Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

1.3 Relációk 1 Def. (rendezett pár) (a 1, a 2 ) := {{a 1 }, {a 1, a 2 }}. Def. (rendezett n-es) (a 1,..., a n ) := ((a 1,..., a n-1 ), a n ). Def. (Descartes.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "1.3 Relációk 1 Def. (rendezett pár) (a 1, a 2 ) := {{a 1 }, {a 1, a 2 }}. Def. (rendezett n-es) (a 1,..., a n ) := ((a 1,..., a n-1 ), a n ). Def. (Descartes."— Előadás másolata:

1 1.3 Relációk 1 Def. (rendezett pár) (a 1, a 2 ) := {{a 1 }, {a 1, a 2 }}. Def. (rendezett n-es) (a 1,..., a n ) := ((a 1,..., a n-1 ), a n ). Def. (Descartes (direkt) szorzat ) A 1  A 2 ...  A n := {(a 1,..., a n ) | a i  A i }, ahol A 1, A 2,..., A n tetszőleges halmazok. Def. (n-ér reláció (n-változós)) R  A 1  A 2 ...  A n. jelölés binér relációknál: ( a, b )  R, vagy a R b. Javítva!!!!!!!

2 2 Def. (Homogén reláció)  i, j  { 1, 2,...,n } : A i = A j. Def. (R  X  Y reláció értelmezési tartománya ) dmn(R) := { a  X |  b  Y : (a, b)  R }. Def. (R  X  Y reláció értékkészlete ) rng(R) := { b  Y |  a  X : (a, b)  R }.

3 3 Def. Az R reláció X halmazra való leszűkítése R| X := { (a, b)  R | a  X }. Def. Ha S  R, akkor S az R leszűkítése, R az S kiterjesztése. Def. Az R  X  Y reláció inverze: R -1 = {(b, a)  Y  X | (a, b)  R }. Észrevételek:

4 4 Def. Az A halmaz képe inverz (ős)képe Észrevétel: R(A) =   A  dmn(R) = . Def. Az S és R binér relációk kompozíciója Észrevétel: rng(S)  dmn(R) =   R o S = .

5 5 A B C y x RS rng(S) dmn(R) z Tehát R o S  A  C

6 6 Legyen A = { 1, 2, 3, 4, 5}, B = { 6, 8, 10, 12, 14}, C = { 30, 36, 42, 48, 54}, D = { 2, 3 }, S  A  B, ahol (a, b)  S, ha b = 2a, R  B  C, ahol (a, b)  R, ha b = 3a. Ekkor S = { (3, 6), (4, 8), (5, 10) }, R = { (10, 30), (12, 36), (14, 42) }, S(D) = { 6 }, S -1 (S(D)) = { 3 }, R o S = { (5, 30) }. dmn(S) = {3, 4, 5}, rng(S) = {6, 8, 10}, dmn(R) = {10, 12, 14}, rng(R) = {30, 36, 42},

7 7 A B C y x R S rng(S) dmn(R) z rng(R)

8 8 Homogén binér relációk tulajdonságai 1. reflexív :  a  A (a R a) Legyen R  A  A alakú, ekkor R 2. irreflexív :  a  A ¬(a R a) 3. szimmetrikus :  a, b  A (a R b  b R a) 4. antiszimmetrikus :  a, b  A (a R b  b R a  b = a)

9 9 5. szigorúan antiszimmetrikus (asszimmetrikus):  a, b  A (a R b  ¬(b R a)) 6. tranzitív :  a, b, c  A (a R b  b R c  a R c) 7. intranzitív :  a, b, c  A (a R b  b R c  ¬(a R c)) 8. trichotom :  a, b  A ( 1! áll fenn a R b, b R a, a=b közül ) 9. dichotom :  a, b  A (a R b  b R a)

10 10 Def. ~ ekvivalenciareláció ha reflexív, tranzitív, szimmetrikus. Def. ( halmaz osztályfelbontása ) A tetszőleges X halmazt osztályozzuk (osztályokra bontjuk), ha páronként diszjunkt, nemüres részhalmazainak úniójaként állítjuk elő. Az x  X elem ekvivalencia osztálya:

