x < z nem felső korlát   n : nx > z – x  (n + 1)x > z

18 Tétel(  2 nem racionális) Nincs Q-ban olyan szám, amelynek négyzete 2. Biz(indirekt) Tfh van: x x = m / n, m, n  N + és az m minimális 2 = x 2 = m 2 / n 2  m 2 = 2n 2 Tehát m páros  m = 2k, k  N + 4k 2 = 2n 2  2k 2 = n 2 Tehát n is páros: n = 2j, j  N + m / n = 2k / 2j = k /j  m nem minimális 18

19 Def. Komplex számoknak nevezzük a valós számpárok halmazát a következő műveletekkel: Komplex számok (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d ), (a, b)  (c, d) = (ac – bd, ad + bc ). a, b, c, d  : 19

20 20 Észrevétel: (C, +) Abel-csoport : egységelem: (0,0) (a, b) additív inverze: –(a, b) = (–a, –b) (C *,  ) Abel-csoport : egységelem: (1,0) (a, b) multiplikatív inverze: (a, b) –1 = (a / (a 2 + b 2 ), –b / (a 2 + b 2 )) Kétoldali disztributivitás teljesül

21 21 Alakok: algebraiz = x + yi trigonometrikus z = r(cos(t) + isin(t)) Euler-féle :z = re iφ (immaginárius egység: i = (0, 1), ahol i 2 = –1) Re(z) = Im(z) = konjugáltargumentum abszolút érték (hossz)

22 22 A komplex számok halmaza nem rendezhető, mert rendezett integri- tási tartományban negatív szám négyzete pozitív kellene legyen! Észrevételek (1) z = z - (2) (z + n) = z + n (3) (z  n) = z  n ____ - - (4) z + z = 2Re(z) (5) z  z = 2iIm(z) - (6) z  z = |z| (7) z  0 : z  1 = z / |z| 2 - (9) |z| = |z| - (8) |0| = 0, z  0 : |z| > 0 (10) |zw| = |z|  |w| (11) |Re(z)|  |z|, |Im(z)|  |z| (12) |z + w|  |z| + |w|, ||z|  |w||  |z  w|

23 23 Legyen sgn(0) = 0, 0  z : sgn(z) = z / |z|  sgn(z) = sgn(z) és |sgn(z)| = 1, ha z  0. z  0   ! t : t és t + 2k  : sgn(z) = cost + isint, ahol k  Z trigonometrikus alak z = |z|(cost + isint) z argumentuma arg(z) = t, –  < t  , z = 0-ra t mindegy z = |z|(cost + isint)  z = |z|(cost – isint) = |z|(cos(– t) + isin(– t))

24 Moivre – azonosságok 24 w  0 esetén: n  Z és z  0 

25 25 Gyökvonás komplex számból: z n = w, z = ? w = 0  z = 0, különben ha t = arg(w) n – edik egységgyökök  n = 1 esetén n – edik primitív egységgyökök: hatványaikkal előállítják a többit pl.  0 biztos nem az,  1 biztosan az

26 26 z n = w esetén z k -k előállnak a következő alakban:  n > 1 esetén:

27 27 Kvaterniók (H, +) Abel-csoport : egységelem: (0,0)(z, w) additív inverze: –(z, w) = (–z, –w) (H *,  ) csoport : egységelem: (1,0)(z, w) multiplikatív inverze:

28 28 Legyen j = (0, 1), k = (0, i), ekkor egyértelműen írható fel: p = a + bi + cj + dk valós felcserélhető kvaternióval, komplex nem, pl ij = k, ji = –k, jk = i, kj = –i, ki = –j, ik = j  H csak ferdetest


Letölteni ppt "1 Valós számok Def. Egy (T; +,  ;  ) rendezett test felső határ tulajdonságú, ha minden nem üres felülről korlátos részhalmazának létezik T - ben felső."

Hasonló előadás


Google Hirdetések