11 11 Biz. 1. , azaz tfh ~ ekvivalenciareláció X –n. reflexivitás  x  x  osztályok nem üresek ~ Mi újság két osztály metszetével ? tfh van nem üres: z  x  y tranz.+szimm.  x ~ y, továbbá ~ ~ tranz.+szimm.  w  x  w  y és ~ ~ w  y  w  x. ~ ~ Kaptuk: x  y    ~ ~ x = y ~ ~

12 12 Tehát a következő halmaz X –nek egy osztáyfelbontását adja: 2. , tfh  X –nek osztályfelbontása: X 1  X 2 ...  X n = X Legyen a relációnk: ρ := { (a, b)  X  X | a, b  X i valamely 1  i  n –re }.  reflexív ?  tranzitív ?  szimmetrikus ?

13 13 Def. Az R  X  X reláció részbenrendezés (  ), ha - reflexív, - tranzitív, - antiszimmetrikus, szigorú részbenrendezés ( < ), ha - irreflexív, - tranzitív. (X,  ) részbenrendezett vagy rendezett struktúra, ha  részbenrendezés vagy rendezés. Def. Tetszőleges részbenrendezett halmaz esetén, ha bármely két elem relációban van, rendezésről ( teljes rendezés) beszélünk.

14 14 Tetszőleges X, a  relációval részbenrendezett halmaz bármely Y részhalmaza részbenrendezett a   Y  Y relációval. Ha (Y,   Y  Y ) struktúra rendezés, akkor lánc. Tfh R X –beli reláció. Ha S X –beli reláció olyan, hogy xSy akkor áll fenn, ha xRy és x  y, akkor S az R –nek megfelelő szigorú reláció. Tfh R X –beli reláció. Ha T X –beli reláció olyan, hogy xTy akkor áll fenn, ha xRy vagy x = y, akkor T az R –nek megfelelő gyenge reláció. < szigorú részbenrendzés irreflexív, tranzitív, szigorúan antiszimmetrikus.  rendezés  < trichotóm

15 15 Zárt intervallum: [x, y] = { z  X | x  z  y }. Nyílt intervallum: (x, y) = { z  X | x < z < y }. Jel: ] , x [

16 16 nem létezik olyan (m  ) x  X, amelyre m ≥ x, az X minimális eleme, ha legkisebb eleme, ha Legyen (X,  ) részbenrendezett struktúra, ekkor minden x  X – re m  x. m  X maximális és legnagyobb elem hasonlóan Észrevételek: legkisebb és legnagyobb elem legfeljebb egy van minimális és maximális elem több is lehet rendezett halmazban legkisebb és minimális egybeesik

17 17 a B alsó korlátja, ha minden x  B – re a  x, felső korlátja, ha minden x  B – re x  a. a  A Legyen B  A (A részbenrendezett), ekkor Észrevételek: lehet 0, vagy több korlát a korlát nem biztos, hogy B eleme ha egy korlát B –ben van, akkor 1! (legkisebb, vagy legnagyobb elem)

18 18 B infinuma (inf B), ha létezik, B legnagyobb alsó korlátja, B supremuma (sup B), ha létezik, B legkisebbb felső korlátja. Tetszőleges részbenrendezett halmaz jólrendezett, ha bármely nemüres részhalmazának van legkisebb eleme. Észrevétel: jólrendezett  rendezett pontos felső/alsó korlát, felső/alsó határ

19 Függvények Def. Az f reláció függvény, ha (x, y)  f  (x, y’)  f  y = y’ Kapcsolódó jelölések, fogalmak: Az összes olyan függvény halmaza, amelynek értelmezési tartománya X – nek, értékkészlete pedig Y – nak része. rng(f)  Y dmn(f) = X dmn(f)  X parciális függvény

20 20 Mikor egyenlő két függvény? f = g  ( dmn(f) = dmn(g) )  (  x  dmn(f)  f(x) = g(x)). Def. Az f : A  B függvény szürjektív, ha B = rng(f), injektív, ha  a, b  dmn(f) : (a  b)  f(a)  f(b), bijektív, ha injektív és szürjektív is. ráképezés kölcsönösen egyértelmű

21 21 Ha adott egy X halmazon értelmezett ekvivalenciareláció, akkor az X elemeihez saját ekvivalenciaosztályukat rendelő leképezést (függvényt) kanonikus leképezésnek (függvénynek) nevezzük. Fordítva: ha f : X  Y függvény, akkor ~  X  X ekvivalenciareláció, ahol (x, y)  ~, ha f(x) = f(y) Észrevétel: injektív függvény inverze is függvény

22 22 Legyen (A,  1 ), (B,  2 ) részbenrendezett struktúra. Ekkor az f : A  B függvény monoton növő, ha  x, y  dmn(f) : x  1 y  f(x)  2 f(y), szigorúan monoton növő, ha  x, y  dmn(f) : x < 1 y  f(x) < 2 f(y). Csökkenő hasonlóan! Észrevételek: ha A és B rendezettek, akkor f szigorúan monoton  f injektív f injektív  monoton  szigorúan monoton és f inverze is monoton.

23 23 Családok Legyen x függvény, dmn(x) = I és x(i) = y helyett írjunk x(i) = x i –t. Ekkor I indexhalmaz, rng(x) indexelt halmaz, x indexelt család. Ha rng(x) elemei halmazok, akkor halmazcsaládról beszélünk és egy X i, i  I halmazcsalád unióját így definiáljuk: I   esetén halmazcsalád metszetét így definiáljuk:

24

25 25 Descartes – szorzat Def. Az X i, i  I halmazcsaládhoz tartozó kiválasztási függvénynek nevezzük azokat az alakú függvényeket, ahol  i  I -re x i  X i. Def. Az X i, i  I halmazcsalád Descartes – szorzata a hozzá tartozó összes kiválasztási függvény halmaza. Jel: vagy Észrevételek: ha  i  I : X i =   I =   Def.

26 26 Példa (relációs adatbázis) I = {személyi_szám, név, lakcím, végzettség} attribútumok (mezőnevek) X személyi_szám ={11 jegyű decimális számok} olyan függvény, ahol  i  I -re x i  X i. X i indexelt családhoz tartozó rekord x i a rekord i nevű mezője. Adattábla : X i indexelt családhoz tartozó rekordok egy halmaza. Általánosítva: rekord: egy X i indexelt családhoz tartozó kiválasztási függvény. X i indexelt családhoz tartozó reláció: kiválasztási függvények egy halmaza.

27 f : A n  A az A-n értelmezet n-váltotós (n-ér) művelet. Jel: f (a 1, a 2,..., a n ) operandusok Műveleti tábla  a1a1...aiai anan a1a1 a1 a1a1 a1 a1 aia1 ai a1 ana1 an ajaj aj a1aj a1 aj aiaj ai aj anaj an anan an a1an a1 an aian ai an anan an binér művelet jobboldali baloldali eredmény 27

28 Függvénytér (műveletek függvényekkel) Ha X, Y tetszőleges halmaz és  binér művelet Y-on, akkor legyen tehát  binér művelet az X-et az Y-ra képező függvények halmazán, azaz  : (X  Y)  (X  Y)  (X  Y) Művelettató leképezés (homomorfizmus) Legyen · az A,  a B halmazon értelmezett binér művelet. A  : A  B függvényt homomorfizmusnak nevezzük, ha művelettartó, vagyis minden a 1, a 2  A esetén  (a 1 a 2 ) =  (a 1 )   (a 2 ). injektív és művelettartó Mindkét fogalom értelmezhető nullér és unér műveletre is! 28


Letölteni ppt "1.3 Relációk 1 Def. (rendezett pár) (a 1, a 2 ) := {{a 1 }, {a 1, a 2 }}. Def. (rendezett n-es) (a 1,..., a n ) := ((a 1,..., a n-1 ), a n ). Def. (Descartes."

Hasonló előadás


Google Hirdetések